De l’avis général, Marilyn vos Savant était une enfant prodige.

Née à Saint-Louis, dans le Missouri, en 1946, la jeune savante développe rapidement une aptitude pour les mathématiques et les sciences. À l’âge de 10 ans, on lui fait passer deux tests d’intelligence – le Stanford-Binet, et le Mega Test – qui placent tous deux sa capacité mentale à celle d’un jeune de 23 ans. Elle a ensuite été inscrite dans le Livre Guinness des records du monde pour avoir le « QI le plus élevé du monde », et, par conséquent, a acquis une renommée internationale.

Malgré son statut de « femme la plus intelligente du monde », Vos Savant a maintenu que les tentatives de mesurer l’intelligence étaient « inutiles », et elle a rejeté les tests de QI comme étant peu fiables. Au milieu des années 1980, libre de choisir son orientation professionnelle, elle a fait ses valises et s’est installée à New York pour devenir écrivain.

C’est là qu’elle a fait une pause : lorsque le magazine Parade a écrit un profil sur elle, les lecteurs ont répondu par un si grand nombre de lettres que la publication lui a offert un emploi à temps plein. Peu de temps après, elle a créé « Ask Marilyn », une rubrique hebdomadaire désormais célèbre dans laquelle elle répondait (et continue de répondre, à ce jour) à une variété de questions académiques et d’énigmes logiques. C’est dans le corps de l’une de ces chroniques que Vos Savant a déclenché l’une des batailles statistiques les plus passionnées du 21e siècle.

Lorsque Vos Savant a poliment répondu à la demande d’un lecteur sur le problème de Monty Hall, une énigme de probabilité alors relativement inconnue, elle n’aurait jamais pu imaginer ce qui allait se passer : bien que sa réponse ait été correcte, elle a reçu plus de 10 000 lettres, dont beaucoup émanaient d’éminents universitaires et de docteurs en sciences.D., l’informant qu’elle était une idiote écervelée.

Ce qui s’ensuivit pour votre Savant fut un voyage cauchemardesque, truffé d’injures, de suppositions fondées sur le genre et de persécution académique.

Le problème de Monty Hall : une brève histoire

Imaginez que vous êtes dans un jeu télévisé et que l’animateur vous présente trois portes fermées. Derrière l’une d’elles, se trouve une Lincoln Continental étincelante et toute neuve ; derrière les deux autres, se trouvent de vieilles chèvres malodorantes. L’animateur vous implore de choisir une porte, et vous choisissez la porte n° 1. Puis, l’animateur, qui est bien conscient de ce qui se passe dans les coulisses, ouvre la porte n°3, révélant l’une des chèvres.

« Maintenant, dit-il en se tournant vers vous, voulez-vous garder la porte n°1, ou voulez-vous passer à la porte n°2 ? »

Statistiquement, quel choix vous permet d’obtenir la voiture : garder votre porte initiale, ou changer ? Si, comme la plupart des gens, vous posez que vos chances sont de 50-50, vous avez tort — à moins, bien sûr, que vous aimiez les chèvres autant que les nouvelles voitures, auquel cas vous gagnerez 100 % du temps.

Lestement inspiré du célèbre jeu télévisé Let’s Make a Deal, le scénario présenté ci-dessus, plus connu sous le nom de  » problème de Monty Hall « , est une question de probabilité assez célèbre. Malgré sa simplicité trompeuse, certains des esprits les plus brillants du monde – professeurs du MIT, mathématiciens de renom et boursiers MacArthur « Genius » – ont eu du mal à saisir sa réponse. Pendant des décennies, il a suscité des débats intenses dans les salles de classe et les amphithéâtres.

Historiquement, le problème de Monty Hall a été précédé par plusieurs énigmes très similaires.

Dans le paradoxe de la boîte de Joseph Bertrand (1889), trois boîtes sont présentées — l’une contenant deux pièces d’or, l’autre deux pièces d’argent et la dernière une de chaque. En supposant que le participant tire une pièce d’or d’une boîte, le problème demande alors quelle est la probabilité que l’autre pièce de cette boîte soit en or. Bertrand, qui a conclu que la probabilité était de ⅔, a été loué pour sa capacité à regarder au-delà de l’évidence.

