Según todos los indicios, Marilyn vos Savant fue una niña prodigio.

Nacida en San Luis, Missouri, en 1946, la joven savant desarrolló rápidamente una aptitud para las matemáticas y la ciencia. A la edad de 10 años, se le sometió a dos pruebas de inteligencia -el Stanford-Binet y el Mega Test- que situaban su capacidad mental en la de una persona de 23 años. Posteriormente fue incluida en el Libro Guinness de los Récords por tener el «Coeficiente Intelectual más alto del mundo» y, en consecuencia, adquirió fama internacional.

A pesar de su condición de «mujer más inteligente del mundo», vos Savant mantenía que los intentos de medir la inteligencia eran «inútiles» y rechazaba los tests de CI por considerarlos poco fiables. A mediados de la década de 1980, con libertad para elegir su carrera, hizo las maletas y se trasladó a Nueva York para ser escritora.

Aquí tuvo una oportunidad: cuando la revista Parade escribió un perfil sobre ella, los lectores respondieron con tantas cartas que la publicación le ofreció un trabajo a tiempo completo. Poco después, creó «Pregúntale a Marilyn», una columna semanal ahora famosa en la que respondía (y sigue respondiendo, hasta el día de hoy) a una variedad de preguntas académicas y acertijos lógicos. Fue en el cuerpo de una de estas columnas donde vos Savant desencadenó una de las batallas estadísticas más acaloradas del siglo XXI.

Cuando vos Savant respondió amablemente a la pregunta de un lector sobre el Problema de Monty Hall, un rompecabezas de probabilidad entonces relativamente desconocido, nunca podría haber imaginado lo que ocurriría: aunque su respuesta era correcta, recibió más de 10.000 cartas, muchas de ellas de destacados académicos y doctores, en las que se le informaba de que su respuesta era correcta.Lo que siguió para vos Savant fue un viaje de pesadilla, plagado de insultos, suposiciones basadas en el género y persecución académica.

El problema de Monty Hall: una breve historia

Imagina que estás en un programa de televisión y el presentador te presenta tres puertas cerradas. Detrás de una de ellas, se encuentra un reluciente y flamante Lincoln Continental; detrás de las otras dos, hay cabras viejas y malolientes. El presentador te implora que elijas una puerta, y tú seleccionas la puerta nº 1. Entonces, el presentador, que es consciente de lo que ocurre entre bastidores, abre la puerta nº 3, dejando ver una de las cabras.

«Ahora», dice, volviéndose hacia ti, «¿quieres quedarte con la puerta nº 1, o quieres cambiar a la nº 2?»

Estadísticamente, ¿qué opción te da el coche: quedarte con tu puerta original, o cambiar? Si usted, como la mayoría de la gente, plantea que sus probabilidades son de 50-50, se equivoca – a menos que, por supuesto, le gusten las cabras tanto como los coches nuevos, en cuyo caso ganará el 100% de las veces.

Ligeramente basado en el famoso programa de televisión Let’s Make a Deal, el escenario presentado anteriormente, más conocido como el «Problema de Monty Hall», es una pregunta de probabilidad bastante famosa. A pesar de su engañosa sencillez, algunas de las mentes más brillantes del mundo -profesores del MIT, matemáticos de renombre y becarios MacArthur «Genius»- han tenido problemas para entender su respuesta. Durante décadas, ha provocado intensos debates en las aulas y salas de conferencias.

Históricamente, el Problema de Monty Hall fue precedido por varios rompecabezas muy similares.

En la paradoja de la caja de Joseph Bertrand (1889), se presentan tres cajas: una que contiene dos monedas de oro, otra que contiene dos monedas de plata y la última que contiene una de cada. Suponiendo que el participante saca una moneda de oro de una caja, el problema pregunta cuál es la probabilidad de que la otra moneda de esa caja sea de oro. Bertrand, que llegó a la conclusión de que la probabilidad era ⅔, fue alabado por su capacidad de mirar más allá de lo obvio.

Una segunda iteración de esta paradoja, el Problema de los Tres Prisioneros (1959), presenta un escenario estadísticamente idéntico, con el mismo resultado. «Un pequeño problema maravillosamente confuso», escribió más tarde su creador, el columnista de Scientific American Martin Gardner, con suficiencia. «En ninguna otra rama de las matemáticas es tan fácil que los expertos metan la pata como en la teoría de la probabilidad.»

Presentado por primera vez en una carta al editor de The American Statistician en 1975, el Problema de Monty Hall también era contraintuitivo. En esta carta, Steve Selvin, un profesor de la Universidad de California, Berkeley, expuso la situación en la introducción de este artículo, y sostuvo que el cambio de puertas produce una ⅔ posibilidad de ganar el coche, mientras que mantener la puerta original resulta en ganar sólo ⅓ de las veces.

