Geometri av HamiltonsystemRedigera

Hamiltonianen kan inducera en symplektisk struktur på en slät jämndimensionell manifest M2n på flera olika, men likvärdiga, sätt, varav de mest kända är följande:

Som en sluten, icke-degenererad symplektisk 2-form ω. Enligt Darbouxs sats kan man i ett litet grannskap runt varje punkt på M i lämpliga lokala koordinater p 1 , ⋯ , p n , q 1 , ⋯ , q n {\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n},\ q_{1},\cdots ,q_{n}}}

finns den symplektiska formen ω = ∑ i = 1 n d p i ∧ d q i {\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}}

De lokala koordinaterna p, q kallas då kanoniska eller symplektiska.

Formen ω {\displaystyle \omega }

gör det möjligt att konstruera en naturlig isomorfism T x M ≅ T x ∗ M {\displaystyle T_{x}M\cong T_{x}^{*}}M}

av tangentutrymmet T x M {\displaystyle T_{x}M}

och kotangentrummet T x ∗ M . {\displaystyle T_{x}^{*}}M.}

Detta görs genom att mappa en vektor ξ ∈ T x M {\displaystyle \xi \xi \in T_{x}M}

till 1-formen ω ξ ∈ T x ∗ M , {\displaystyle \omega _{\xi }\in T_{x}^{*}M,}

där ω ξ ( η ) = ω ( η , ξ ) , {\displaystyle \omega _{\xi }(\eta )=\omega (\eta ,\xi ),}

för ett godtyckligt η ∈ T x M . {\displaystyle \eta \in T_{x}M.}

På grund av att ω , {\displaystyle \omega ,}

och det faktum att d i m T x M = d i m T x ∗ M , {\displaystyle \mathop {\rm {dim}} T_{x}M=\mathop {\rm {dim}}} T_{x}^{*}}M,}

avbildningen ξ → ω ξ {\displaystyle \xi \xi \to \omega _{\xi }}

är verkligen en linjär isomorfism. Denna isomorfism är naturlig såtillvida att den inte förändras vid ändring av koordinater på M . {\\displaystyle M.}

Genom att för varje x ∈ M upprepa {\displaystyle x\in M,}

får vi till slut en isomorfism J – 1 : Vect ( M ) → Ω 1 ( M ) {\displaystyle J^{-1}:{\text{Vect}}(M)\till \Omega ^{1}(M)}

mellan det infinitdimensionella rummet för släta vektorfält och det för släta 1-former. För varje f , g ∈ C ∞ ( M , R ) {\displaystyle f,g\in C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}

och ξ , η ∈ Vect ( M ) , {\displaystyle \xi ,\eta \in {\text{Vect}}(M),}

J – 1 ( f ξ + g η ) = f J – 1 ( ξ ) + g J – 1 ( η ) . {\displaystyle J^{-1}(f\xi +g\eta )=fJ^{-1}(\xi )+gJ^{-1}(\eta ).}

(I algebraiska termer skulle man säga att C ∞ ( M , R ) {\displaystyle C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}

-moduler Vect ( M ) {\displaystyle {\text{Vect}}(M)}

och Ω 1 ( M ) {\displaystyle \Omega ^{1}(M)}

är isomorfa). Om H ∈ C ∞ ( M × R t , R ) , {\displaystyle H\in C^{\infty }(M\times \mathbb {R} _{t},\mathbb {R} ),}

då, för varje fast t ∈ R t , {\displaystyle t\in \mathbb {R} _{t},}

d H ∈ Ω 1 ( M ) , {\displaystyle dH\in \Omega ^{1}(M),}

och J ( d H ) ∈ Vect ( M ) . {\\displaystyle J(dH)\in {\text{Vect}}(M).}

J ( d H ) {\displaystyle J(dH)}

är känt som ett Hamiltons vektorfält. Motsvarande differentialekvation för M {\displaystyle M}

x ˙ = J ( d H ) ( x ) {\displaystyle {\dot {x}}=J(dH)(x)}

kallas Hamiltons ekvation. Här är x = x ( t ) {\displaystyle x=x(t)}

och J ( d H ) ( x ) ∈ T x M {\displaystyle J(dH)(x)\in T_{x}M}

är det (tidsberoende) värdet av vektorfältet J ( d H ) {\displaystyle J(dH)}

vid x ∈ M . {\displaystyle x\in M.}

Ett Hamiltonsystem kan uppfattas som ett fiberbunt E över tiden R, där fibrerna Et, t ∈ R, utgör positionsrymden. Lagrangianen är således en funktion på jetbunten J över E; om man tar den fibervisa Legendre-transformen av lagrangianen får man fram en funktion på det dubbla buntet över tiden vars fiber vid t är kotangentrummet T∗Et, som är utrustad med en naturlig symplektisk form, och denna sistnämnda funktion är Hamiltonianen. Korrespondensen mellan lagrangian och hamiltonmekanik uppnås med den tautologiska enformen.