Une deuxième itération de ce paradoxe, le problème des trois prisonniers (1959), présente un scénario statistiquement identique, avec le même résultat.  » un petit problème merveilleusement déroutant « , a écrit plus tard, avec suffisance, son créateur, le chroniqueur de Scientific American, Martin Gardner.  » Dans aucune autre branche des mathématiques, il n’est aussi facile pour les experts de faire des gaffes que dans la théorie des probabilités. « 

Pour la première fois présenté dans une lettre à la rédaction de The American Statistician en 1975, le problème de Monty Hall était également contre-intuitif. Dans cette lettre, Steve Selvin, un professeur de l’Université de Californie à Berkeley, exposait la situation dans l’intro de cet article, et soutenait que le fait de changer de porte donne une chance sur ⅔ de gagner la voiture, alors que le fait de garder la porte originale ne permet de gagner que dans ⅓ des cas.

Au cours de la décennie suivante environ, le problème de Monty Hall a fait plusieurs apparitions, d’abord dans un puzzle du Journal of Economics Perspectives par Barry Nalebuff, puis dans un numéro de 1989 de Bridge Today, par Phillip Martin. La logique d’aucun des deux hommes n’a été réfutée, et le problème a suscité relativement peu d’attention.

Puis, après 15 ans sans incident, le problème Monty Hall a été ressuscité par Marilyn vos Savant — et une tempête de merde absolue a suivi.

La débâcle de Marilyn vos Savant

En septembre 1990, Marilyn vos Savant a consacré l’une de ses chroniques à la question d’un lecteur, qui présentait une variante du problème de Monty Hall :

« Supposons que vous participez à un jeu télévisé et qu’on vous donne le choix entre trois portes. Derrière une porte se trouve une voiture, derrière les autres, des chèvres. Vous choisissez une porte, disons la n°1, et l’animateur, qui sait ce qu’il y a derrière les portes, ouvre une autre porte, disons la n°3, qui a une chèvre. Il vous dit : « Voulez-vous choisir la porte n°2 ? » Est-ce que c’est à votre avantage d’échanger votre choix de portes ? »

« Oui ; vous devriez échanger », répond-elle. « La première porte a 1/3 de chance de gagner, mais la seconde a 2/3 de chance. »

Bien que sa réponse ait été correcte, une vaste bande d’universitaires a réagi avec indignation. Dans les mois qui ont suivi, vos Savant a reçu plus de 10 000 lettres — dont une paire du directeur adjoint du Centre d’information de la défense, et un statisticien mathématique de recherche des Instituts nationaux de la santé — qui prétendaient toutes qu’elle était totalement incompétente :

Vous avez tout gâché, et vous avez tout gâché en grand ! Puisque vous semblez avoir du mal à saisir le principe de base à l’œuvre ici, je vais vous expliquer. Après que l’hôte ait révélé une chèvre, vous avez maintenant une chance sur deux d’avoir raison. Que vous changiez votre sélection ou non, les chances sont les mêmes. Il y a assez d’analphabétisme mathématique dans ce pays, et nous n’avons pas besoin que le plus haut QI du monde en propage davantage. Honte !
Scott Smith, Ph.D.
Université de Floride

Puis-je vous suggérer d’obtenir et de vous référer à un manuel standard sur les probabilités avant d’essayer de répondre à nouveau à une question de ce type ?
Charles Reid, Ph.D.
Université de Floride

Je suis sûr que vous recevrez de nombreuses lettres sur ce sujet de la part de lycéens et d’étudiants. Peut-être devriez-vous garder quelques adresses pour vous aider dans vos futures chroniques.
W. Robert Smith, Ph.D.
Georgia State University

