I den här artikeln lär du dig om problem med permutationer och kombinationer: Definition, formler, lösta exempel och en frågesport med övningsfrågor.

Permutationer

Definition

Permutationer är de olika sätt på vilka en samling objekt kan arrangeras.

Till exempel:

De olika sätt på vilka alfabetet A, B och C kan grupperas tillsammans, tagna alla åt gången, är ABC, ACB, BCA, CBA, CAB, BAC.

Bemärk att ABC och CBA inte är desamma eftersom ordningsföljden är olika. Samma regel gäller när man löser ett problem i Permutationer.

Antalet sätt på vilka n saker kan arrangeras, alla åt gången, är nPn = n!, kallas ”n faktoriell.”

Faktoriell formel

Faktoriell för ett tal n definieras som produkten av alla tal från n till 1.

Till exempel är faktoriell för 5, 5! = 5*4*3*2*1 = 120.

Det antal sätt som de 3 bokstäverna kan arrangeras på, taget alla åt gången, är därför 3! = 3*2*1 = 6 sätt.

Antal permutationer av n saker, tagna r åt gången, betecknas med:

nPr = n! / (n-r)!

Till exempel:

De olika sätt på vilka de tre bokstäverna, två i taget, kan arrangeras är 3!/(3-2)! = 3!/1! = 6 sätt.

Viktiga permutationsformler

1! = 1

0! = 1
Låt oss ta en titt på några exempel:

Problem 1: Hitta antalet ord, med eller utan betydelse, som kan bildas med bokstäverna i ordet ”CHAIR”.

Lösning:

”CHAIR” innehåller 5 bokstäver.

Det antal ord som kan bildas med dessa 5 bokstäver är därför = 5! = 5*4*3*2*1 = 120.

Problem 2: Hitta antalet ord, med eller utan betydelse, som kan bildas med bokstäverna i ordet ”INDIEN”.

Lösning:

Ordet ’INDIA’ innehåller 5 bokstäver och ’I’ förekommer två gånger.

När en bokstav förekommer mer än en gång i ett ord, delar vi faktorn av antalet av alla bokstäver i ordet med antalet förekomster av varje bokstav.

Därmed är antalet ord som bildas av ’INDIEN’ = 5!/2! = 60.

Problem 3: Hitta antalet ord, med eller utan betydelse, som kan bildas med bokstäverna i ordet ’SVERIGE’

Lösning:

Ordet ’SVERIGE’ innehåller 8 bokstäver. Av dem förekommer I två gånger och M två gånger.

Därmed är antalet ord som kan bildas med detta ord = 8! / (2!*2!) = 10080.

Problem 4: Hur många olika ord kan bildas med bokstäverna i ordet ”SUPER” så att vokalerna alltid kommer tillsammans?

Lösning:

Ordet ”SUPER” innehåller 5 bokstäver.

För att hitta antalet permutationer som kan bildas där de två vokalerna U och E kommer tillsammans.

I dessa fall grupperar vi de bokstäver som ska komma tillsammans och betraktar den gruppen som en bokstav.

Bokstäverna är alltså S,P,R, (UE). Nu är antalet ord 4.

Därmed är antalet sätt på vilka 4 bokstäver kan ordnas 4!

I U och E är antalet sätt på vilka U och E kan ordnas 2!

Det totala antalet sätt på vilka bokstäverna i ”SUPER” kan ordnas så att vokaler alltid är tillsammans är alltså 4! * 2! = 48 sätt.

Problem 5: Hitta antalet olika ord som kan bildas med bokstäverna i ordet ’BUTTER’ så att vokalerna alltid är tillsammans.

Lösning:

Ordet ’BUTTER’ innehåller 6 bokstäver.

Bokstäverna U och E ska alltid komma tillsammans. Bokstäverna är alltså B, T, T, R, (UE).

Antal sätt som bokstäverna ovan kan arrangeras på = 5!/2! = 60 (eftersom bokstaven ”T” upprepas två gånger).