Alla släta realvärdesfunktioner H på en symplektisk mångfald kan användas för att definiera ett hamiltoniskt system. Funktionen H är känd som ”Hamiltonianen” eller ”energifunktionen”. Den symplektiska manifestet kallas då för fasrummet. Hamiltonianen inducerar ett speciellt vektorfält på den symplektiska manifestet, som kallas det hamiltoniska vektorfältet.

Det hamiltoniska vektorfältet inducerar ett hamiltoniskt flöde på manifestet. Detta är en familj av transformationer av manifestet med en parameter (parametern för kurvorna kallas vanligen ”tiden”); med andra ord, en isotopi av symplektomorfismer, som börjar med identiteten. Enligt Liouvilles sats bevarar varje symplektomorfism volymformen i fasrummet. Samlingen av symplektomorfismer som induceras av det hamiltoniska flödet brukar kallas ”den hamiltoniska mekaniken” för det hamiltoniska systemet.

Den symplektiska strukturen inducerar en Poisson-bracket. Poissonklämman ger funktionsrummet på manifestet strukturen av en Lie-algebra.

Om F och G är släta funktioner på M så är den släta funktionen ω2(IdG, IdF) korrekt definierad; den kallas Poissonklämman för funktionerna F och G och betecknas {F, G}. Poissonparentesen har följande egenskaper:

1. bilinearitet
2. antisymmetri
3. { F 1 ⋅ F 2 , G } = F 1 { F 2 , G } + F 2 { F 1 , G } {\displaystyle \{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}}
   

   (Leibniz regel)

4. { { { H , F } , G } + { { { F , G } , H } + { { { G , H } , F } ≡ 0 {\displaystyle \{\{H,F\},G\}+\{\{F,G\},H\}+\{\{G,H\},F\}\equiv 0}
   

   (Jacobi-identitet)

5. non-degenerering: om punkten x på M inte är kritisk för F så finns det en slät funktion G så att { F , G } ( x ) ≠ 0 {\displaystyle \{F,G\}(x)\neq 0}
   

   .

Givet en funktion f

d d d t f = ∂ ∂ t f + { f , H } , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d}} t}}}f={\frac {\partial }{\partial t}}}f+\left\{f,{\mathcal {H}}\right\},}

om det finns en sannolikhetsfördelning, ρ, då (eftersom fasrumshastigheten ( p ˙ i , q ˙ i ) {\displaystyle ({\dot {p}}}_{i},{\dot {q}}_{i})}

har noll divergens och sannolikheten är bevarad) kan dess konvektiva derivat visas vara noll och så ∂ ∂ t ρ = – { ρ , H } {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho =-\left\{\rho ,{\mathcal {H}}\right\}}

Detta kallas Liouvilles sats. Varje jämn funktion G över den symplektiska manifestet genererar en enparameterfamilj av symplektomorfismer och om {G, H} = 0 är G bevarad och symplektomorfismerna är symmetritransformationer.

En Hamiltonian kan ha flera bevarade storheter Gi. Om den symplektiska manifestet har dimension 2n och det finns n funktionellt oberoende bevarade storheter Gi som är i involution (dvs. {Gi, Gj} = 0), är Hamiltonianen Liouville-integrerbar. Liouville-Arnold-satsen säger att lokalt kan alla Liouville-integrerbara Hamiltonianer omvandlas via en symplektomorfism till en ny Hamiltonian med de bevarade storheterna Gi som koordinater; de nya koordinaterna kallas aktionsvinkelkoordinater. Den transformerade hamiltonianen beror endast på Gi, och därför har rörelseekvationerna den enkla formen

G ˙ i = 0 , φ ˙ i = F i ( G ) {\displaystyle {\dot {G}}}_{i}=0\quad ,\quad {\dot {\varphi }}_{i}=F_{i}(G)}

för någon funktion F. Det finns ett helt fält som fokuserar på små avvikelser från integrerbara system som styrs av KAM-satsen.

Integrerbarheten hos Hamiltons vektorfält är en öppen fråga. I allmänhet är Hamiltonsystem kaotiska; begreppen mått, fullständighet, integrabilitet och stabilitet är dåligt definierade.

Riemannska manifestorEdit

Ett viktigt specialfall utgörs av de Hamiltonianer som är kvadratiska former, dvs, Hamiltoner som kan skrivas som

H ( q , p ) = 1 2 ⟨ p , p ⟩ q {\displaystyle {\mathcal {H}}(q,p)={\tfrac {1}{2}}\langle p,p\rangle _{q}}

där ⟨ , ⟩q är en jämnt varierande inre produkt på fibrerna T∗
qQ, kotangentutrymmet till punkten q i konfigurationsutrymmet, som ibland kallas en kometrisk. Denna Hamiltonian består helt och hållet av den kinetiska termen.

