Geometría de los sistemas hamiltonianosEditar

El hamiltoniano puede inducir una estructura simpléctica en una variedad lisa de dimensiones pares M2n de varias maneras diferentes, pero equivalentes, las más conocidas de las cuales son las siguientes:

Como una 2 forma simpléctica cerrada no degenerada ω. Según el teorema de Darboux, en una pequeña vecindad alrededor de cualquier punto de M en coordenadas locales adecuadas p 1 , ⋯ , p n , q 1 , ⋯ , q n {\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n},\ q_{1},\cdots ,q_{n}}

existe la forma simpléctica ω = ∑ i = 1 n d p i ∧ d q i {\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}

Las coordenadas locales p, q se denominan entonces canónicas o simplécticas.

La forma ω {\displaystyle \omega }

permite construir un isomorfismo natural T x M ≅ T x ∗ M {\displaystyle T_{x}M\cong T_{x}^*}}

del espacio tangente T x M {\displaystyle T_{x}M}

y el espacio cotangente T x ∗ M . {\displaystyle T_{x}^{*}M.}

Esto se hace mapeando un vector ξ ∈ T x M {\displaystyle \xi \in T_{x}M}

a la forma 1 ω ξ ∈ T x ∗ M , {\displaystyle \omega _{xi }\in T_{x}^{*}M,}

donde ω ξ ( η ) = ω ( η , ξ ) , {\displaystyle \omega _{\xi }(\eta )=\omega (\eta ,\xi ),}

para un η arbitrario ∈ T x M . {\displaystyle \eta \in T_{x}M.}

Debido a la bilinealidad y a la no-degeneración de ω , {\displaystyle \omega ,}

y al hecho de que d i m T x M = d i m T x ∗ M , {\displaystyle \mathop {\rm {dim}} T_{x}M=\mathop {\rm {dim} T_{x}^{*}M,}

el mapeo ξ → ω ξ {\displaystyle \xi \to \omega _{xi }}

es efectivamente un isomorfismo lineal. Este isomorfismo es natural en el sentido de que no cambia con el cambio de coordenadas en M . {\displaystyle M.}

Repitiendo para cada x ∈ M , {\displaystyle x\in M,}

terminamos con un isomorfismo J – 1 : Vect ( M ) → Ω 1 ( M ) {\displaystyle J^{-1}:{\text{Vect}}(M)\a \mega ^{1}(M)}

entre el espacio de infinitas dimensiones de los campos vectoriales suaves y el de las formas 1 suaves. Para cada f , g ∈ C ∞ ( M , R ) {\displaystyle f,g\in C^{infty }(M,\mathbb {R} )}

y ξ , η ∈ Vect ( M ) , {\displaystyle \xi ,\eta \in {\text{Vect}(M),}

J – 1 ( f ξ + g η ) = f J – 1 ( ξ ) + g J – 1 ( η ) . {\displaystyle J^{-1}(f\xi +g\eta )=fJ^{-1}(\xi )+gJ^{-1}(\eta ).}

(En términos algebraicos, se diría que el C ∞ ( M , R ) {\displaystyle C^{infty }(M,\mathbb {R} )}

-módulos Vect ( M ) {\displaystyle {\text{Vect}}(M)}

y Ω 1 ( M ) {\displaystyle \mega ^{1}(M)}

son isomorfas). Si H ∈ C ∞ ( M × R t , R ) , {\displaystyle H\\n C^{\infty }(M\times \mathbb {R} _{t},\mathbb {R} ),}

entonces, para cada t fijo ∈ R t , {\displaystyle t\en \mathbb {R} _{t},}

d H ∈ Ω 1 ( M ) , {\displaystyle dH\en \mega ^{1}(M),}

y J ( d H ) ∈ Vect ( M ) . {\displaystyle J(dH)\Nen {\text{Vect}(M).}

J ( d H ) {\displaystyle J(dH)}

se conoce como campo vectorial hamiltoniano. La ecuación diferencial respectiva en M {\displaystyle M}

x ˙ = J ( d H ) ( x ) {\displaystyle {\dot {x}}=J(dH)(x)}

se llama ecuación de Hamilton. Aquí x = x ( t ) {\displaystyle x=x(t)}

y J ( d H ) ( x ) ∈ T x M {\displaystyle J(dH)(x)\Nen T_{x}M}

es el valor (dependiente del tiempo) del campo vectorial J ( d H ) {\displaystyle J(dH)}

en x ∈ M . {\displaystyle x\in M.}

Un sistema hamiltoniano puede entenderse como un haz de fibras E sobre el tiempo R, siendo las fibras Et, t ∈ R, el espacio de posición. La lagrangiana es, por tanto, una función sobre el haz de fibras J sobre E; si se toma la transformada de Legendre de la lagrangiana a lo largo de la fibra, se obtiene una función sobre el haz dual sobre el tiempo cuya fibra en t es el espacio cotangente T∗Et, que viene equipado con una forma simpléctica natural, y esta última función es el hamiltoniano. La correspondencia entre la mecánica lagrangiana y la hamiltoniana se consigue con la forma única tautológica.