Antal sätt som U och E kan arrangeras på = 2! = 2 sätt

Därmed är det totala antalet möjliga permutationer = 60*2 = 120 sätt.
Problem 6: Hitta antalet permutationer av bokstäverna i ordet ”REMAINS” så att vokalerna alltid förekommer på udda ställen.

Lösning:

Ordet ’REMAINS’ har 7 bokstäver.

Det finns 4 konsonanter och 3 vokaler i det.

Skrivning på följande sätt gör det lättare att lösa denna typ av frågor.

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

Antal sätt på vilka 3 vokaler kan förekomma på 4 olika ställen = 4P3 = 24 sätt.

När 3 vokaler tar 3 ställen kan 4 konsonanter ta 4 ställen = 4P4 = 4! = 24 sätt.

Därmed är det totala antalet möjliga permutationer = 24*24 = 576 sätt.

Kombinationer Definition De olika val som är möjliga från en samling föremål kallas kombinationer.

Till exempel:

De olika val som är möjliga från alfabetet A, B och C, som tas två i taget, är AB, BC och CA.

Det spelar ingen roll om vi väljer A efter B eller B efter A. Urvalsordningen är inte viktig i kombinationer.

För att hitta antalet möjliga kombinationer från en given grupp av föremål n, tagna r åt gången, är formeln, betecknad med nCr

nCr = n! /

För att verifiera exemplet ovan kan man till exempel konstatera att de olika val som är möjliga från alfabeten A, B och C, som tas två åt gången, är

3C2 = 3! / (2! * (3-2)!) = 3 möjliga val (dvs, AB, BC, CA)

Viktiga kombinationsformler

nCn = 1

nC0 = 1

nC1 = n

nCr = nC(n-r)

Antalet möjliga val med A, B, C, som tas alla i taget är 3C3 = 1 (dvs. ABC)

Lösta exempel på Kombination

Låt oss ta en titt på några exempel för att förstå hur Kombinationer fungerar:

Problem 1: På hur många sätt kan en kommitté bestående av 1 man och 3 kvinnor bildas från en grupp bestående av 3 män och 4 kvinnor?

Lösning:

Antal sätt på vilka 1 man kan väljas från en grupp med 3 män = 3C1 = 3! / 1!*(3-1)!

Antal sätt på vilka 3 kvinnor kan väljas ut från en grupp på 4 kvinnor = 4C3 = 4! / (3!*1!) = 4 sätt.

Problem 2: Bland en uppsättning med 5 svarta bollar och 3 röda bollar, hur många val av 5 bollar kan göras så att minst 3 av dem är svarta bollar.

Lösning:

Att välja minst 3 svarta bollar från en uppsättning av 5 svarta bollar i ett totalt urval av 5 bollar kan vara

3 B och 2 R

4 B och 1 R och

5 B och 0 R bollar.

Därmed ser vårt lösningsuttryck ut så här:
5C3 * 3C2 + 5C4 * 3C1 + 5C5 * 3C0 = 46 sätt .

Problem 3: Hur många fyrsiffriga tal som är delbara med 10 kan bildas av talen 3, 5, 7, 8, 9, 0 så att inget tal upprepas?

Lösning:

Om ett tal är delbart med 10 bör dess enhetsplats innehålla ett 0.
_ _ _ _ 0

När 0 har placerats på enhetsplatsen kan tioplatsen fyllas med någon av de andra 5 siffrorna.

Välja en siffra av 5 siffror kan göras på 5C1 = 5 sätt.

När tioplatsen har fyllts återstår 4 siffror. Att välja en siffra av 4 siffror kan göras på 4C1 = 4 sätt.

Efter att ha fyllt hundratalsplatsen kan tusentalsplatsen fyllas på 3C1 = 3 sätt.

Därmed är de totala möjliga kombinationerna = 5*4*3 = 60.

Permutationer och kombinationer Quiz

Prova dessa övningsproblem.

.