Milyn vos Savant var enligt alla källor ett underbarn.

Förd i St Louis, Missouri 1946, utvecklade den unga savant snabbt en fallenhet för matematik och vetenskap. Vid 10 års ålder fick hon två intelligenstester – Stanford-Binet och Mega-testet – som båda placerade hennes mentala kapacitet på samma nivå som en 23-åring. Hon kom sedan att tas upp i Guinness rekordbok för att ha ”världens högsta IQ” och fick därmed internationell berömmelse.

Trots sin status som ”världens smartaste kvinna” hävdade vos Savant att försök att mäta intelligens var ”värdelösa” och hon avvisade IQ-testerna som opålitliga. I mitten av 1980-talet, med fria händer att välja karriärväg, packade hon sina väskor och flyttade till New York för att bli författare.

Här fick hon ett genombrott: när Parade Magazine skrev en profil om henne svarade läsarna med så många brev att publikationen erbjöd henne ett heltidsjobb. Kort därefter startade hon ”Ask Marilyn”, en numera berömd veckospalt där hon svarade (och fortsätter att svara än i dag) på en mängd olika akademiska frågor och logiska pussel. Det var i en av dessa kolumner som Vos Savant tände en av 2000-talets mest häftiga statistiska strider.

När Vos Savant artigt svarade på en läsares förfrågan om Monty Hall-problemet, ett då relativt okänt sannolikhetspussel, hade hon aldrig kunnat föreställa sig vad som skulle komma att hända: trots att hennes svar var korrekt fick hon över 10 000 brev, många från kända forskare och doktorander.D., som informerade henne om att hon var en idiot.

Det som följde för vos Savant var en mardrömslik resa, full av skällsord, könsbaserade antaganden och akademisk förföljelse.

Monty Hall-problemet: en kort historik

Föreställ dig att du är med i en tv-spelshow och att programledaren presenterar tre stängda dörrar för dig. Bakom en av dem sitter en gnistrande, helt ny Lincoln Continental, bakom de andra två finns stinkande gamla getter. Värden ber dig att välja en dörr, och du väljer dörr nr 1. Då öppnar värden, som är väl medveten om vad som händer bakom kulisserna, dörr nr 3 och avslöjar en av getterna.

”Nu”, säger han och vänder sig mot dig, ”vill du behålla dörr nr 1 eller vill du byta till dörr nr 2?”

Statistiskt sett, vilket val ger dig bilen: att behålla den ursprungliga dörren eller att byta? Om du, som de flesta människor, tror att oddsen är 50-50 har du fel – om du inte gillar getter lika mycket som nya bilar, då vinner du 100 % av gångerna.

Det ovan presenterade scenariot, mer känt som ”Monty Hall-problemet”, är en ganska berömd sannolikhetsfråga som är löst baserad på det berömda tv-spelprogrammet Let’s Make a Deal. Trots dess bedrägliga enkelhet har några av världens smartaste hjärnor – MIT-professorer, kända matematiker och MacArthur ”Genius”-stipendiater – haft svårt att förstå svaret. I årtionden har det lett till intensiva debatter i klassrum och föreläsningssalar.

Historiskt sett har Monty Hall-problemet föregåtts av flera mycket liknande gåtor.

I Joseph Bertrand’s box paradox (1889) presenteras tre boxar – en som innehåller två guldmynt, en som innehåller två silvermynt och den sista som innehåller ett av varje. Om man antar att deltagaren drar ett guldmynt ur en låda, frågar problemet sedan vad sannolikheten är för att det andra myntet i den lådan är guld. Bertrand, som drog slutsatsen att sannolikheten var ⅔, prisades för sin förmåga att se bortom det uppenbara.

En andra upprepning av denna paradox, Three Prisoners Problem (1959), presenterar ett statistiskt sett identiskt scenario, med samma resultat. ”Ett underbart förvirrande litet problem”, skrev dess skapare, Scientific American-kolumnisten Martin Gardner, senare självbelåtet. ”Inom ingen annan gren av matematiken är det så lätt för experter att göra misstag som inom sannolikhetsteorin.”

Monty Hall-problemet presenterades för första gången i ett brev till redaktören av The American Statistician 1975 och var också kontraintuitivt. I detta brev spände Steve Selvin, professor vid University of California, Berkeley, ut situationen i inledningen av denna artikel och hävdade att byte av dörr ger ⅔ chans att vinna bilen, medan det att behålla den ursprungliga dörren resulterar i att man bara vinner ⅓ av gångerna.

Under det följande decenniet eller så, gjorde Monty Hall-problemet flera framträdanden, först i ett pussel i Journal of Economics Perspectives av Barry Nalebuff, och därefter i ett nummer av Bridge Today från 1989, av Phillip Martin. Ingen av dessa personers logik motbevisades och problemet väckte relativt lite uppmärksamhet.

Sedan, efter 15 år utan incidenter, återupplivades Monty Hall-problemet av Marilyn vos Savant – och en absolut skitstorm följde.