Om man betraktar en Riemannsk mångfald eller en pseudo-Riemannsk mångfald inducerar den Riemannska metriken en linjär isomorfism mellan tangent- och kotangentbuntarna. (Se musikalisk isomorfism). Med hjälp av denna isomorfism kan man definiera en kometrisk. (I koordinater är den matris som definierar den kometriska matrisen inversen av den matris som definierar den metriska matrisen). Lösningarna till Hamilton-Jacobi-ekvationerna för denna Hamiltonian är då desamma som geodetikerna på manifestet. I synnerhet är det hamiltoniska flödet i detta fall samma sak som det geodetiska flödet. Existensen av sådana lösningar och fullständigheten av lösningsmängden diskuteras i detalj i artikeln om geodetiska linjer. Se även Geodesics as Hamiltonian flows.

Sub-Riemannska manifestorRedigera

När den kometriska är degenererad är den inte inverterbar. I detta fall har man inte en riemannisk mångfald, eftersom man inte har någon metrik. Hamiltonianen existerar dock fortfarande. I det fall då kometrin är degenererad i varje punkt q i konfigurationsutrymmets manifest Q, så att kometrins rang är mindre än dimensionen hos manifestet Q, har man ett sub-Riemanniskt manifest.

Hamiltonianen i detta fall är känd som en sub-Riemannisk Hamiltonian. Varje sådan Hamiltonian bestämmer unikt den kometriska och vice versa. Detta innebär att varje sub-Riemannisk mångfald är unikt bestämd av sin sub-Riemanniska Hamiltonian, och att det omvända är sant: varje sub-Riemannisk mångfald har en unik sub-Riemannisk Hamiltonian. Existensen av sub-Riemannska geodesiker ges av Chow-Rashevskii-satsen.

Den kontinuerliga, realvärderade Heisenberggruppen är ett enkelt exempel på en sub-Riemannsk mångtalighet. För Heisenberggruppen ges Hamiltonianen av

H ( x , y , z , p x , p y , p z ) = 1 2 ( p x 2 + p y 2 ) {\displaystyle {\mathcal {H}}\left(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right)}

pz är inte involverad i Hamiltonianen.

Poisson algebrasEdit

Hamiltonian system kan generaliseras på olika sätt. Istället för att helt enkelt titta på algebran av släta funktioner över en symplektisk mångfald kan Hamiltonmekaniken formuleras på allmänna kommutativa unitala reella Poissonalgebror. Ett tillstånd är ett kontinuerligt linjärt funktionellt på Poisson-algebran (utrustad med någon lämplig topologi) så att för varje element A i algebran, A2 mappas till ett icke-negativt reellt tal.

En ytterligare generalisering ges av Nambu-dynamiken.

Generalisering till kvantmekanik genom PoissonparentesRedigera

Hamiltons ekvationer ovan fungerar bra för klassisk mekanik, men inte för kvantmekanik, eftersom de differentialekvationer som diskuteras förutsätter att man kan specificera partikelns exakta position och rörelsemängd samtidigt vid varje tidpunkt. Ekvationerna kan dock generaliseras ytterligare för att sedan utvidgas så att de gäller för såväl kvantmekanik som klassisk mekanik, genom deformationen av Poisson-algebran över p och q till algebran av Moyal-parenteser.

Specifikt lyder den mer allmänna formen av Hamiltons ekvation

d f d t = { f , H } + ∂ f ∂ t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\left\{f,{\mathcal {H}}}\right\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}}

där f är en funktion av p och q, och H är Hamiltonianen. För att ta reda på reglerna för att utvärdera en Poisson-bracket utan att tillgripa differentialekvationer, se Lie-algebra; en Poisson-bracket är namnet på Lie-bracket i en Poisson-algebra. Dessa Poissonklämmor kan sedan utvidgas till Moyalklämmor som överensstämmer med en oekvivalent Lie-algebra, vilket bevisats av Hilbrand J. Groenewold, och därmed beskriva kvantmekanisk diffusion i fasrymden (se formuleringen av fasrymden och Wigner-Weyl-transformationen). Detta mer algebraiska tillvägagångssätt gör det inte bara möjligt att i slutändan utvidga sannolikhetsfördelningar i fasrymden till Wigners kvasisannolikhetsfördelningar, utan ger också, i den klassiska inställningen med enbart Poisson-bracketar, mer kraft när det gäller att hjälpa till att analysera de relevanta bevarade kvantiteterna i ett system.