Vous êtes tout à fait incorrect sur la question du jeu télévisé, et j’espère que cette controverse attirera un peu l’attention du public sur la grave crise nationale de l’enseignement des mathématiques. Si vous pouvez admettre votre erreur, vous aurez contribué de manière constructive à la solution d’une situation déplorable. Combien faut-il de mathématiciens furieux pour vous faire changer d’avis ?
E. Ray Bobo, Ph.D.
Université de Georgetown

Vous avez fait une erreur, mais regardez le côté positif. Si tous ces docteurs avaient tort, le pays aurait de très sérieux problèmes.
Everett Harman, docteur
Institut de recherche de l’armée américaine

Vous êtes la chèvre !
Glenn Calkins
Western State College

Peut-être que les femmes regardent les problèmes de mathématiques différemment des hommes.
Don Edwards
Sunriver, Oregon

Le tollé a été tel que vos Savant a été obligé de consacrer trois colonnes ultérieures à expliquer pourquoi sa logique était correcte. Même à la suite de ses réponses claires et bien formulées, elle a continué à être réprimandée. « Je pense toujours que vous avez tort », a écrit un homme, près d’un an plus tard. « Il existe une chose telle que la logique féminine. »

Pourtant, les chiffres derrière la conclusion de vos Savant ne mentent pas.

Déboulonner le problème de Monty Hall

Puisque deux portes (l’une contenant une voiture, et l’autre une chèvre) restent après que l’hôte ait ouvert la porte #3, la plupart supposeraient que la probabilité de sélectionner la voiture est ½. Ce n’est pas le cas.

« La probabilité de gagner de 1/3 sur le premier choix ne peut pas passer à 1/2 juste parce que l’hôte ouvre une porte perdante », écrit vos Savant. En effet, si l’on cartographie six parties en explorant tous les résultats possibles, il devient clair que le fait de changer de porte entraîne une victoire dans les deux tiers (66,6 %) des cas, et que le fait de garder sa porte d’origine n’entraîne une victoire que dans un tiers (33,3 %) des cas :

Une autre façon de voir les choses est de décomposer chaque possibilité de changement de porte. Comme nous l’avons délimité ci-dessous, 6 des 9 scénarios possibles (deux tiers) permettent de gagner la voiture :

Ces résultats semblent aller à l’encontre de nos impulsions statistiques intuitives — alors pourquoi le fait de changer de porte augmente-t-il nos chances de gagner ?

La réponse courte est que vos chances initiales de gagner avec la porte #1 (⅓) ne changent pas simplement parce que l’hôte révèle une chèvre derrière la porte #3 ; au contraire, l’action de Hall augmente les chances à ⅔ que vous gagniez en changeant de porte.

Voici une autre façon de visualiser cela. Imaginez qu’au lieu de trois portes, Monty Hall vous présente 100 portes ; derrière 99 d’entre elles se trouvent des chèvres, et derrière l’une d’entre elles se trouve la voiture. Vous choisissez la porte n°1, et vos chances initiales de gagner la voiture sont maintenant de 1/100:

Puis, supposons que Monty Hall ouvre 98 des autres portes, révélant une chèvre derrière chacune d’elles. Il vous reste maintenant deux choix : garder la porte n°1, ou passer à la porte n°100 :

Lorsque vous sélectionnez la porte n°1, il y a 99/100 de chances que la voiture se trouve derrière l’une des autres portes. Le fait que Monty Hall révèle 98 chèvres ne change pas ces chances initiales — il ne fait que « déplacer » cette chance de 99/100 vers la porte n°100. Vous pouvez soit vous en tenir à votre choix initial de 1/100 de chances, soit passer à la porte #100, avec une probabilité beaucoup plus élevée de gagner la voiture.

Pour autant, si les mathématiques et les chiffres soutiennent l’affirmation de vos Savant — que les chances de gagner augmentent de ⅔ lorsque vous changez de porte — il faut prendre en compte d’autres facteurs qu’elle n’aborde pas dans sa réponse.

