Dans cet article, vous apprendrez les problèmes de permutations et de combinaisons : Définition, formules, exemples résolus et un quiz avec des questions pratiques.

Permutations

Définition

Les permutations sont les différentes façons dont une collection d’éléments peut être arrangée.

Par exemple :

Les différentes manières dont les alphabets A, B et C peuvent être regroupés, pris tous à la fois, sont ABC, ACB, BCA, CBA, CAB, BAC.

Notez que ABC et CBA ne sont pas identiques car l’ordre d’arrangement est différent. La même règle s’applique lors de la résolution de tout problème de permutations.

Le nombre de façons dont n choses peuvent être arrangées, prises toutes à la fois, nPn = n !, est appelé ‘factorielle de n.’

Formule factorielle

La factorielle d’un nombre n est définie comme le produit de tous les nombres de n à 1.

Par exemple, la factorielle de 5, 5 ! = 5*4*3*2*1 = 120.

Donc, le nombre de façons dont on peut disposer les 3 lettres, prises tout à la fois, est 3 ! = 3*2*1 = 6 façons.

Nombre de permutations de n choses, prises r tout à la fois, noté par:

nPr = n ! / (n-r)!

Par exemple:

Les différentes façons dont les 3 lettres, prises 2 à la fois, peuvent être disposées est 3!/(3-2) ! = 3!/1 ! = 6 façons.

Formules de permutation importantes

1 ! = 1

0 ! = 1
Passons en revue quelques exemples:

Problème 1 : Trouvez le nombre de mots, avec ou sans signification, qui peuvent être formés avec les lettres du mot ‘CHAIR’.

Solution:

« CHAIR » contient 5 lettres.

Donc, le nombre de mots qui peuvent être formés avec ces 5 lettres = 5 ! = 5*4*3*2*1 = 120.

Problème 2 : Trouvez le nombre de mots, avec ou sans signification, qui peuvent être formés avec les lettres du mot « INDE ».

Solution:

Le mot ‘INDIA’ contient 5 lettres et ‘I’ y figure deux fois.

Quand une lettre apparaît plus d’une fois dans un mot, on divise la factorielle du nombre de toutes les lettres du mot par le nombre d’occurrences de chaque lettre.

Donc, le nombre de mots formés par ‘INDIA’ = 5!/2 ! = 60.

Problème 3 : Trouvez le nombre de mots, avec ou sans signification, qui peuvent être formés avec les lettres du mot ‘SWIMMING?

Solution:

Le mot ‘SWIMMING contient 8 lettres. Parmi lesquelles, I apparaît deux fois et M apparaît deux fois.

Donc, le nombre de mots formés par ce mot = 8 ! / (2!*2 !) = 10080.

Problème 4 : Combien de mots différents peut-on former avec les lettres du mot « SUPER » de telle sorte que les voyelles se rejoignent toujours ?

Solution:

Le mot « SUPER » contient 5 lettres.

Pour trouver le nombre de permutations qui peuvent être formées où les deux voyelles U et E se réunissent.

Dans ces cas, on regroupe les lettres qui devraient se réunir et on considère ce groupe comme une seule lettre.

Donc, les lettres sont S,P,R, (UE). Maintenant, le nombre de mots est de 4.

Donc, le nombre de façons dont 4 lettres peuvent être disposées est de 4!

En U et E, le nombre de façons dont U et E peuvent être disposées est de 2!

Donc, le nombre total de façons dont les lettres du « SUPER » peuvent être disposées de telle sorte que les voyelles soient toujours ensemble sont de 4 ! * 2 ! = 48 façons.

Problème 5 : Trouvez le nombre de mots différents qui peuvent être formés avec les lettres du mot ‘BUTTER’ de sorte que les voyelles soient toujours ensemble.

Solution:

Le mot ‘BUTTER’ contient 6 lettres.

Les lettres U et E doivent toujours être ensemble. Les lettres sont donc B, T, T, R, (UE).

Nombre de façons dont les lettres ci-dessus peuvent être disposées = 5 !/2 ! = 60 (puisque la lettre ‘T’ est répétée deux fois).