Durante la siguiente década más o menos, el Problema de Monty Hall hizo varias apariciones, primero en un rompecabezas del Journal of Economics Perspectives por Barry Nalebuff, y posteriormente en un número de 1989 de Bridge Today, por Phillip Martin. La lógica de ninguno de los dos fue refutada, y el problema generó relativamente poca atención.

Entonces, después de 15 años sin incidentes, el Problema de Monty Hall fue resucitado por Marilyn vos Savant — y se produjo una absoluta tormenta de mierda.

La debacle de Marilyn vos Savant

En septiembre de 1990, Marilyn vos Savant dedicó una de sus columnas a la pregunta de un lector, que presentaba una variación del Problema de Monty Hall:

«Supongamos que estás en un programa de juegos y te dan a elegir entre tres puertas. Detrás de una puerta hay un coche, detrás de las otras, cabras. Eliges una puerta, digamos la nº 1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abre otra puerta, digamos la nº 3, que tiene una cabra. Te dice: «¿Quieres elegir la puerta nº 2?». ¿Te conviene cambiar la elección de las puertas?»

«Sí; deberías cambiar», responde. «La primera puerta tiene 1/3 de probabilidades de ganar, pero la segunda tiene 2/3 de probabilidades»

Aunque su respuesta era correcta, una amplia franja de académicos respondió con indignación. En los meses siguientes, vos Savant recibió más de 10.000 cartas -incluyendo un par de ellas del Director Adjunto del Centro de Información de Defensa y un Estadístico Matemático Investigador de los Institutos Nacionales de Salud- en las que se afirmaba que era totalmente incompetente:

¡La cagaste, y la cagaste a lo grande! Ya que parece que te cuesta entender el principio básico que se aplica aquí, te lo explicaré. Después de que el anfitrión revele una cabra, ahora tienes una posibilidad entre dos de acertar. Ya sea que cambie su selección o no, las probabilidades son las mismas. Ya hay suficiente analfabetismo matemático en este país, y no necesitamos que el mayor coeficiente intelectual del mundo propague más.
Scott Smith, Ph.D.
Universidad de Florida

¿Puedo sugerirle que obtenga y consulte un libro de texto estándar sobre probabilidad antes de intentar responder a una pregunta de este tipo de nuevo?
Charles Reid, Ph.D.
Universidad de Florida

Estoy seguro de que recibirá muchas cartas sobre este tema de estudiantes de secundaria y universitarios. Tal vez debería guardar algunas direcciones para que le ayuden en futuras columnas.
W. Robert Smith, Ph.D.
Georgia State University

Estás totalmente equivocado sobre la pregunta del programa de juegos, y espero que esta controversia llame un poco la atención del público sobre la grave crisis nacional de la educación matemática. Si puede admitir su error, habrá contribuido constructivamente a la solución de una situación deplorable. ¿Cuántos matemáticos furiosos hacen falta para que cambie de opinión?
E. Ray Bobo, Ph.D.
Universidad de Georgetown

Has cometido un error, pero mira el lado positivo. Si todos esos doctores estuvieran equivocados, el país tendría problemas muy serios.
Everett Harman, Ph.D.
Instituto de Investigación del Ejército de los Estados Unidos

¡Tú eres la cabra!
Glenn Calkins
Western State College

Tal vez las mujeres ven los problemas matemáticos de forma diferente a los hombres.
Don Edwards
Sunriver, Oregón

La protesta fue tan tremenda que vos Savant se vio obligada a dedicar tres columnas posteriores a explicar por qué su lógica era correcta. Incluso a raíz de sus respuestas claras y bien expuestas, siguió siendo reprendida. «Sigo pensando que estás equivocada», escribió un hombre, casi un año después. «Existe la lógica femenina».

Sin embargo, los números que respaldan la conclusión de vos Savant no mienten.

Descartando el problema de Monty Hall

Dado que quedan dos puertas (una que contiene un coche y otra una cabra) después de que el anfitrión abra la puerta nº 3, la mayoría asumiría que la probabilidad de seleccionar el coche es ½. Este no es el caso.

«Las probabilidades de ganar de 1/3 en la primera elección no pueden subir a 1/2 sólo porque el anfitrión abra una puerta perdedora», escribe vos Savant. De hecho, si se trazan seis partidas explorando todos los resultados posibles, queda claro que al cambiar de puerta se ganan dos tercios (66,6%) de las veces, y al mantener la puerta original se gana sólo un tercio (33,3%) de las veces:

Otra forma de ver esto es desglosar cada posibilidad de cambio de puerta. Como hemos delineado a continuación, 6 de los 9 escenarios posibles (dos tercios) resultan en ganar el coche:

Estos resultados parecen ir en contra de nuestros impulsos estadísticos intuitivos — entonces, ¿por qué cambiar de puerta aumenta nuestras probabilidades de ganar?

La respuesta corta es que tus probabilidades iniciales de ganar con la puerta nº 1 (⅓) no cambian simplemente porque el anfitrión revele una cabra detrás de la puerta nº 3; en cambio, la acción de Hall aumenta las probabilidades a ⅔ de que ganes al cambiar.

