Mentuellt och icke ömsesidigt uteslutande händelser
I den föregående övningen lärde du dig att du kan räkna ut svåra sannolikheter genom att göra en simulering och använda lagen om stora tal. Teoretiska sannolikheter kan beräknas med hjälp av många olika strategier beroende på situationen.
Mutually exclusive events är händelser som inte kan inträffa samtidigt. Exempel är: höger- och vänstersvängar, jämna och udda tal på en tärning, att vinna och förlora ett spel eller att springa och gå.
Non-mutually exclusive events är händelser som kan inträffa samtidigt. Exempel: köra bil och lyssna på radio, jämna tal och primtal på en tärning, förlora ett spel och ta poäng, eller springa och svettas.
Non-mutually exclusive events can make calculating probability more complex.
Games Fair Reflection
Spela spelet Single Card Flip i Games Fair igen.
Använd definitionen av ömsesidigt uteslutande händelser, är de olika poängutfallen i spelet ömsesidigt uteslutande eller inte ömsesidigt uteslutande?
Ta lite tid på dig att skriva ner några tankar om hur sannolikheterna ska beräknas.
GamesFair
Lång beskrivning
Problemet med att bara förstå sannolikhet som ömsesidigt uteslutande händelser är att du förenklar dessa händelser på ett sätt som de inte är tänkta att förenklas. Det är nästan lika tragiskt som att säga att människor inte kan göra bra saker och tjäna pengar, eller vara duktiga i matematik och mycket kreativa. Följande video visar hur viktigt det är att inse att händelser inte utesluter varandra.
Venndiagram
Detta är ett Venndiagram som visar alla kort i en standardlek med 52 kort. A är uppsättningen av kort utan ansikte.
Venndiagram är ett sätt att visa händelser och kan användas för att visa enkla situationer när endast en händelse inträffar.
De kan också användas för att visa flera händelser.
De är särskilt användbara när man visar händelser som inte utesluter varandra.
I den här aktiviteten kommer du att använda dem för att visa två eller tre händelser åt gången för att analysera förhållandet mellan händelserna.
Mängdernas skärningspunkt
Konsultera Venn-diagrammet för frågan om 50 patienter från Minds On.
Vi använder beteckningen 
som ”skärningspunkten” mellan de två mängderna, ett element i A och B.
I det här exemplet representerar 
överlappningen av symtomen, eller de patienter som har både huvudvärk ”OCH” influensasymtom.
Du kommer att lära känna skärningspunkten som ordet ”AND”.
Anteckna ditt arbete
Du har blivit ombedd att ta reda på hur många personer som ingår i kategorin ”AND” för att kunna beräkna sannolikheten för att en patient har båda symptomen. Du kan vara säker på att det bara finns ett sätt att göra det på.
Använd interaktiviteten nedan för att skapa ett venndiagram för att ta reda på hur många personer som har båda symptomen i exemplet.
I början av influensasäsongen undersöker en läkare 50 patienter under två dagar. 30 har huvudvärk, 24 är förkylda och 12 har ingetdera. Vissa patienter har båda symtomen. Vad är sannolikheten för att en slumpmässig patient har båda symtomen?
VennDiagram
Lång beskrivning
|
I ord |
In. Symboler |
In Symboler |
|---|---|---|
|
Alla röda |
n(A) = |
P(A) = |
|
Alla nummer |
n(B) = |
P(B) = |
|
Alla kort |
n(S) = |
P(S) = |
|
Intersektion: Både nummer och rött |
|
|
|
Enbart rött (röda kort som inte är nummerkort) |
|
|
|
Endast nummer (nummerkort som inte är röda kort) |
|
|
|
Union: Röd eller nummer |
|
|
|
Allt annat |
|
|
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= Inkluderingsprincipen-Uteslutning
Tänk på Venn-diagrammet. Om du lägger till n(A) och n(B) räknar du skärningsdelen två gånger. Man ska aldrig räkna ett element två gånger för att ta reda på hur många man har. Om du har räknat det två gånger finns det ett enkelt sätt att korrigera det: subtrahera det en gång.
Principen om inkludering-exkludering är en användbar formel/idé när man bestämmer sannolikheter och används för händelser som inte utesluter varandra.
Den kan skrivas på följande sätt:
eller med andra ord: antalet element i A ”ELLER” B är lika med antalet element i A plus antalet element i B subtrahera antalet element i A ”OCH” B.
Tillämpa inlärningen
Använd formeln som representerar principen om inklusion-exklusion för att lösa det ursprungliga problemet:
I början av influensasäsongen undersöker en läkare 50 patienter under två dagar. 30 har huvudvärk, 24 är förkylda och 12 har ingetdera. Några patienter har båda symtomen. Vad är sannolikheten för att en slumpmässig patient har båda symtomen?
Visa dina steg i din lösning och förklara (definition: Ta dig tid att skriva ut förklaringar till allt som inte är uppenbart eller som krävde lite eftertanke och som annars inte visas.) ditt svar.
Lösning
- 8 har bara en förkylning,
- 14 har bara huvudvärk,
- 16 har båda.
Venndiagram som använder 3 händelser
Venndiagram och ömsesidigt uteslutande händelser används inte bara med två olika händelser. Tre händelser, även om de är mer komplicerade, kan också användas i ett Venn-diagram. Om rätt strategi tillämpas kan detta göras på ett effektivt sätt.
Exempel
Studionserviceavdelningen på Eastside Secondary vill räkna antalet elever i årskurs 12. De vet att alla elever läser matematik, engelska eller naturvetenskap. De har kommit fram till att:
- 64 elever läser matematik
- 56 elever läser engelska
- 82 elever läser naturvetenskap
- 20 elever läser matematik och engelska
- 25 elever läser matematik och naturvetenskap
- 21 elever läser engelska och naturvetenskap
- 12 elever läser alla tre kurser.
Skapa ett Venn-diagram med tre händelser som liknar det nedan. Fyll i varje sektion i ditt Venn-diagram och var noga med att se till att varje elev endast tillhör en kategori.
- Hur många studenter finns det totalt?
- Vad är sannolikheten för att en slumpmässig student väljer matematik och naturvetenskap?
- Vad är sannolikheten för att en slumpmässig student väljer matematik eller naturvetenskap?
- Vad är sannolikheten för att en student väljer exakt två av de tre?
Lösning
- 12 alla tre,
- 9 i E och S men inte M,
- 13 i M och S men inte E,
- 8 i M och E men inte S,
- 48 i bara S,
- 27 i bara E,
- 31 i bara M.
För att få hjälp med denna fråga, se följande liknande exempel.