Matematik använder påhittade regler för att skapa modeller och relationer. När jag lär mig frågar jag:

• Vilket förhållande representerar den här modellen?
• Vilka verkliga objekt delar det här förhållandet?
• Gör det förhållandet någon mening för mig?

Det är enkla frågor, men de hjälper mig att förstå nya ämnen. Om du gillade mina matteinlägg, så behandlar den här artikeln min inställning till detta ofta fördömda ämne. Många har lämnat insiktsfulla kommentarer om sina problem med matematik och resurser som hjälpt dem.

Matematikutbildning

Läroböcker fokuserar sällan på förståelse; det handlar mest om att lösa problem med ”plug and chug”-formler. Det gör mig ledsen att vackra idéer får en sådan rutinmässig behandling:

• Pythagoras sats handlar inte bara om trianglar. Den handlar om förhållandet mellan liknande former, avståndet mellan en uppsättning tal och mycket mer.
• e är inte bara ett tal. Den handlar om de grundläggande sambanden mellan alla tillväxttal.
• Den naturliga loggen är inte bara en omvänd funktion. Den handlar om hur lång tid saker och ting behöver för att växa.

Eleganta, ”a ha!”-insikter borde vara vårt fokus, men vi överlåter det till eleverna att slumpmässigt snubbla över själva. Jag fick ett ”a ha!”-ögonblick efter en helvetes massa plugg i college; sedan dess har jag velat hitta och dela med mig av dessa uppenbarelser för att bespara andra samma smärta.

Men det fungerar åt båda hållen – jag vill att du också ska dela med dig av dina insikter till mig. Det blir mer förståelse, mindre smärta och alla vinner.

Matematik utvecklas med tiden

Jag betraktar matematiken som ett sätt att tänka, och det är viktigt att se hur detta tänkande utvecklats snarare än att bara visa resultatet. Låt oss prova ett exempel.

Föreställ dig att du är en grottmänniska som gör matematik. Ett av de första problemen kommer att vara hur man räknar saker. Flera system har utvecklats med tiden:

Inget system är rätt, och alla har fördelar:

• Unariesystem: Rita linjer i sanden – så enkelt som det kan bli. Perfekt för att hålla poäng i spel; du kan lägga till ett nummer utan att radera och skriva om.
• Romerska siffror: Mer avancerat unärt system, med genvägar för stora tal.
• Decimaltal: Stor insikt om att tal kan använda ett ”positionellt” system med plats och noll.
• Binärt system: Binary: Det enklaste positionssystemet (två siffror, on vs off), så det är bra för mekaniska apparater.
• Vetenskaplig notation: Extremt kompakt, kan enkelt mäta ett tals storlek och precision (1E3 vs 1.000E3).

Tänker du att vi är klara? Inte alls. Om 1 000 år kommer vi att ha ett system som får decimaltalen att se lika pittoreska ut som de romerska siffrorna (”Hur klarade de sig med så klumpiga verktyg?”).

Negativa tal är inte så verkliga

Vi ska fundera lite mer på tal. Exemplet ovan visar att vårt talsystem är ett av många sätt att lösa problemet med att ”räkna”.

Romanerna skulle betrakta noll och bråk som märkliga, men det betyder inte att ”ingenting” och ”del till helhet” inte är användbara begrepp. Men se hur varje system införlivade nya idéer.

Fraktioner (1/3), decimaler (.234) och komplexa tal (3 + 4i) är sätt att uttrycka nya relationer. De kanske inte är begripliga just nu, precis som nollan inte var ”begriplig” för romarna. Vi behöver nya relationer i den verkliga världen (som skulder) för att de ska klicka.

Även då kanske negativa tal inte existerar på det sätt som vi tror, vilket du övertygar mig om här:

Du: Jag har inte gjort något åt det. Det är en etikett som vi sätter på ett begrepp.

Mig: Visst gör de det.

Du: Okej, visa mig -3 kor.

Mig: Tja, öh… anta att du är en bonde och att du har förlorat 3 kor.

Du: Du har noll kor.

Mig: Nej, jag menar att du gav 3 kor till en vän.

Du: Du: Okej, han har tre kor och du har noll.

Mig: Nej, jag menar att han kommer att ge tillbaka dem en dag. Han är skyldig dig en tjänst.

Du: Jag har inte gjort det. Så det faktiska antalet jag har (-3 eller 0) beror på om jag tror att han kommer att betala tillbaka till mig. Jag insåg inte att min åsikt ändrade hur räkningen fungerade. I min värld hade jag noll hela tiden.

Mig: Suck. Det är inte så. När han ger dig korna tillbaka går du från -3 till 3.

Du: Okej, så han ger tillbaka 3 kor och vi hoppar 6, från -3 till 3? Finns det någon annan ny aritmetik som jag bör känna till? Hur ser sqrt(-17) kor ut?

Mig: Ut med dig.

