Sucesos mutuamente y no mutuamente excluyentes
En el ejercicio anterior, has aprendido que puedes calcular probabilidades difíciles haciendo una simulación y utilizando la Ley de los Grandes Números. Las probabilidades teóricas se pueden calcular utilizando muchas estrategias diferentes dependiendo de la situación.
Los eventos mutuamente excluyentes son eventos que no pueden ocurrir al mismo tiempo. Ejemplos: giros a la derecha y a la izquierda, números pares e impares en un dado, ganar y perder un juego, o correr y caminar.
Los eventos no mutuamente excluyentes son eventos que pueden ocurrir al mismo tiempo. Algunos ejemplos son: conducir y escuchar la radio, números pares y números primos en un dado, perder una partida y marcar, o correr y sudar.
Los sucesos no mutuamente excluyentes pueden hacer que el cálculo de la probabilidad sea más complejo.
Reflexión de la Feria de Juegos
Vuelve a jugar al juego de voltear una carta en la Feria de Juegos.
Aplicando la definición de eventos mutuamente excluyentes, ¿los diferentes resultados de puntos en el juego son mutuamente excluyentes o no?
Tómate un tiempo para escribir algunas ideas sobre cómo calcular las probabilidades.
GamesFair
Descripción Larga
El problema de sólo entender la probabilidad como eventos mutuamente excluyentes es que estás simplificando estos eventos de una manera que no están destinados a ser simplificados. Es casi tan trágico como decir que la gente no puede hacer el bien y ganar dinero, o ser bueno en matemáticas y muy creativo. El siguiente vídeo demuestra la importancia de reconocer los eventos como no mutuamente excluyentes.
Diagramas de Venn
Este es un diagrama de Venn que muestra todas las cartas de una baraja estándar de 52 cartas. A es el conjunto de cartas sin cara.
Los diagramas de Venn son una forma de mostrar eventos y pueden usarse para mostrar situaciones simples cuando sólo ocurre un evento.
También pueden usarse para mostrar múltiples eventos.
Son particularmente útiles cuando se muestran eventos no mutuamente excluyentes.
En esta actividad los utilizarás para mostrar 2 o 3 eventos a la vez para analizar la relación entre los eventos.
La Intersección de Conjuntos
Considere el diagrama de Venn para la pregunta de 50 pacientes de Minds On.
Utilizamos la notación 
como la «Intersección» de los dos conjuntos, un elemento en A y B.
En este ejemplo, 
representa el solapamiento de los síntomas, o los pacientes que tienen tanto dolor de cabeza «Y» síntomas de gripe.
Llegará a conocer la intersección como la palabra «Y».
Registre su trabajo
Se le ha pedido que averigüe cuántas personas están en la categoría «AND» para calcular la probabilidad de que un paciente tenga ambos síntomas. Tenga la seguridad de que sólo hay una manera de hacerlo.
Usa el interactivo de abajo para crear un diagrama de venn para encontrar el número de personas que tienen ambos síntomas en el ejemplo.
Al comienzo de la temporada de gripe, un médico examina a 50 pacientes durante dos días. 30 tienen dolor de cabeza, 24 están resfriados y 12 no tienen ninguno de los dos síntomas. Algunos pacientes tienen ambos síntomas. ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente al azar tenga ambos síntomas?
Diagrama de Venn
Descripción larga
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En palabras |
En Símbolos |
En símbolos |
|---|---|---|
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Todo rojo |
n(A) = |
P(A) = |
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Todos los números |
n(B) = |
P(B) = |
|
Todas las cartas |
n(S) = |
P(S) = |
|
Intersección: Tanto número como rojo |
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Sólo rojo (tarjetas rojas que no son de número) |
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Sólo Número (tarjetas de número que no son rojas) |
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Unión: Rojo o Número |
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Todo lo demás |
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= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= El principio de inclusión-Exclusión
Considera el Diagrama de Venn. Si sumas n(A) y n(B), cuentas la parte de la intersección dos veces. Nunca debes contar un elemento dos veces para saber cuántos tienes. Si lo has contado dos veces, hay una forma fácil de corregirlo: restarlo una vez.
El Principio de Inclusión-Exclusión es una fórmula/idea útil a la hora de determinar probabilidades y se utiliza para sucesos no mutuamente excluyentes.
Se puede escribir de la siguiente manera:
o en palabras: el número de elementos en A «O» B es igual al número de elementos en A más el número de elementos en B restando el número de elementos en A «Y» B.
Aplica el Aprendizaje
Usa la fórmula que representa el principio de inclusión-exclusión para resolver el problema original:
Al inicio de la temporada de gripe, un médico examina a 50 pacientes durante dos días. 30 tienen dolor de cabeza, 24 están resfriados y 12 no tienen ninguno de los dos síntomas. Algunos pacientes tienen ambos síntomas. ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente al azar tenga ambos síntomas?
Muestre sus pasos en su solución y explique (definición:Tómese el tiempo de escribir explicaciones para cualquier cosa que no sea obvia o que haya requerido algún pensamiento que no se muestre.) su respuesta.
Solución
- 8 tienen sólo un resfriado,
- 14 tienen sólo un dolor de cabeza,
- 16 tienen ambos.
Diagrama de Venn usando 3 eventos
Los diagramas de Venn y los eventos mutuamente excluyentes no sólo se usan con dos eventos diferentes. Tres eventos, aunque más complicados, también pueden ser utilizados en un Diagrama de Venn. Si se aplica la estrategia adecuada, se puede hacer de forma eficaz.
Ejemplo
El Departamento de Servicios Estudiantiles de la Secundaria Eastside quiere contar el número de estudiantes del 12º grado. Saben que todos los alumnos cursan Matemáticas, Inglés o Ciencias. Encontraron que:
- 64 estudiantes están tomando Matemáticas
- 56 estudiantes están tomando Inglés
- 82 estudiantes están tomando Ciencias
- 20 estudiantes están tomando Matemáticas e Inglés
- 25 estudiantes están tomando Matemáticas y Ciencias
- 21 estudiantes están tomando Inglés y Ciencias
- 12 estudiantes están tomando los tres cursos.
Crea un diagrama de Venn de tres eventos similar al de abajo. Rellene cada sección de su diagrama de Venn prestando atención a que cada estudiante esté en una sola categoría.
- ¿Cuántos estudiantes hay en total?
- ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante al azar tome Matemáticas y Ciencias?
- ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante al azar tome Matemáticas o Ciencias?
- ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante tome exactamente 2 de las 3?
Solución
- 12 las tres,
- 9 en E y S pero no en M,
- 13 en M y S pero no en E,
- 8 en M y E pero no en S,
- 48 sólo en S,
- 27 sólo en E,
- 31 sólo en M.
Para ayudarte con esta pregunta, consulta el siguiente ejemplo similar.