Matematik är ett spel med siffror och siffror finns överallt. Och spelets regel är de egenskaper och regler som är förknippade med tal. Egenskaper hjälper dig att beräkna svar i huvudet snabbt och enkelt. Egenskaper är inget annat än speciella regler som tal följer. Det finns tre grundläggande egenskaper hos tal som alla matematiska system lyder: Kommutativa, associativa och distributiva egenskaper. Dessa egenskaper är egenskaper hos de fyra operationerna (addera, subtrahera, multiplicera och dividera) som alltid gäller oavsett vilket tal du arbetar med. Men vi kommer endast att diskutera kommutativa och associativa egenskaper i följande artikel.

Både kommutativa och associativa egenskaper är regler som tillämpas på additions- och multiplikationsoperationer. Dessa egenskaper är lagar som används i algebra för att hjälpa till att lösa problem. Den kommutativa egenskapen kommer från termen ”commute” som betyder flytta runt och avser att kunna byta ut tal som du adderar eller multiplicerar. Den associativa egenskapen kommer från ordet ”associate” eller ”group” och avser gruppering av tre eller fler tal med hjälp av parenteser, oavsett hur du grupperar dem. Resultatet förblir detsamma oavsett hur du grupperar om siffrorna. Låt oss ta en titt på de två egenskaperna för att bättre förstå hur de fungerar.

Vad är kommutativt?

Till exempel; vi vet att addera 2 och 5 ger samma svar som att addera 5 och 2. Ordningen på siffrorna i ett additionsproblem kan ändras utan att resultatet ändras. Den här saken med tal och addition kallas den kommutativa egenskapen för addition. Vi kan alltså säga att addition är en kommutativ operation. På samma sätt är multiplikation en kommutativ operation.

Kommutativ egenskap hos addition:

a + b = b + a

3 + 4 = 7 är detsamma som 4 + 3 = 7

Resultatet blir detsamma oavsett ordning på talen.

Kommutativ egenskap hos multiplikation:

a × b = b × a

3 × 7 = 21 är detsamma som 7 × 3 = 21

På samma sätt kommer resultatet att vara detsamma oavsett talens ordning.

Vad är associativ?

Associativ är ännu en egenskap som vi använder har att göra med omgruppering. När vi till exempel adderar 2 + 3 + 5 kan vi antingen addera 2 och 3 först och sedan 5, eller så kan vi addera 3 och 5 först och sedan 2. Matematiskt ser det ut så här: 2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = (2 +3) + 5. Operationer som beter sig på detta sätt kallas associativa operationer. Resultatet förblir detsamma även om vi ändrar grupperingen av talen.

Associativ egenskap hos addition:

a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c

1 + (2 +3) = (1 +2) + 3 = 6

Resultatet förblir detsamma, oavsett hur du grupperar talen.

Associativ egenskap hos multiplikation:

a × (b × c) = (a × b) × c

2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24

(2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24

Därmed ändrar inte grupperingen i talen resultatet.

Skillnaden mellan kommutativ och associativ

Begrepp

– Den kommutativa egenskapen kommer från termen ”commute” som betyder ”flytta runt” och syftar på att man kan byta ut tal som man adderar eller multiplicerar oavsett ordningen på talen. Den associativa egenskapen kommer å andra sidan från ordet ”associate” eller ”group” och avser gruppering av tre eller fler tal med hjälp av parenteser, oavsett hur du grupperar dem. Resultatet blir detsamma, oavsett hur du grupperar om talen eller variablerna.

Regel

– Den kommutativa regeln för addition lyder: a + b = b + a, vilket innebär att addition av a och b ger samma resultat som addition av b och a. Ordningarna kan ändras utan att resultatet ändras. Denna additionsregel kallas för additionens kommutativa egenskap. På samma sätt är multiplikation en kommutativ operation, vilket innebär att a × b ger samma resultat som b × a. Den associativa egenskapen är däremot den regel som avser gruppering av tal. Den associativa regeln för addition säger att a + (b + c) är detsamma som (a + b) + c. På samma sätt säger den associativa regeln för multiplikation att a × (b × c) är detsamma som (a × b) × c.

Exempel

– Den kommutativa egenskapen för addition: 1 + 2 = 2 +1 = 3

Den kommutativa egenskapen för multiplikation: 2 × 3 = 3 × 2 = 6

Den associativa egenskapen för addition: 5 + (3 + 7) = (5 + 3) + 7 = 15

Mångfaldens associativa egenskap: 5 + (3 + 7) = (5 + 3) + 7 = 15

Den associativa egenskapen för multiplikation: 5 × (2 × 4) = (5 × 2) × 4 = 40

Kommutativ kontra associativ: Jämförelsediagram

Sammanfattning

I ett nötskal är den kommutativa egenskapen inte att förväxla med den associativa egenskapen. Den kommutativa egenskapen säger att det är okej att ändra av ordningen på siffrorna i additions- och multiplikationsoperationer eftersom resultatet blir detsamma oavsett ordning. Den associativa egenskapen, å andra sidan, säger att resultatet kommer att vara detsamma, oavsett hur du grupperar antalet eller variablerna i additions- och multiplikationsoperationer.