Géométrie des systèmes hamiltoniensModification

Le hamiltonien peut induire une structure symplectique sur un collecteur lisse de dimension paire M2n de plusieurs manières différentes, mais équivalentes, dont les plus connues sont les suivantes :

En tant que forme 2 symplectique fermée non dégénérée ω. Selon le théorème de Darboux, dans un petit voisinage autour de tout point sur M en coordonnées locales appropriées p 1 , ⋯ , p n , q 1 , ⋯ , q n {\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n},\ q_{1},\cdots ,q_{n}}.

il existe la forme symplectique ω = ∑ i = 1 n d p i ∧ d q i {\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}}

Les coordonnées locales p, q sont alors dites canoniques ou symplectiques.

La forme ω {\displaystyle \omega }

permet de construire un isomorphisme naturel T x M ≅ T x ∗ M {\displaystyle T_{x}M\cong T_{x}^{*}M}}.

de l’espace tangent T x M {\displaystyle T_{x}M}

et de l’espace cotangent T x ∗ M . {\displaystyle T_{x}^{*}M.}

Cela se fait en faisant correspondre un vecteur ξ ∈ T x M {\displaystyle \xi \in T_{x}M}.

à la forme 1 ω ξ ∈ T x ∗ M , {\displaystyle \omega _{\xi }\in T_{x}^{*}M,}

où ω ξ ( η ) = ω ( η , ξ ), {\displaystyle \omega _{\xi }(\eta )=\omega (\eta ,\xi ),}

pour une η arbitraire ∈ T x M . {\displaystyle \eta \in T_{x}M.}

En raison de la bilinéarité et de la non-dégénérescence de ω , {\displaystyle \omega ,}

et du fait que d i m T x M = d i m T x ∗ M , {\displaystyle \mathop {\rm {dim}}. T_{x}M={mathop {\rm {dim}} T_{x}^{*}M,}

la correspondance ξ → ω ξ {\displaystyle \xi \to \omega _{\xi }}

est en effet un isomorphisme linéaire. Cet isomorphisme est naturel en ce qu’il ne change pas avec le changement de coordonnées sur M . {\displaystyle M.}

En répétant pour tout x ∈ M , {\displaystyle x\in M,}

on aboutit à un isomorphisme J – 1 : Vect ( M ) → Ω 1 ( M ) {\displaystyle J^{-1}:{\text{Vect}}(M)\to \Omega ^{1}(M)}.

entre l’espace infiniment dimensionnel des champs vectoriels lisses et celui des formes 1 lisses. Pour tout f , g ∈ C ∞ ( M , R ) {\displaystyle f,g\in C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}.

et ξ , η ∈ Vect ( M ) , {\displaystyle \xi ,\eta \in {\text{Vect}}(M),}

J – 1 ( f ξ + g η ) = f J – 1 ( ξ ) + g J – 1 ( η ) . {\displaystyle J^{-1}(f\xi +g\eta )=fJ^{-1}(\xi )+gJ^{-1}(\eta ).}

(En termes algébriques, on dirait que la C ∞ ( M , R ) {\displaystyle C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}

-modules Vect ( M ) {\displaystyle {\text{Vect}}(M)}

et Ω 1 ( M ) {\displaystyle \Omega ^{1}(M)}

sont isomorphes). Si H ∈ C ∞ ( M × R t , R ) , {\displaystyle H\in C^{\infty }(M\times \mathbb {R} _{t},\mathbb {R} ),}

alors, pour tout t ∈ R t fixé , {\displaystyle t\in \mathbb {R} _{t},}

d H ∈ Ω 1 ( M ) , {\displaystyle dH\in \Omega ^{1}(M),}

et J ( d H ) ∈ Vect ( M ) . {\displaystyle J(dH)\in {\text{Vect}}(M).}

J ( d H ) {\displaystyle J(dH)}

est connu comme un champ vectoriel hamiltonien. L’équation différentielle respective sur M {\displaystyle M}

x ˙ = J ( d H ) ( x ) {\displaystyle {\dot {x}}=J(dH)(x)}

est appelée équation de Hamilton. Ici x = x ( t ) {\displaystyle x=x(t)}

et J ( d H ) ( x ) ∈ T x M {\displaystyle J(dH)(x)\in T_{x}M}.

est la valeur (dépendant du temps) du champ vectoriel J ( d H ) {\displaystyle J(dH)}.

en x ∈ M . {\displaystyle x\in M.}

Un système hamiltonien peut être compris comme un faisceau de fibres E sur le temps R, les fibres Et, t ∈ R, étant l’espace de position. Le Lagrangien est donc une fonction sur le faisceau de jets J sur E ; en prenant la transformée de Legendre fibrée du Lagrangien, on obtient une fonction sur le faisceau dual sur le temps dont la fibre en t est l’espace cotangent T∗Et, qui vient équipé d’une forme symplectique naturelle, et cette dernière fonction est le Hamiltonien. La correspondance entre la mécanique lagrangienne et la mécanique hamiltonienne est réalisée avec la forme unique tautologique.