Negativa tal kan uttrycka ett förhållande:

• Positiva tal representerar ett överskott av kor
• Noll representerar inga kor
• Negativa tal representerar ett underskott av kor som antas bli återbetalat

Men det negativa talet ”finns egentligen inte där” – det finns bara förhållandet som de representerar (ett överskott/underskott av kor). Vi har skapat en modell med ”negativa tal” för att underlätta bokföringen, även om du inte kan hålla -3 kor i din hand. (Jag använde avsiktligt en annan tolkning av vad ”negativ” betyder: det är ett annat räknesystem, precis som romerska siffror och decimaler är olika räknesystem.)

Förresten, negativa tal accepterades inte av många människor, inklusive västerländska matematiker, förrän på 1700-talet. Idén om ett negativt tal ansågs vara ”absurd”. Negativa tal verkar verkligen konstiga om man inte kan se hur de representerar komplexa förhållanden i den verkliga världen, till exempel skulder.

Varför all filosofi?

Jag insåg att min **mindset är nyckeln till inlärning. **Det hjälpte mig att komma fram till djupa insikter, särskilt:

• Faktakunskap är inte förståelse. Att veta att ”hammare driver spik” är inte samma sak som insikten att vilket hårt föremål som helst (en sten, en skiftnyckel) kan driva in en spik.
• Ha ett öppet sinne. Utveckla din intuition genom att tillåta dig själv att vara en nybörjare igen.

En universitetsprofessor besökte en berömd zenmästare. Medan mästaren i lugn och ro serverade te pratade professorn om zen. Mästaren hällde upp besökarens kopp till kanten och fortsatte sedan att hälla upp. Professorn tittade på den överfyllda koppen tills han inte längre kunde hålla sig tillbaka. ”Den är överfull! Det går inte att få i mer!”, sa professorn. ”Du är som denna bägare”, svarade mästaren, ”Hur kan jag visa dig Zen om du inte först tömmer din bägare?”

• Var kreativ. Leta efter märkliga relationer. Använd diagram. Använd humor. Använd analogier. Använd mnemoteknik. Använd allt som gör idéerna mer levande. Analogier är inte perfekta men hjälper när man kämpar med den allmänna idén.
• Inse att du kan lära dig. Vi förväntar oss att barnen ska lära sig algebra, trigonometri och kalkyl som skulle förvåna de gamla grekerna. Och det borde vi göra: vi är kapabla att lära oss så mycket, om det förklaras på rätt sätt. Sluta inte förrän det är begripligt, annars kommer den matematiska luckan att förfölja dig. Mental seghet är avgörande – vi ger ofta upp för lätt.

Så vad är poängen?

Jag vill dela med mig av vad jag har upptäckt, i hopp om att det hjälper dig att lära dig matematik:

• Matematik skapar modeller som har vissa samband
• Vi försöker hitta fenomen i verkligheten som har samma samband
• Våra modeller förbättras alltid. Det kan dyka upp en ny modell som bättre förklarar det förhållandet (romerska siffror till decimalsystemet).

Visst, vissa modeller verkar inte ha någon nytta: Många elever frågar: ”Vad är det för nytta med imaginära tal?”. Det är en giltig fråga, med ett intuitivt svar.

Användningen av imaginära tal begränsas av vår fantasi och förståelse – precis som negativa tal är ”värdelösa” om man inte har en idé om skuld, kan imaginära tal vara förvirrande eftersom vi inte riktigt förstår det förhållande som de representerar.

Matematik ger oss modeller; förstå deras relationer och tillämpa dem på verkliga objekt.

Utveckla intuitionen gör inlärningen rolig – till och med bokföring är inte dåligt när man förstår de problem som den löser. Jag vill täcka komplexa tal, kalkyl och andra svårbegripliga ämnen genom att fokusera på relationer, inte på bevis och mekanik.

Men detta är min erfarenhet – hur lär du dig bäst? Några vänner har skrivit om sina erfarenheter:

• Ed Latimore: En boxare lär dig att bli bättre på matematik
• Scott Young: Hur man lär sig själv matematik

Andra inlägg i den här serien

1. Utveckla din intuition för matematik
2. Varför lär vi oss matematik?
3. Hur utvecklar man en mentalitet för matematik
4. Lär du dig matematik? Tänk som en tecknare.
5. Matematik som språk: Förstå likhetstecknet
6. Undervik adjektivfelet
7. Finns enighet i mattekriget
8. Brevighet är vackert
9. Lär dig svåra begrepp med ADEPT-metoden
10. Intuition, detaljer och metaforen med båge och pil
11. Lär dig lära dig att lära dig: Intuition är inte frivilligt
12. Lär dig att lära dig: Omfamna analogier
13. Lär dig att lära dig: Penna och sedan bläck
14. Lär dig att lära dig: Matematisk abstraktion
15. Lärtips: Fix the Limiting Factor
16. Orliga och realistiska guider för inlärning
17. Empati-driven matematik
18. Studier av en kurs (maskininlärning) med ADEPT-metoden
19. Matematik och analogier
20. Färgade matematiska ekvationer
21. Analogi: Matematik och matlagning
22. Lärande av matematik (Mega Man vs. Tetris)