Marilyn vos Savants debacle

I september 1990 ägnade Marilyn vos Savant en av sina spalter åt en läsarfråga, som innehöll en variant av Monty Hall-problemet:

”Anta att du är med i en spelshow och att du får välja mellan tre dörrar. Bakom en dörr finns en bil, bakom de andra finns getter. Du väljer en dörr, säg #1, och programledaren, som vet vad som finns bakom dörrarna, öppnar en annan dörr, säg #3, som har en get. Han säger till dig: ”Vill du välja dörr nr 2?”. Är det till din fördel att byta val av dörrar?”

”Ja, du bör byta”, svarade hon. ”Den första dörren har 1/3 chans att vinna, men den andra dörren har 2/3 chans.”

Trots att hennes svar var korrekt reagerade en stor del av akademikerna med upprördhet. Under de följande månaderna fick vos Savant mer än 10 000 brev – bland annat ett par från den biträdande direktören för Center for Defense Information och en forskarmatematisk statistiker från National Institutes of Health – som alla hävdade att hon var helt inkompetent:

Du klantade dig, och du klantade dig rejält! Eftersom du verkar ha svårt att förstå den grundläggande principen som gäller här ska jag förklara. Efter att värden har avslöjat en get har du nu en chans på en av två att ha rätt. Oavsett om du ändrar ditt val eller inte är oddsen desamma. Det finns tillräckligt med matematisk analfabetism i det här landet, och vi behöver inte världens högsta IQ för att sprida mer. Skam!
Scott Smith, Ph.D.
University of Florida

Må jag föreslå att du skaffar dig en standardlärobok om sannolikhet och hänvisar till den innan du försöker besvara en fråga av den här typen igen?
Charles Reid, Ph.D.
University of Florida

Jag är säker på att du kommer att få många brev om det här ämnet från gymnasie- och högskolestudenter. Kanske borde du behålla några adresser för att få hjälp med framtida kolumner.
W. Robert Smith, Ph.D.
Georgia State University

Du har helt fel när det gäller spelshowfrågan, och jag hoppas att denna kontrovers kommer att väcka allmänhetens uppmärksamhet på den allvarliga nationella krisen i matematikundervisningen. Om ni kan erkänna ert misstag kommer ni att ha bidragit konstruktivt till lösningen av en beklaglig situation. Hur många irriterade matematiker behövs för att få dig att ändra dig?
E. Ray Bobo, Ph.D.
Georgetown University

Du har gjort ett misstag, men se på den positiva sidan. Om alla dessa doktorer hade fel skulle landet ha stora problem.
Everett Harman, Ph.D.
U.S. Army Research Institute

Du är geten!
Glenn Calkins
Western State College

Kanske ser kvinnor på matematiska problem på ett annat sätt än män.
Don Edwards
Sunriver, Oregon

Och skrikandet var så enormt att vos Savant tvingades ägna tre efterföljande spalter åt att förklara varför hennes logik var korrekt. Även efter hennes välformulerade och tydliga svar fortsatte hon att bli utskälld. ”Jag tror fortfarande att du har fel”, skrev en man nästan ett år senare. ”Det finns en sådan sak som kvinnlig logik.”

Men siffrorna bakom vos Savants slutsats ljuger inte.

Debunking the Monty Hall Problem

Då två dörrar (en som innehåller en bil och den andra en get) återstår efter att värden har öppnat dörr nr 3, skulle de flesta anta att sannolikheten för att välja bilen är ½. Detta är inte fallet.

”Vinstchansen på 1/3 på det första valet kan inte öka till 1/2 bara för att värden öppnar en dörr som förlorar”, skriver vos Savant. Om man kartlägger sex spel där man utforskar alla möjliga utfall blir det faktiskt tydligt att om man byter dörr vinner man två tredjedelar (66,6 %) av gångerna, och om man behåller sin ursprungliga dörr vinner man bara en tredjedel (33,3 %) av gångerna:

Ett annat sätt att se på det här är att bryta ner varje dörrbytesmöjlighet. Som vi har beskrivit nedan resulterar 6 av de 9 möjliga scenarierna (två tredjedelar) i att man vinner bilen:

Dessa resultat verkar gå emot våra intuitiva statistiska impulser – så varför ökar våra chanser att vinna genom att byta dörr?

Det korta svaret är att dina ursprungliga odds för att vinna med dörr 1 (⅓) inte förändras bara för att värden avslöjar en get bakom dörr 3. Istället ökar Halls åtgärd oddsen till ⅔ för att du ska vinna genom att byta dörr.