Nombre de façons dont U et E peuvent être disposées = 2 ! = 2 façons

Donc, nombre total de permutations possibles = 60*2 = 120 façons.
Problème 6 : trouver le nombre de permutations des lettres du mot ‘REMAINS’ telles que les voyelles se trouvent toujours à des endroits impairs.

Solution:

Le mot « REMAINS » a 7 lettres.

Il contient 4 consonnes et 3 voyelles.

Ecrire de la manière suivante facilite la résolution de ce type de questions.

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

Nombre de façons dont 3 voyelles peuvent se produire à 4 endroits différents = 4P3 = 24 façons.

Après que 3 voyelles prennent 3 places, nombre de façons dont 4 consonnes peuvent prendre 4 places = 4P4 = 4 ! = 24 façons.

Donc, nombre total de permutations possibles = 24*24 = 576 façons.

Combinaisons Définition Les différentes sélections possibles à partir d’une collection d’éléments sont appelées combinaisons.

Par exemple :

Les différentes sélections possibles à partir des alphabets A, B, C, pris 2 à la fois, sont AB, BC et CA.

Il importe peu que l’on sélectionne A après B ou B après A. L’ordre de sélection n’est pas important dans les combinaisons.

Pour trouver le nombre de combinaisons possibles à partir d’un groupe donné d’éléments n, pris r à la fois, la formule, notée nCr est

nCr = n ! /

Par exemple, en vérifiant l’exemple ci-dessus, les différentes sélections possibles à partir des alphabets A, B, C, pris deux à la fois sont

3C2 = 3 ! / (2 ! * (3-2) !) = 3 sélections possibles (c’est-à-dire, AB, BC, CA)

Formules de combinaison importantes

nCn = 1

nC0 = 1

nC1 = n

nCr = nC(n-r)

Le nombre de sélections possibles avec A, B, C, pris tous à la fois est 3C3 = 1 (soit . ABC)

Exemples résolus de combinaison

Regardons quelques exemples pour comprendre le fonctionnement des combinaisons :

Problème 1 : De combien de façons peut-on former un comité de 1 homme et 3 femmes à partir d’un groupe de 3 hommes et 4 femmes ?

Solution:

Nombre de façons dont 1 homme peut être sélectionné à partir d’un groupe de 3 hommes = 3C1 = 3 ! / 1!*(3-1) ! = 3 façons.

Nombre de façons dont 3 femmes peuvent être sélectionnées dans un groupe de 4 femmes = 4C3 = 4 ! / (3!*1 !) = 4 façons.

Problème 2 : Parmi un ensemble de 5 boules noires et de 3 boules rouges, combien de sélections de 5 boules peut-on faire pour qu’au moins 3 d’entre elles soient des boules noires.

Solution:

Sélectionner au moins 3 boules noires parmi un ensemble de 5 boules noires dans une sélection totale de 5 boules peut être

3 B et 2 R

4 B et 1 R et

5 B et 0 R boules.

Donc, l’expression de notre solution ressemble à ceci.
5C3 * 3C2 + 5C4 * 3C1 + 5C5 * 3C0 = 46 façons .

Problème 3 : Combien de nombres à 4 chiffres divisibles par 10 peuvent être formés à partir des nombres 3, 5, 7, 8, 9, 0 tels qu’aucun nombre ne se répète ?

Solution:

Si un nombre est divisible par 10, sa place des unités doit contenir un 0.
_ _ _ 0

Après avoir placé le 0 à la place des unités, on peut remplir la place des dizaines avec n’importe lequel des 5 autres chiffres.

Sélectionner un chiffre parmi 5 chiffres peut se faire de 5C1 = 5 façons.

Après avoir rempli la place des dizaines, il nous reste 4 chiffres. Sélectionner 1 chiffre parmi 4 chiffres peut se faire en 4C1 = 4 façons.

Après avoir rempli la place des centaines, la place des milliers peut être remplie en 3C1 = 3 façons.

Donc, le total des combinaisons possibles = 5*4*3 = 60.

Quiz sur les permutations et les combinaisons

Tentez ces problèmes d’entraînement.

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