Cualquier función suave de valor real H sobre una variedad simpléctica puede utilizarse para definir un sistema hamiltoniano. La función H se conoce como «el Hamiltoniano» o «la función de energía». La variedad simpléctica se denomina entonces espacio de fase. El hamiltoniano induce un campo vectorial especial en la variedad simpléctica, conocido como campo vectorial hamiltoniano.

El campo vectorial hamiltoniano induce un flujo hamiltoniano en la variedad. Se trata de una familia de transformaciones de un solo parámetro de la variedad (el parámetro de las curvas se llama comúnmente «el tiempo»); en otras palabras, una isotopía de simplectomorfismos, empezando por la identidad. Por el teorema de Liouville, cada sinplectomorfismo preserva la forma de volumen en el espacio de fase. La colección de simplectomorfismos inducidos por el flujo hamiltoniano se llama comúnmente «la mecánica hamiltoniana» del sistema hamiltoniano.

La estructura simpléctica induce un corchete de Poisson. El corchete de Poisson da al espacio de funciones en la variedad la estructura de un álgebra de Lie.

Si F y G son funciones suaves en M entonces la función suave ω2(IdG, IdF) está adecuadamente definida; se llama corchete de Poisson de las funciones F y G y se denota {F, G}. El corchete de Poisson tiene las siguientes propiedades:

1. bilinealidad
2. antisimetría
3. { F 1 ⋅ F 2 , G } = F 1 { F 2 , G } + F 2 { F 1 , G } {\displaystyle \{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}}
   

   (regla de Leibniz)

4. { H , F } , G } + { { F , G } } , H } + { { G , H } , F } ≡ 0 {\displaystyle \{{H,F\},G\}+{{F,G\},H\}+{{G,H\},F\}equiv 0}
   

   (identidad de Jacobi)

5. no degeneración: si el punto x en M no es crítico para F entonces existe una función suave G tal que { F , G } ( x ) ≠ 0 {\displaystyle {F,G}(x)\neq 0}
   

   .

Dada una función f

d d t f = ∂ ∂ t f + { f , H } , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {{mathrm {d} t}}f={frac {\parcial }{parcial t}}f+{left}{f,{\mathcal {H}{right}},}

si existe una distribución de probabilidad ρ, entonces (ya que la velocidad del espacio de fase ( p ˙ i , q ˙ i ) {\displaystyle ({\dot {p}_{i},{\dot {q}_{i})}

tiene divergencia cero y la probabilidad se conserva) se puede demostrar que su derivada convectiva es cero y por tanto ∂ ∂ t ρ = – { ρ , H } {\displaystyle {\frac {{parcial}} {{parcial t}} =-\left} {{rho ,{\mathcal {H}}\right}}

Esto se llama teorema de Liouville. Toda función suave G sobre la variedad simpléctica genera una familia de simplectomorfismos de un parámetro y si {G, H} = 0, entonces G se conserva y los simplectomorfismos son transformaciones de simetría.

Un hamiltoniano puede tener múltiples cantidades conservadas Gi. Si la variedad simpléctica tiene dimensión 2n y hay n cantidades conservadas Gi funcionalmente independientes que están en involución (es decir, {Gi, Gj} = 0), entonces el hamiltoniano es integrable de Liouville. El teorema de Liouville-Arnold dice que, localmente, cualquier hamiltoniano integrable de Liouville puede transformarse mediante un simplectomorfismo en un nuevo hamiltoniano con las magnitudes conservadas Gi como coordenadas; las nuevas coordenadas se denominan coordenadas de ángulo de acción. El hamiltoniano transformado sólo depende de Gi, y por tanto las ecuaciones de movimiento tienen la forma simple

G ˙ i = 0 , φ ˙ i = F i ( G ) {\displaystyle {\dot {G}_{i}=0\quad ,\quad {\dot {\varphi }_{i}=F_{i}(G)}

para alguna función F. Hay todo un campo centrado en las pequeñas desviaciones de los sistemas integrables gobernados por el teorema de KAM.

La integrabilidad de los campos vectoriales hamiltonianos es una cuestión abierta. En general, los sistemas hamiltonianos son caóticos; los conceptos de medida, completitud, integrabilidad y estabilidad están mal definidos.

