Vi har redan en plats som väntar på att vi ska grafera över den, så låt oss dra nytta av det. Vi börjar med att grafera det ordnade paret (2, 3). För att göra det börjar vi vid ursprunget, går 2 till höger, 3 uppåt och ritar sedan en punkt där vi landade. Det är nästan som om vi följer en skattkarta. Först reser vi till vänster eller höger längs x-axeln för att hitta var ”x” markerar platsen, sedan reser vi uppåt eller nedåt längs y-axeln när vi vill veta ”varför” skatten inte låg i kistan där den skulle vara. Sedan letar vi upp den kloka killen som gav oss den här falska kartan från början.

Det första talet i ett ordnat par talar om för oss hur långt vi ska gå till vänster eller höger på x-axeln (horisontell tallinje), och det andra talet i det ordnade paret talar om för oss hur långt vi ska gå uppåt eller nedåt på y-axeln (vertikal tallinje). Eftersom x kommer före y i alfabetet, hör x till det första talet och y till det andra talet.

Dessa tal kallas för koordinater. De ”samordnas” med varandra för att komma fram till en viss punkt på grafen. Det första talet i ett ordnat par är x-koordinaten och det andra talet är y-koordinaten. Den punkt som vi ritar för att representera det ordnade paret kallas för en punkt. Du kan titta på en punkt, men du får inte peka på den. Det är oförskämt.

När vi graferar en punkt genom att resa längs x-axeln och sedan y-axeln är det nästan som om vi reser längs två sidor av en tänkt rektangel. Det borde därför inte komma som någon överraskning att vi använder något som kallas det rektangulära koordinatsystemet, även känt som det kartesiska koordinatsystemet. Du kanske oftare ser att detta kallas ”kartesiskt koordinatsystem”, vilket är olyckligt, eftersom det inte finns någon form som kallas cartesle. Vi kan dock låtsas att det finns en sådan och att den ser exakt ut som en rektangel.

Exempel på problem

Grafera det ordnade paret (5, -2).

X-koordinaten är 5 och y-koordinaten är -2, vilket innebär att vi börjar vid origo, räknar 5 åt höger på x-axeln och sedan räknar 2 ner på y-axeln. Vi har en negativ y-koordinat den här gången, så vår jojo kommer att vara på väg nedåt.

Tekniskt sett är en punkt vad vi får när vi graferar ett ordnat par. I praktiken används uttrycket ”ordnat par” och ordet ”punkt” synonymt. Du kan försöka arbeta in detta i den vardagliga konversationen. ”Hm… du har ett bra ordnat par där” eller ”Kan du ordna ett ordnat par åt mig i riktning mot postkontoret?”.

Okej, så det kanske inte fungerar lika bra på engelska.

Vi kan tala om ”punkten” (3, 4), som har koordinaterna 3 och 4. Vi kan bli ombedda att grafera en punkt i stället för ett ordnat par. Du kan inte göra fel så länge du kommer ihåg att de är en och samma sak.

Förutom att använda koordinater för att grafera en punkt kan vi också gå baklänges, det vill säga vi kan titta på en punkt på en graf och räkna ut dess koordinater. Det är som att börja med en skatt och sedan leta efter skattkartan. Vi är inte säkra på vem som i sitt rätta sinne skulle göra saker i den ordningen, men så här är det. För att lugna våra sinnen antar vi för tillfället att denna process är av större värde när vi har att göra med funktioner än när vi har att göra med gulddubbloner.

Exempel på problem

Vilka koordinater har punkten i grafen nedan?

För att komma till den här punkten från origo måste vi gå 1 åt höger (längs x-axeln) och 2 uppåt (längs y-axeln). Därför är punktens koordinater (1, 2). Det är åtminstone inte en lång resa från ursprunget och det finns inga mellanlandningar. Det skulle vara jobbigt om vi var tvungna att stanna vid (1, 1) i ett par timmar i väntan på en anslutningskoordinat.

Hittills har alla punkter som vi har graferat haft heltalskoordinater. Dessa punkter är lätta att grafera, men i mer avancerade problem kommer vi också att behöva grafera punkter med icke heltalskoordinater. På den sidan kommer saker och ting att bli lite knepigare. På den positiva sidan kommer vi, nu när vi inte behöver hålla oss till ett rutnät, att kunna grafera lite mer intressanta bilder.

Som med tallinjen kan vi rita punkter med icke-integerkoordinater på ungefär rätt plats och sedan märka upp punkterna så att andra personer vet exakt var de är. Förhoppningsvis kommer ingen att ta fram en linjal bara för att bevisa att din punkt ligger en halvmillimeter fel. Om de gör det har de alldeles för mycket tid på sig.