Événements mutuellement et non mutuellement exclusifs
Dans l’exercice précédent, vous avez appris que vous pouvez déterminer des probabilités difficiles en faisant une simulation et en utilisant la loi des grands nombres. Les probabilités théoriques peuvent être calculées en utilisant de nombreuses stratégies différentes selon la situation.
Les événements mutuellement exclusifs sont des événements qui ne peuvent pas se produire en même temps. Par exemple : les virages à droite et à gauche, les nombres pairs et impairs sur un dé, gagner et perdre un jeu, ou courir et marcher.
Les événements non mutuellement exclusifs sont des événements qui peuvent se produire en même temps. Par exemple : conduire et écouter la radio, des nombres pairs et des nombres premiers sur un dé, perdre un jeu et marquer des points, ou courir et transpirer.
Les événements non mutuellement exclusifs peuvent rendre le calcul des probabilités plus complexe.
Réflexion sur la foire aux jeux
Joue à nouveau au jeu du retournement d’une seule carte dans la foire aux jeux.
En appliquant la définition des événements mutuellement exclusifs, les différentes issues de points dans le jeu sont-elles mutuellement exclusives ou non mutuellement exclusives ?
Prenez le temps de rédiger quelques réflexions sur la façon de calculer les probabilités.
GamesFair
Longue description
Le problème de ne comprendre les probabilités que comme des événements mutuellement exclusifs est que vous simplifiez ces événements d’une manière qu’ils ne sont pas censés être simplifiés. C’est presque aussi tragique que de dire que les gens ne peuvent pas faire du bien et gagner de l’argent, ou être bons en mathématiques et très créatifs. La vidéo suivante démontre l’importance de reconnaître les événements comme non mutuellement exclusifs.
Diagrammes de Venn
C’est un diagramme de Venn qui affiche toutes les cartes d’un jeu standard de 52 cartes. A est l’ensemble des cartes sans face.
Les diagrammes de Venn sont un moyen d’afficher des événements et peuvent être utilisés pour afficher des situations simples lorsqu’un seul événement se produit.
Ils peuvent également être utilisés pour afficher des événements multiples.
Ils sont particulièrement utiles pour afficher des événements non mutuellement exclusifs.
Dans cette activité, vous les utiliserez pour afficher 2 ou 3 événements à la fois pour analyser la relation entre les événements.
L’intersection des ensembles
Considérez le diagramme de Venn pour la question des 50 patients de Minds On.
Nous utilisons la notation 
comme « Intersection » des deux ensembles, un élément dans A et B.
Dans cet exemple, 
représente le chevauchement des symptômes, ou les patients qui ont à la fois des maux de tête « ET » des symptômes de grippe.
Vous en viendrez à connaître l’intersection comme le mot « ET ».
Enregistrez votre travail
On vous a demandé de trouver combien de personnes se trouvent dans la catégorie « ET » afin de calculer la probabilité qu’un patient présente les deux symptômes. Rassurez-vous, il n’y a qu’une seule façon de le faire.
Utilisez l’interactif ci-dessous pour créer un diagramme de venn afin de trouver le nombre de personnes qui ont les deux symptômes dans l’exemple.
Au début de la saison de la grippe, un médecin examine 50 patients sur deux jours. 30 ont un mal de tête, 24 ont un rhume, 12 n’ont ni l’un ni l’autre. Certains patients présentent les deux symptômes. Quelle est la probabilité qu’un patient pris au hasard présente les deux symptômes ?
Diagramme de Venn
Longue description
|
En mots |
En Symboles |
En Symboles |
|---|---|---|
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Tout rouge |
n(A) = |
P(A) = |
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Tous les numéros |
n(B) = |
P(B) = |
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Toutes les cartes |
n(S) = |
P(S) = |
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Intersection : A la fois numéro et rouge |
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Uniquement rouge (cartes rouges qui ne sont pas des cartes numérotées) |
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Seul le nombre (cartes de nombre qui ne sont pas des cartes rouges) |
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Union : Rouge ou Numéro |
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Tout le reste |
.
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= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= Le principe d’inclusion-Exclusion
Considérez le diagramme de Venn. Si vous additionnez n(A) et n(B), vous comptez deux fois la partie intersection. Vous ne devez jamais compter deux fois un élément pour savoir combien vous en avez. Si vous l’avez compté deux fois, il existe un moyen facile de corriger cela : soustrayez-le une fois.
Le principe d’inclusion-exclusion est une formule/idée utile lors de la détermination des probabilités et est utilisé pour les événements non mutuellement exclusifs.
Il peut être écrit comme suit :
ou en mots : le nombre d’éléments dans A « OU » B est égal au nombre d’éléments dans A plus le nombre d’éléments dans B soustraire le nombre d’éléments dans A « ET » B.
Appliquer l’apprentissage
Utiliser la formule qui représente le principe d’inclusion-exclusion pour résoudre le problème initial :
Au début de la saison de la grippe, un médecin examine 50 patients pendant deux jours. 30 ont un mal de tête, 24 ont un rhume, 12 n’ont ni l’un ni l’autre. Certains patients présentent les deux symptômes. Quelle est la probabilité qu’un patient pris au hasard présente les deux symptômes ?
Montrez vos étapes dans votre solution et expliquez (définition:Prenez le temps d’écrire des explications pour tout ce qui n’est pas évident ou qui a nécessité une réflexion qui n’est pas montrée par ailleurs.) votre réponse.
Solution
- 8 ont juste un rhume,
- 14 ont juste un mal de tête,
- 16 ont les deux.
Diagramme de Venn utilisant 3 événements
Les diagrammes de Venn et les événements mutuellement exclusifs ne sont pas seulement utilisés avec deux événements différents. Trois événements, bien que plus compliqués, peuvent également être utilisés dans un diagramme de Venn. Si la bonne stratégie est appliquée, cela peut être fait de manière efficace.
Exemple
Le département des services aux étudiants de l’Eastside Secondary veut compter le nombre d’étudiants en 12e année. Ils savent que chaque élève suit des cours de mathématiques, d’anglais ou de sciences. Ils ont trouvé que :
- 64 élèves suivent des cours de mathématiques
- 56 élèves suivent des cours d’anglais
- 82 élèves suivent des cours de sciences
- 20 élèves suivent des cours de mathématiques et d’anglais
- 25 élèves suivent des cours de mathématiques et de sciences
- 21 élèves suivent des cours d’anglais et de sciences
- 12 élèves suivent les trois cours.
Créez un diagramme de Venn à trois événements similaire à celui ci-dessous. Remplissez chaque section de votre diagramme de Venn en faisant bien attention à ce que chaque étudiant ne se trouve que dans une seule catégorie.
- Combien d’étudiants au total y a-t-il ?
- Quelle est la probabilité qu’un étudiant choisi au hasard prenne les mathématiques et les sciences ?
- Quelle est la probabilité qu’un étudiant choisi au hasard prenne les mathématiques ou les sciences ?
- Quelle est la probabilité qu’un étudiant prenne exactement 2 des 3 ?
Solution
- 12 les trois,
- 9 en E et S mais pas en M,
- 13 dans M et S mais pas E,
- 8 dans M et E mais pas S,
- 48 dans S seulement,
- 27 dans E seulement,
- 31 dans M seulement.
Pour vous aider à répondre à cette question, reportez-vous à l’exemple similaire suivant.