Aquí hay otra forma de visualizar esto. Imagina que en lugar de tres puertas, Monty Hall te presenta 100 puertas; detrás de 99 de ellas hay cabras, y detrás de una de ellas está el coche. Usted selecciona la puerta nº 1, y sus probabilidades iniciales de ganar el coche son ahora de 1/100:

Entonces, supongamos que Monty Hall abre 98 de las otras puertas, revelando una cabra detrás de cada una. Ahora te quedan dos opciones: quedarte con la puerta nº 1, o cambiar a la puerta nº 100:

Cuando seleccionas la puerta nº 1, hay una probabilidad de 99/100 de que el coche esté detrás de una de las otras puertas. El hecho de que Monty Hall revele 98 cabras no cambia estas probabilidades iniciales – simplemente «cambia» esa probabilidad de 99/100 a la puerta #100. Puedes seguir con tu elección original de 1/100 de probabilidades, o cambiar a la puerta #100, con una probabilidad mucho mayor de ganar el coche.

Aún así, mientras que las matemáticas y los números respaldan la afirmación de vos Savant — que las probabilidades de ganar aumentan a ⅔ cuando cambias de puerta — uno debe considerar otros factores que ella no aborda en su respuesta.

La psicología de la racionalización

Monty Hall, presentador de ‘Let’s Make a Deal’

En 1992, mientras se gestaba la polémica sobre la respuesta de vos Savant, Monty Hall -el presentador del programa de juegos, y homónimo del problema- se sentó para una entrevista con el New York Times.

Hall aclaró que las cosas funcionaban de manera un poco diferente al escenario presentado por el lector de Parade en la columna de vos Savant. En el programa real, por ejemplo, conservaba la autoridad para ofrecer al concursante dinero en efectivo para que NO se cambiara. Detalles como éste, dijo, alteraban la mentalidad del concursante:

«, pensarían que las probabilidades de su puerta habían subido ahora a 1 entre 2, por lo que odiaban renunciar a la puerta por mucho dinero que les ofreciera… Cuanto más alto llegaba, más pensaba que el coche estaba detrás . Quería estafar para cambiar allí. Ese es el tipo de cosas que puedo hacer cuando tengo el control del juego. Puedes pensar que tienes la probabilidad a tu favor cuando sigues la respuesta en su columna, pero hay que tener en cuenta el factor psicológico»

El «factor psicológico» que menciona Hall se traslada de las reglas del programa a la variación del problema que hemos presentado en este artículo. Tanto para los concursantes como para los que resuelven los problemas, el Problema de Monty Hall provoca disonancia cognitiva, un término que los psicólogos utilizan para describir el «estrés mental que experimenta un individuo que mantiene dos o más creencias, ideas o valores contradictorios al mismo tiempo, o que se enfrenta a una nueva información que entra en conflicto con las creencias, ideas o valores existentes.»

Cuando las personas se enfrentan a pruebas que son «inconsistentes con sus creencias» (es decir, que las probabilidades de ganar cambiando de puerta son ⅔, en lugar de ½), primero responden refutando la información, y luego se agrupan con disidentes de ideas afines y defienden su propia opinión rígida. Esta es precisamente la mentalidad de los miles de detractores de vos Savant.

***

Más de 25 años después, las discusiones sobre la semántica del Problema de Monty Hall y la respuesta de vos Savant siguen vigentes – principalmente centradas en las complejidades de las acciones del anfitrión.

«Nuestros cerebros no están preparados para resolver problemas de probabilidad muy bien, así que no me sorprende que haya habido errores», dijo el profesor de estadística de Stanford Persi Diaconis a un periodista, hace años. «El argumento estricto sería que la pregunta no puede responderse sin conocer la motivación del anfitrión».

Sin embargo, con el tiempo, muchos de los que habían escrito para corregir las matemáticas de vos Savant se echaron atrás y cedieron que estaban en un error.

Un ejercicio propuesto por vos Savant para entender mejor el problema pronto se integró en miles de aulas de todo el país. Se construyeron modelos informáticos que corroboraban su lógica, y el apoyo a su intelecto se restableció gradualmente. Mientras que antes sólo el 8% de los lectores creía que su lógica era cierta, esta cifra había aumentado al 56% a finales de 1992, escribe vos Savant; entre los académicos, el 35% de apoyo inicial se elevó al 71%.

Entre los nuevos creyentes estaba Robert Sachs, un profesor de matemáticas de la Universidad George Mason, que en un principio había escrito una carta desagradable a vos Savant, en la que le decía que «lo había estropeado» y se ofrecía a ayudar a «explicarlo». Después de darse cuenta de que, de hecho, estaba equivocado, se sintió obligado a enviarle otra carta – esta vez, arrepintiéndose de su arrogancia.

«Después de quitarme el pie de la boca, ahora estoy comiendo pastel de humildad», escribió. «Juré como penitencia responder a todas las personas que me escribieron para fustigarme. Ha sido una intensa vergüenza profesional»

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