Toute fonction H lisse à valeur réelle sur une manifold symplectique peut être utilisée pour définir un système hamiltonien. La fonction H est connue comme « le Hamiltonien » ou « la fonction d’énergie ». Le collecteur symplectique est alors appelé l’espace des phases. L’hamiltonien induit un champ vectoriel spécial sur le collecteur symplectique, connu sous le nom de champ vectoriel hamiltonien.

Le champ vectoriel hamiltonien induit un flux hamiltonien sur le collecteur. Il s’agit d’une famille de transformations du collecteur à un paramètre (le paramètre des courbes est communément appelé  » le temps « ) ; autrement dit, une isotopie de symplectomorphismes, en commençant par l’identité. Par le théorème de Liouville, chaque symplectomorphisme préserve la forme de volume sur l’espace des phases. La collection de symplectomorphismes induite par le flux hamiltonien est communément appelée « la mécanique hamiltonienne » du système hamiltonien.

La structure symplectique induit un crochet de Poisson. Le crochet de Poisson donne à l’espace des fonctions sur le collecteur la structure d’une algèbre de Lie.

Si F et G sont des fonctions lisses sur M, alors la fonction lisse ω2(IdG, IdF) est correctement définie ; elle est appelée un crochet de Poisson des fonctions F et G et est notée {F, G}. Le support de Poisson a les propriétés suivantes :

1. bilinéarité
2. antisymétrie
3. { F 1 ⋅ F 2 , G }. = F 1 { F 2 , G } + F 2 { F 1 , G } {\displaystyle \{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}}
   

   (règle de Leibniz)

4. { {H , F } , G } , G } + { { F , G } , H } + {G , H } , F } ≡ 0 {\displaystyle }{\{H,F\},G\}+\{\{F,G\},H\}+\{\{G,H\},F\}\equiv 0}
   

   (identité de Jacobi)

5. non-dégénérescence : si le point x sur M n’est pas critique pour F alors il existe une fonction lisse G telle que {F , G } ( x ) ≠ 0 {\displaystyle \{F,G\}(x)\neq 0}
   

   .

Donné une fonction f

d d d t f = ∂ ∂ t f + { f , H } , {\displaystyle} {\frac {\mathrm {d}} }{\mathrm {d} t}f={\frac {\partial }{\partial t}}f+\left\{f,{\mathcal {H}}\right\},}

s’il existe une distribution de probabilité, ρ, alors (puisque la vitesse de l’espace de phase ( p ˙ i , q ˙ i ) {\displaystyle ({\dot {p}}_{i},{\dot {q}}_{i})}

a une divergence nulle et la probabilité est conservée) on peut montrer que sa dérivée convective est nulle et donc ∂ ∂ t ρ = – { ρ , H }. {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}\rho =-\left\{\rho ,{\mathcal {H}}\right}}

C’est ce qu’on appelle le théorème de Liouville. Chaque fonction lisse G sur le collecteur symplectique génère une famille à un paramètre de symplectomorphismes et si {G, H} = 0, alors G est conservée et les symplectomorphismes sont des transformations de symétrie.

Un hamiltonien peut avoir plusieurs quantités conservées Gi. Si le collecteur symplectique est de dimension 2n et qu’il existe n quantités conservées Gi fonctionnellement indépendantes qui sont en involution (c’est-à-dire {Gi, Gj} = 0), alors le hamiltonien est intégrable de Liouville. Le théorème de Liouville-Arnold dit que, localement, tout hamiltonien intégrable de Liouville peut être transformé par un symplectomorphisme en un nouveau hamiltonien avec les quantités conservées Gi comme coordonnées ; les nouvelles coordonnées sont appelées coordonnées d’angle d’action. Le hamiltonien transformé ne dépend que des Gi, et donc les équations du mouvement ont la forme simple

G ˙ i = 0 , φ ˙ i = F i ( G ) {\displaystyle {\dot {G}}_{i}=0\quad ,\quad {\dot {\varphi }}_{i}=F_{i}(G)}.

pour une certaine fonction F. Il y a un domaine entier qui se concentre sur les petites déviations des systèmes intégrables régis par le théorème KAM.

L’intégrabilité des champs de vecteurs Hamiltoniens est une question ouverte. En général, les systèmes hamiltoniens sont chaotiques ; les concepts de mesure, de complétude, d’intégrabilité et de stabilité sont mal définis.