La psychologie de la rationalisation

Monty Hall, animateur de ‘Let’s Make a Deal’

En 1992, alors que la controverse sur la réponse de vos Savant couvait, Monty Hall — l’animateur du jeu télévisé, et homonyme du problème — s’est assis pour une interview avec le New York Times.

Hall a précisé que les choses fonctionnaient un peu différemment du scénario présenté par le lecteur de Parade dans la chronique de vos Savant. Dans la véritable émission, par exemple, il conservait le pouvoir d’offrir au concurrent de l’argent liquide pour NE PAS changer. Des détails comme celui-ci, disait-il, modifiaient l’état d’esprit du concurrent:

« , ils pensaient que les chances sur leur porte étaient maintenant passées à 1 sur 2, donc ils détestaient abandonner la porte, peu importe combien d’argent je proposais… Plus je montais, plus on pensait que la voiture était derrière . Je voulais faire de l’arnaque pour changer là. C’est le genre de choses que je peux faire quand j’ai le contrôle du jeu. Vous pouvez penser que vous avez la probabilité en votre faveur lorsque vous suivez la réponse dans sa colonne, mais il y a le facteur psychologique à prendre en compte. »

Le « facteur psychologique » mentionné par Hall se reporte des règles de l’émission à la variation du problème que nous avons présenté dans cet article. Pour les concurrents comme pour les résolveurs de problèmes, le problème Monty Hall provoque une dissonance cognitive, un terme utilisé par les psychologues pour décrire le « stress mental ressenti par un individu qui détient deux ou plusieurs croyances, idées ou valeurs contradictoires en même temps, ou qui est confronté à de nouvelles informations qui entrent en conflit avec les croyances, idées ou valeurs existantes. »

Lorsque les gens sont confrontés à des preuves qui sont « incompatibles avec leurs croyances » (ie. les chances de gagner en changeant de porte étant de ⅔, au lieu de ½), ils répondent d’abord en réfutant l’information, puis se regroupent avec des dissidents partageant les mêmes idées et défendent leur propre opinion arrêtée. C’est précisément la mentalité des milliers de détracteurs de vos Savant.

***

Plus de 25 ans plus tard, les arguments sur la sémantique du problème de Monty Hall et la réponse de vos Savant sont toujours omniprésents — principalement centrés sur les subtilités des actions de l’hôte.

« Notre cerveau n’est tout simplement pas câblé pour faire des problèmes de probabilité très bien, donc je ne suis pas surpris qu’il y ait eu des erreurs », a déclaré le professeur de statistiques de Stanford Persi Diaconis à un journaliste, il y a des années.  » L’argument strict serait que l’on ne peut pas répondre à la question sans connaître la motivation de l’hôte. »

Pour autant, beaucoup de ceux qui avaient écrit pour corriger les maths de vos Savant ont fait marche arrière et ont cédé qu’ils étaient dans l’erreur.

Un exercice proposé par vos Savant pour mieux comprendre le problème a bientôt été intégré dans des milliers de classes à travers la nation. Des modèles informatiques ont été construits qui corroboraient sa logique, et le soutien à son intellect a été progressivement rétabli. Alors que seulement 8 % des lecteurs avaient auparavant cru à la véracité de sa logique, ce nombre était passé à 56 % à la fin de 1992, écrit vos Savant ; parmi les universitaires, le soutien initial de 35 % est passé à 71 %.

Parmi les nouveaux croyants se trouvait Robert Sachs, professeur de mathématiques à l’université George Mason, qui avait initialement écrit une lettre désagréable à vos Savant, lui disant qu’elle avait « tout gâché » et lui proposant de l’aider à « expliquer ». Après avoir réalisé qu’il avait, en fait, tort, il s’est senti obligé de lui envoyer une autre lettre – cette fois, en se repentant de sa suffisance.

« Après avoir retiré mon pied de ma bouche, je mange maintenant une humble tarte », a-t-il écrit. « J’ai fait le vœu, comme pénitence, de répondre à toutes les personnes qui ont écrit pour me fustiger. Cela a été un embarras professionnel intense. »

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