En este artículo aprenderás sobre los problemas de permutaciones y combinaciones: Definición, fórmulas, ejemplos resueltos y un cuestionario con preguntas de práctica.

Permutaciones

Definición

Las permutaciones son las diferentes formas en que se puede ordenar una colección de elementos.

Por ejemplo:

Las diferentes formas en que se pueden agrupar los alfabetos A, B y C, tomados todos a la vez, son ABC, ACB, BCA, CBA, CAB, BAC.

Nótese que ABC y CBA no son iguales ya que el orden de disposición es diferente. ¡La misma regla se aplica mientras se resuelve cualquier problema en Permutaciones.

El número de formas en que se pueden disponer n cosas, tomadas todas a la vez, nPn = n! se llama ‘n factorial.’

Fórmula Factorial

El factorial de un número n se define como el producto de todos los números de n a 1.

Por ejemplo, el factorial de 5, ¡5! = 5*4*3*2*1 = 120.

Por tanto, el número de formas en que se pueden disponer las 3 letras, tomadas todas a la vez, es 3! = 3*2*1 = 6 formas.

Número de permutaciones de n cosas, tomadas r a la vez, denotadas por:

nPr = n! / (n-r)!

Por ejemplo:

Las diferentes formas en que se pueden disponer las 3 letras, tomadas de 2 en 2, es ¡3!/(3-2)! = 3!/1! = 6 formas.

Fórmulas de permutación importantes

¡1! = 1

¡0! = 1
Veamos algunos ejemplos:

Problema 1: Encuentra el número de palabras, con o sin sentido, que se pueden formar con las letras de la palabra ‘SILLA’.

Solución:

‘SILLA’ contiene 5 letras.

Por lo tanto, el número de palabras que se pueden formar con estas 5 letras = ¡5! = 5*4*3*2*1 = 120.

Problema 2: Encuentra el número de palabras, con o sin significado, que se pueden formar con las letras de la palabra ‘INDIA’.

Solución:

La palabra ‘INDIA’ contiene 5 letras y la ‘I’ aparece dos veces.

Cuando una letra aparece más de una vez en una palabra, dividimos el factorial del número de todas las letras de la palabra entre el número de apariciones de cada letra.

Por lo tanto, el número de palabras formadas por ‘INDIA’ = ¡5!/2! = 60.

Problema 3: Halla el número de palabras, con o sin significado, que se pueden formar con las letras de la palabra ‘NATACIÓN?

Solución:

La palabra ‘NATACIÓN’ contiene 8 letras. De las cuales, la I aparece dos veces y la M aparece dos veces.

Por lo tanto, el número de palabras formadas por esta palabra = ¡8! / (¡2!*2!) = 10080.

Problema 4: ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra ‘SUPER’ de forma que las vocales siempre vayan juntas?

Solución:

La palabra ‘SUPER’ contiene 5 letras.

Para encontrar el número de permutaciones que se pueden formar donde las dos vocales U y E vienen juntas.

En estos casos, agrupamos las letras que deben venir juntas y consideramos ese grupo como una letra.

Así, las letras son S,P,R, (UE). ¡Ahora el número de palabras es 4.

¡Por lo tanto, el número de formas en que se pueden disponer las 4 letras es 4!

¡En U y E, el número de formas en que se pueden disponer U y E es 2!

Por lo tanto, el número total de formas en que se pueden disponer las letras del ‘SUPER’ de forma que las vocales estén siempre juntas son 4! ¡¡* 2! = 48 formas.

Problema 5: Encuentra el número de palabras diferentes que se pueden formar con las letras de la palabra ‘BUTTER’ de forma que las vocales estén siempre juntas.

Solución:

La palabra ‘BUTTER’ contiene 6 letras.

Las letras U y E deben ir siempre juntas. ¡Por lo tanto, las letras son B, T, T, R, (UE).

Número de formas en que se pueden disponer las letras anteriores = ¡5!/2! = 60 (ya que la letra ‘T’ se repite dos veces).

