Lagen om radioaktivt sönderfall
När en enskild atomkärna omvandlas till en annan med utsläpp av strålning sägs kärnan sönderfalla. Radioaktivt sönderfall sker för alla kärnor med \(Z > 82\) och även för vissa instabila isotoper med \(Z < 83\). Nedbrytningshastigheten är proportionell mot antalet ursprungliga (icke nedbrutna) kärnor N i ett ämne. Antalet kärnor som går förlorade genom sönderfall, \(-dN\) i tidsintervallet dt, skrivs
\
där \(\lambda\) kallas för sönderfallskonstanten. (Minustecknet anger att antalet ursprungliga kärnor minskar med tiden.) Med andra ord, ju fler kärnor som är tillgängliga för sönderfall, desto fler som sönderfaller (under tiden dt). Ekvation \ref{eq2} kan skrivas om till
\
Integrera båda sidorna av ekvationen och definiera \(N_0\) som antalet kärnor vid \(t = 0\), får vi
Detta ger oss
Om vi tar vänstra och högra sidan av ekvation \ref{eq4} som en potens av \(e\), har vi lagen om radioaktivt sönderfall.
Lagen om radioaktivt sönderfall
Det totala antalet \(N\) radioaktiva kärnor som återstår efter tiden \(t\) är
där \(\lambda\) är sönderfallskonstanten för den aktuella kärnan.
Det totala antalet kärnor sjunker först mycket snabbt och sedan långsammare (figur \(\PageIndex{2}\)).
Den radioaktiva ämnets halveringstid \((T_{1/2})\) definieras som den tid som det tar för hälften av de ursprungliga kärnorna att sönderfalla (eller den tid vid vilken hälften av de ursprungliga kärnorna återstår). Halveringstiderna för instabila isotoper visas i diagrammet över nuklider. Antalet radioaktiva kärnor som återstår efter ett heltal (n) antal halveringstider är därför
\
Om sönderfallskonstanten \((\lambda)\) är stor är halveringstiden liten, och vice versa. För att bestämma förhållandet mellan dessa storheter, observera att när \(t = T_{1/2}\), så \(N = N_0/2\).
Därmed kan ekvation \ref{eq5} skrivas om till
Dividerar man båda sidorna med \(N_0\) och tar den naturliga logaritmen får man
som reducerar sig till
Thos, Om vi känner till halveringstiden T1/2 för ett radioaktivt ämne kan vi hitta dess sönderfallskonstant. Livslängden \(\overline{T}\) för ett radioaktivt ämne definieras som den genomsnittliga tid som en kärna existerar innan den sönderfaller. Ett ämnes livslängd är bara reciproken av sönderfallskonstanten, skriven som
\
Aktiviteten A definieras som storleken på sönderfallshastigheten, eller
\
Den infinitesimala förändringen dN i tidsintervallet dt är negativ eftersom antalet föräldrapartiklar (icke sönderfallna) minskar, så aktiviteten (A) är positiv. Genom att definiera den ursprungliga aktiviteten som \(A_0 = \lambda N_0\) har vi
\
Därmed minskar aktiviteten A hos ett radioaktivt ämne exponentiellt med tiden (figur \(\PageIndex{3}\)).
Exempel \(\PageIndex{1}\): Nedbrytningskonstant och aktivitet för strontium-90
Halveringstiden för strontium-90, \(\ce{_{38}^{90}Sr}\), är 28,8 y. Hitta (a) dess nedbrytningskonstant och (b) den initiala aktiviteten för 1,00 g av materialet.
Strategi
Vi kan hitta nedbrytningskonstanten direkt från ekvation \ref{eq8}. För att bestämma aktiviteten måste vi först hitta antalet närvarande kärnor.
Lösning
a. Man finner att sönderfallskonstanten är
\
b. Atommassan för \(_{38}^{90}Sr\) är 89,91 g. Med hjälp av Avogadros tal \(N_A = 6,022 \ gånger 10^{23}\) atomer/mol finner vi det ursprungliga antalet atomkärnor i 1,00 g av materialet:
Därav finner vi att aktiviteten \(A_0\) vid \(t = 0\) för 1.00 g strontium-90 är
Om man uttrycker \(\lambda\) i termer av ämnets halveringstid får man
Därmed halveras aktiviteten efter en halveringstid. Vi kan bestämma nedbrytningskonstanten \(\lambda\) genom att mäta aktiviteten som en funktion av tiden. Genom att ta den naturliga logaritmen av vänster och höger sida i ekvation \ref{eq11} får vi
\
Denna ekvation följer den linjära formen \(y = mx + b\). Om vi plottar \ln A mot t, förväntar vi oss en rät linje med lutning \(-\lambda\) och y-intercept \(\ln \, A_0\) (Figur \(\(\PageIndex{3b}\)). Aktivitet A uttrycks i becquerel (Bq), där en \(1 \, Bq = 1 \, sönderfall \, per \, sekund\). Denna kvantitet kan också uttryckas i sönderfall per minut eller sönderfall per år. En av de vanligaste enheterna för aktivitet är curie (Ci), som definieras som aktiviteten hos 1 g \(^{226}Ra\). Förhållandet mellan Bq och Ci är
\
Exempel \(\PageIndex{2}\):
Omkring \(20\%\) av människokroppens massa består av kol. Beräkna aktiviteten på grund av \(^{14}C\) i 1,00 kg kol som finns i en levande organism. Uttryck aktiviteten i enheterna Bq och Ci.
Strategi
Aktiviteten hos \(^{14}C\) bestäms med hjälp av ekvationen \(A_0 = \lambda N_0\), där λ är sönderfallskonstanten och \(N_0\) är antalet radioaktiva kärnor. Antalet \(^{14}C\)-kärnor i ett prov på 1,00 kg bestäms i två steg. Först bestämmer vi antalet \(^{12}C\)-kärnor med hjälp av begreppet mol. För det andra multiplicerar vi detta värde med \(1,3 \ gånger 10^{-12}\) (den kända förekomsten av \(^{14}C\) i ett kolprov från en levande organism) för att bestämma antalet \(^{14}C\)-kärnor i en levande organism. Sönderfallskonstanten bestäms utifrån den kända halveringstiden för \(^{14}C\) (tillgänglig från ).
Lösning
En mol kol har en massa på 12,0 g, eftersom det är nästan rent \(^{12}C\). Antalet kolkärnor i ett kilogram är således
Antalet \(^{14}C\) kärnor i 1 kg kol är därför
Nu kan vi hitta aktiviteten \(A\) med hjälp av ekvation \ref{eq11}. Genom att ange kända värden får vi
\
eller \(7,89 \ gånger 10^9\) sönderfall per år. För att omvandla detta till enheten Bq omvandlar vi helt enkelt år till sekunder. Således
\
eller 250 sönderfall per sekund. För att uttrycka A i curier använder vi definitionen av en curie,
\
Därmed,
\
Betydelse
Omkring \(20\%\) av människokroppens vikt består av kol. Hundratals \(^{14}C\) sönderfall sker i människokroppen varje sekund. Kol-14 och andra naturligt förekommande radioaktiva ämnen i kroppen utgör en persons bakgrundsexponering för kärnstrålning. Som vi kommer att se senare i detta kapitel ligger denna aktivitetsnivå långt under de högsta rekommenderade doserna.