Múltiples riemannianosEditar

Un caso especial importante consiste en aquellos hamiltonianos que son formas cuadráticas, es decir, Hamiltonianos que pueden escribirse como

H ( q , p ) = 1 2 ⟨ p , p ⟩ q {\displaystyle {\mathcal {H}}(q,p)={tfrac {1}{2}}\langle p,p\rangle _{q}}

donde ⟨ , ⟩q es un producto interno suavemente variable sobre las fibras T∗
qQ, el espacio cotangente al punto q en el espacio de configuración, a veces llamado cométrico. Este hamiltoniano consiste enteramente en el término cinético.

Si se considera un colector riemanniano o un colector pseudo-riemanniano, la métrica riemanniana induce un isomorfismo lineal entre los haces tangentes y cotangentes. (Véase Isomorfismo musical). Utilizando este isomorfismo, se puede definir una cométrica. (En coordenadas, la matriz que define la cométrica es la inversa de la matriz que define la métrica). Las soluciones de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi para este hamiltoniano son entonces las mismas que las geodésicas del colector. En particular, el flujo hamiltoniano en este caso es lo mismo que el flujo geodésico. La existencia de tales soluciones, y la completitud del conjunto de soluciones, se discuten en detalle en el artículo sobre geodésicas. Ver también Geodésicas como flujos hamiltonianos.

Múltiplos subreyanosEditar

Cuando la cométrica es degenerada, entonces no es invertible. En este caso, no se tiene una variedad riemanniana, ya que no se tiene una métrica. Sin embargo, el hamiltoniano sigue existiendo. En el caso en el que la cométrica es degenerada en cada punto q del espacio de configuración Q, de modo que el rango de la cométrica es menor que la dimensión de la variedad Q, se tiene una variedad subreymaniana.

El hamiltoniano en este caso se conoce como hamiltoniano subreymaniano. Todo hamiltoniano de este tipo determina unívocamente la cométrica, y viceversa. Esto implica que cada colector subreyano está determinado unívocamente por su Hamiltoniano subreyano, y que lo contrario es cierto: cada colector subreyano tiene un único Hamiltoniano subreyano. La existencia de geodésicas subreinianas viene dada por el teorema de Chow-Rashevskii.

El grupo de Heisenberg, continuo y de valores reales, proporciona un ejemplo sencillo de una variedad subreinitaria. Para el grupo de Heisenberg, el Hamiltoniano viene dado por

H ( x , y , z , p x , p y , p z ) = 1 2 ( p x 2 + p y 2 ) {\displaystyle {\mathcal {H}}left(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z}\right)={tfrac {1}{2}}left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right)}

pz no interviene en el hamiltoniano.

Las álgebras de PoissonEditar

Los sistemas hamiltonianos pueden generalizarse de varias maneras. En lugar de considerar simplemente el álgebra de funciones suaves sobre una variedad simpléctica, la mecánica hamiltoniana puede formularse sobre álgebras de Poisson reales conmutativas generales. Un estado es una función lineal continua sobre el álgebra de Poisson (equipada con alguna topología adecuada) tal que para cualquier elemento A del álgebra, A2 mapea a un número real no negativo.

Una generalización más está dada por la dinámica de Nambu.

Generalización a la mecánica cuántica a través del corchete de PoissonEditar

Las ecuaciones de Hamilton anteriores funcionan bien para la mecánica clásica, pero no para la mecánica cuántica, ya que las ecuaciones diferenciales discutidas suponen que uno puede especificar la posición y el momento exactos de la partícula simultáneamente en cualquier punto del tiempo. Sin embargo, las ecuaciones se pueden generalizar aún más para aplicarlas a la mecánica cuántica así como a la mecánica clásica, a través de la deformación del álgebra de Poisson sobre p y q al álgebra de corchetes de Moyal.

Específicamente, la forma más general de la ecuación de Hamilton dice

d f d t = { f , H } + ∂ f ∂ t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\left{f,{\mathcal {H}\right\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}

donde f es alguna función de p y q, y H es el Hamiltoniano. Para conocer las reglas para evaluar un corchete de Poisson sin recurrir a las ecuaciones diferenciales, véase Álgebra de Lie; un corchete de Poisson es el nombre del corchete de Lie en un álgebra de Poisson. Estos corchetes de Poisson pueden extenderse a corchetes de Moyal que se ajustan a un álgebra de Lie no equivalente, como demostró Hilbrand J. Groenewold, y así describir la difusión mecánica cuántica en el espacio de fase (véase la formulación del espacio de fase y la transformación de Wigner-Weyl). Este enfoque más algebraico no sólo permite, en última instancia, extender las distribuciones de probabilidad en el espacio de fase a las distribuciones de cuasi-probabilidad de Wigner, sino que, en el mero entorno clásico del soporte de Poisson, también proporciona más poder para ayudar a analizar las cantidades conservadas relevantes en un sistema.