Número de formas en que se pueden disponer U y E = ¡2! = 2 formas

Por lo tanto, el número total de permutaciones posibles = 60*2 = 120 formas.
Problema 6: Encontrar el número de permutaciones de las letras de la palabra ‘REMAINS’ tal que las vocales siempre ocurran en lugares impares.

Solución:

La palabra ‘Restos’ tiene 7 letras.

En ella hay 4 consonantes y 3 vocales.

Escribir de la siguiente manera facilita la resolución de este tipo de cuestiones.¡

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

Número de formas en que 3 vocales pueden aparecer en 4 lugares diferentes = 4P3 = 24 formas.

Después de que 3 vocales ocupen 3 lugares, número de formas en que 4 consonantes pueden ocupar 4 lugares = 4P4 = 4! = 24 formas.

Por lo tanto, el número total de permutaciones posibles = 24*24 = 576 formas.

Definición de combinaciones Las diferentes selecciones posibles de una colección de elementos se llaman combinaciones.

Por ejemplo:

Las diferentes selecciones posibles de los alfabetos A, B, C, tomados de 2 en 2, son AB, BC y CA.

No importa si seleccionamos A después de B o B después de A. ¡El orden de selección no es importante en las combinaciones.

Para hallar el número de combinaciones posibles de un grupo dado de elementos n, tomados r a la vez, la fórmula, denotada por nCr es

nCr = n! /

Por ejemplo, verificando el ejemplo anterior, las diferentes selecciones posibles de los alfabetos A, B, C, tomados de dos en dos son

3C2 = ¡3! / (¡2! * (3-2)!) = 3 selecciones posibles (es decir, AB, BC, CA)

Importantes fórmulas de combinación

nCn = 1

nC0 = 1

nC1 = n

nCr = nC(n-r)

El número de selecciones posibles con A, B, C, tomadas todas a la vez es 3C3 = 1 (es decir ABC)

Ejemplos resueltos de Combinación

Veamos algunos ejemplos para entender cómo funcionan las Combinaciones:

Problema 1: ¿De cuántas maneras se puede formar un comité de 1 hombre y 3 mujeres a partir de un grupo de 3 hombres y 4 mujeres?¡

Solución:

Número de formas en que se puede seleccionar 1 hombre de un grupo de 3 hombres = 3C1 = 3! / 1!*(3-1)! ¡= 3 maneras.

Número de maneras en que 3 mujeres pueden ser seleccionadas de un grupo de 4 mujeres = 4C3 = 4! / (¡3!*1!) = 4 formas.

Problema 2: Entre un conjunto de 5 bolas negras y 3 rojas, cuántas selecciones de 5 bolas se pueden hacer de forma que al menos 3 de ellas sean negras.

Solución:

La selección de al menos 3 bolas negras de un conjunto de 5 bolas negras en una selección total de 5 bolas puede ser

3 B y 2 R

4 B y 1 R y

5 bolas B y 0 R.

Por lo tanto, nuestra expresión de solución queda así.
5C3 * 3C2 + 5C4 * 3C1 + 5C5 * 3C0 = 46 formas .

Problema 3: ¿Cuántos números de 4 cifras divisibles por 10 pueden formarse a partir de los números 3, 5, 7, 8, 9, 0 de forma que ningún número se repita?

Solución:

Si un número es divisible por 10, su lugar de unidad debe contener un 0.
_ _ _ 0

Después de colocar el 0 en el lugar de las unidades, el lugar de las decenas puede llenarse con cualquiera de los otros 5 dígitos.

Seleccionar un dígito de entre 5 dígitos puede hacerse de 5C1 = 5 maneras.

Después de llenar el lugar de las decenas, nos quedan 4 dígitos. La selección de 1 dígito de los 4 dígitos se puede hacer de 4C1 = 4 maneras.

Después de llenar el lugar de las centenas, el lugar de los millares se puede llenar de 3C1 = 3 maneras.

Por lo tanto, el total de combinaciones posibles = 5*4*3 = 60.

Cuestionario de permutaciones y combinaciones

Prueba estos problemas de práctica.