Här är ett annat sätt att visualisera detta. Föreställ dig att Monty Hall i stället för tre dörrar presenterar dig för 100 dörrar; bakom 99 av dem finns getter, och bakom en av dem finns bilen. Du väljer dörr nr 1, och dina ursprungliga odds för att vinna bilen är nu 1/100:

Då antar vi att Monty Hall öppnar 98 av de andra dörrarna och avslöjar en get bakom varje dörr. Nu har du två valmöjligheter: behåll dörr nr 1 eller byt till dörr nr 100:

När du väljer dörr nr 1 finns det en chans på 99/100 att bilen står bakom någon av de andra dörrarna. Det faktum att Monty Hall avslöjar 98 getter ändrar inte dessa ursprungliga odds – det ”flyttar” bara den 99/100 chansen till dörr nr 100. Du kan antingen hålla dig till ditt ursprungliga val med 1/100 odds eller byta till dörr nr 100, med en mycket högre sannolikhet att vinna bilen.

Men även om matematiken och siffrorna stöder Vos Savants påstående – att oddsen att vinna ökar till ⅔ när du byter dörr – måste man ta hänsyn till andra faktorer som hon inte tar upp i sitt svar.

Rationaliseringens psykologi

Monty Hall, programledare för ”Let’s Make a Deal”

1992, medan kontroversen om Vos Savants svar bröt ut, satte sig Monty Hall – programledaren för spelshowen och problemets namne – ner för en intervju med New York Times.

Hall klargjorde att saker och ting fungerade lite annorlunda än det scenario som presenterades av Parade-läsaren i vos Savants kolumn. I den riktiga showen behöll han till exempel befogenheten att erbjuda den tävlande kontanter för att INTE byta. Detaljer som denna, sade han, ändrade den tävlandes inställning:

”, de skulle tro att oddsen för deras dörr nu hade ökat till 1 på 2, så de hatade att ge upp dörren oavsett hur mycket pengar jag erbjöd … Ju högre jag kom, desto mer trodde man att bilen var bakom . Jag ville lura till att byta där. Det är sådana saker jag kan göra när jag har kontroll över spelet. Du kanske tror att du har sannolikheten på din sida när du följer svaret i hennes spalt, men det finns den psykologiska faktorn att ta hänsyn till.”

Den ”psykologiska faktorn” som Hall nämner överförs från showens regler till den variant av problemet som vi har presenterat i den här artikeln. För både tävlande och problemlösare orsakar Monty Hall-problemet kognitiv dissonans, en term som psykologer använder för att beskriva den ”mentala stress som upplevs av en person som har två eller flera motsägelsefulla uppfattningar, idéer eller värderingar samtidigt, eller som konfronteras med ny information som står i konflikt med befintliga uppfattningar, idéer eller värderingar”.

När människor konfronteras med bevis som är ”inkonsekventa med deras övertygelser” (t.ex. oddsen för att vinna genom att byta dörr är ⅔ i stället för ½), reagerar de först genom att motbevisa informationen, för att sedan slå sig samman med likasinnade meningsmotståndare och försvara sin egen fastslagna åsikt. Detta är precis den mentalitet som vos Savants tusentals nejsägare har.

***

Mer än 25 år senare är argumenten om Monty Hall-problemets semantik och vos Savants svar fortfarande utbredda – huvudsakligen med fokus på de invecklade detaljerna i värdens agerande.

”Våra hjärnor är helt enkelt inte konstruerade för att lösa sannolikhetsproblem särskilt bra, så jag är inte förvånad över att det gjordes misstag”, sade statistikprofessorn Persi Diaconis från Stanford till en reporter för flera år sedan. ”Det strikta argumentet skulle vara att frågan inte kan besvaras utan att känna till värdens motivation.”

Tidigare dock, många av dem som hade skrivit för att korrigera Vos Savants matematik backade och medgav att de hade fel.

En övning som föreslogs av Vos Savant för att bättre förstå problemet integrerades snart i tusentals klassrum runt om i landet. Datormodeller byggdes som bekräftade hennes logik, och stödet för hennes intellekt återställdes gradvis. Medan endast 8 % av läsarna tidigare hade trott att hennes logik var sann, hade denna siffra stigit till 56 % i slutet av 1992, skriver vos Savant; bland akademiker steg 35 % av det ursprungliga stödet till 71 %.

Av de nya troende var Robert Sachs, en matematikprofessor vid George Mason University, som ursprungligen hade skrivit ett otrevligt brev till vos Savant, där han berättade för henne att hon ”blåste det” och erbjöd sig att hjälpa till att ”förklara”. Efter att ha insett att han faktiskt hade fel kände han sig tvungen att skicka ett nytt brev till henne – den här gången för att ångra sin självrättfärdighet.

”Efter att ha tagit bort min fot från munnen äter jag nu ödmjuk paj”, skrev han. ”Jag lovade som botgöring att svara alla de människor som skrev för att gissla mig. Det har varit en intensiv professionell förlägenhet.”

Priceonomics har skrivit två böcker. Den ena är för skeptiker, den andra för optimister. Välj ditt äventyr → Everything is Bullshit or Hipster Business Models.

För att få tillfälliga meddelanden när vi skriver blogginlägg kan du anmäla dig till vår e-postlista. Det här inlägget publicerades ursprungligen den 19 februari 2015.

.