Multiples riemanniensEdit

Un cas particulier important consiste en les hamiltoniens qui sont des formes quadratiques, c’est-à-dire, Hamiltoniens qui peuvent être écrits comme

H ( q , p ) = 1 2 ⟨ p , p ⟩ q {\displaystyle {\mathcal {H}}(q,p)={\tfrac {1}{2}}\langle p,p\rangle _{q}}

où ⟨ , ⟩q est un produit interne à variation lisse sur les fibres T∗
qQ, l’espace cotangent au point q dans l’espace de configuration, parfois appelé cométrique. Cet hamiltonien est entièrement constitué du terme cinétique.

Si l’on considère un collecteur riemannien ou un collecteur pseudo-riemannien, la métrique riemannienne induit un isomorphisme linéaire entre les faisceaux tangents et cotangents. (Voir isomorphisme musical). En utilisant cet isomorphisme, on peut définir une cométrie. (En coordonnées, la matrice définissant la cométrique est l’inverse de la matrice définissant la métrique). Les solutions aux équations de Hamilton-Jacobi pour cet hamiltonien sont alors les mêmes que les géodésiques sur le collecteur. En particulier, le flux Hamiltonien dans ce cas est la même chose que le flux géodésique. L’existence de telles solutions, et la complétude de l’ensemble des solutions, sont discutées en détail dans l’article sur les géodésiques. Voir aussi les géodésiques comme flux hamiltoniens.

Multiples sub-riemanniensModification

Lorsque la comète est dégénérée, alors elle n’est pas inversible. Dans ce cas, on n’a pas de collecteur riemannien, car on n’a pas de métrique. Cependant, l’hamiltonien existe toujours. Dans le cas où le cométrique est dégénéré en chaque point q de la manifold Q de l’espace de configuration, de sorte que le rang du cométrique est inférieur à la dimension de la manifold Q, on a une manifold sub-riemannienne.

L’hamiltonien dans ce cas est connu comme un hamiltonien sub-riemannien. Tout Hamiltonien de ce type détermine de manière unique la comète, et vice versa. Cela implique que chaque collecteur sub-riemannien est déterminé de manière unique par son hamiltonien sub-riemannien, et que la réciproque est vraie : chaque collecteur sub-riemannien a un hamiltonien sub-riemannien unique. L’existence de géodésiques sub-riemanniennes est donnée par le théorème de Chow-Rashevskii.

Le groupe de Heisenberg continu, à valeurs réelles, fournit un exemple simple de collecteur sub-riemannien. Pour le groupe de Heisenberg, le hamiltonien est donné par

H ( x , y , z , p x , p y , p z ) = 1 2 ( p x 2 + p y 2 ) {\displaystyle {\mathcal {H}}\left(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z}\right)={\tfrac {1}{2}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right)}

pz n’est pas impliqué dans l’hamiltonien.

Alges de PoissonEdit

Les systèmes hamiltoniens peuvent être généralisés de diverses manières. Au lieu de simplement regarder l’algèbre des fonctions lisses sur un collecteur symplectique, la mécanique hamiltonienne peut être formulée sur des algèbres de Poisson réelles générales commutatives unitaires. Un état est une fonctionnelle linéaire continue sur l’algèbre de Poisson (équipée d’une certaine topologie appropriée) telle que pour tout élément A de l’algèbre, A2 se transforme en un nombre réel non négatif.

Une autre généralisation est donnée par la dynamique de Nambu.

Généralisation à la mécanique quantique par le crochet de PoissonEdit

Les équations de Hamilton ci-dessus fonctionnent bien pour la mécanique classique, mais pas pour la mécanique quantique, puisque les équations différentielles discutées supposent que l’on peut spécifier la position exacte et le momentum de la particule simultanément à tout moment. Cependant, les équations peuvent être encore généralisées pour ensuite être étendues pour s’appliquer à la mécanique quantique ainsi qu’à la mécanique classique, par la déformation de l’algèbre de Poisson sur p et q à l’algèbre des parenthèses de Moyal.

Spécifiquement, la forme plus générale de l’équation de Hamilton se lit

d f d t = { f , H }. + ∂ f ∂ t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\left\{f,{\mathcal {H}}\right\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}

où f est une certaine fonction de p et q, et H est le Hamiltonien. Pour connaître les règles d’évaluation d’un bracket de Poisson sans avoir recours aux équations différentielles, voir Algèbre de Lie ; un bracket de Poisson est le nom du bracket de Lie dans une algèbre de Poisson. Ces parenthèses de Poisson peuvent ensuite être étendues à des parenthèses de Moyal correspondant à une algèbre de Lie non équivalente, comme l’a prouvé Hilbrand J. Groenewold, et décrire ainsi la diffusion de la mécanique quantique dans l’espace des phases (voir la formulation de l’espace des phases et la transformée de Wigner-Weyl). Cette approche plus algébrique permet non seulement d’étendre en fin de compte les distributions de probabilité dans l’espace des phases aux distributions de quasi-probabilité de Wigner, mais, au simple cadre classique des crochets de Poisson, elle fournit également plus de puissance pour aider à analyser les quantités conservées pertinentes dans un système.