A matematika a számok játéka, és a számok mindenütt ott vannak. A játék szabálya pedig a számokhoz kapcsolódó tulajdonságok és szabályok. A tulajdonságok segítenek abban, hogy fejben gyorsan és könnyen kiszámíthassuk a válaszokat. A tulajdonságok nem mások, mint speciális szabályok, amelyeket a számok követnek. A számoknak három alapvető tulajdonsága van, amelyeknek minden matematikai rendszer engedelmeskedik: Kommutatív, asszociatív és disztributív tulajdonságok. Ezek a tulajdonságok a négy művelet (összeadás, kivonás, szorzás és osztás) tulajdonságai, amelyek mindig érvényesek, függetlenül attól, hogy milyen számmal dolgozol. A következő cikkben azonban csak a kommutatív és asszociatív tulajdonságokat tárgyaljuk.

A kommutatív és az asszociatív tulajdonságok az összeadási és szorzási műveletekre alkalmazott szabályok. Ezek a tulajdonságok az algebrában használt törvények, amelyek segítenek a problémák megoldásában. A kommutatív tulajdonság a “commute” kifejezésből származik, ami azt jelenti, hogy mozogni, és arra utal, hogy az összeadandó vagy szorzandó számokat fel lehet cserélni. Az asszociatív tulajdonság a “társítani” vagy “csoportosítani” szóból származik, és arra utal, hogy három vagy több számot zárójelek segítségével csoportosítunk, függetlenül attól, hogy hogyan csoportosítjuk őket. Az eredmény ugyanaz marad, függetlenül attól, hogy hogyan csoportosítod át a számokat. Nézzük meg a két tulajdonságot, hogy jobban megértsük a működésüket.

Mi a kommutatív?

Például; tudjuk, hogy 2 és 5 összeadása ugyanazt a választ adja, mint 5 és 2 összeadása. Egy összeadási feladatban a számok sorrendje megváltoztatható anélkül, hogy az eredmény megváltozna. Ezt a számokkal és az összeadással kapcsolatos dolgot az összeadás kommutatív tulajdonságának nevezzük. Tehát azt mondhatjuk, hogy az összeadás kommutatív művelet. Hasonlóképpen a szorzás is kommutatív művelet.

Az összeadás kommutatív tulajdonsága:

a + b = b + a

3 + 4 = 7 ugyanaz, mint 4 + 3 = 7

Az eredmény a számok sorrendjétől függetlenül ugyanaz lesz.

A szorzás kommutatív tulajdonsága:

a × b = b × a

3 × 7 = 21 ugyanaz, mint 7 × 3 = 21

Az eredmény a számok sorrendjétől függetlenül ugyanaz lesz.

Mi az asszociatív?

Az asszociatív egy újabb tulajdonság, amit használunk, az átcsoportosítással kapcsolatos. Például, amikor 2 + 3 + 5 összeadásánál vagy először a 2-t és a 3-at adjuk össze, majd az 5-öt, vagy először a 3-at és az 5-öt adjuk össze, majd a 2-est. Matematikailag ez így néz ki: 2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = (2 +3) + 5. Az ilyen módon viselkedő műveleteket asszociatív műveleteknek nevezzük. Az eredmény akkor is ugyanaz marad, ha megváltoztatjuk a számok csoportosítását.

Az összeadás asszociatív tulajdonsága:

a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c

1 + (2 +3) = (1 +2) + 3 = 6

Az eredmény ugyanaz marad, függetlenül attól, hogyan csoportosítjuk a számokat.

A szorzás asszociatív tulajdonsága:

a × (b × c) = (a × b) × c

2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24

(2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24

A számok csoportosítása tehát nem változtatja meg az eredményt.

Kommutatív és asszociatív közötti különbség

Megkülönböztetés

– A kommutatív tulajdonság a “commute” kifejezésből származik, ami azt jelenti, hogy “mozogni”, és arra utal, hogy az összeadandó vagy szorzandó számokat a számok sorrendjétől függetlenül felcserélhetjük. Az asszociatív tulajdonság viszont a “társítani” vagy “csoportosítani” szóból származik, és arra utal, hogy három vagy több számot zárójelek segítségével csoportosítunk, függetlenül attól, hogy hogyan csoportosítjuk őket. Az eredmény ugyanaz lesz, függetlenül attól, hogy hogyan csoportosítod át a számokat vagy a változókat.

Szabály

– Az összeadás kommutatív szabálya kimondja, hogy a + b = b + a, ami azt jelenti, hogy a és b összeadása ugyanazt az eredményt adja, mint b és a összeadása. A sorrendek megváltoztathatók anélkül, hogy az eredmény megváltozna. Az összeadásnak ezt a szabályát az összeadás kommutatív tulajdonságának nevezzük. Hasonlóképpen a szorzás is kommutatív művelet, ami azt jelenti, hogy a × b ugyanazt az eredményt adja, mint b × a. Az asszociatív tulajdonság viszont a számok csoportosítására vonatkozó szabály. Az összeadás asszociatív szabálya szerint a + (b + c) ugyanaz, mint (a + b) + c. Hasonlóképpen, a szorzás asszociatív szabálya szerint a × (b × c) ugyanaz, mint (a × b) × c.

Példa

– Az összeadás kommutatív tulajdonsága: 1 + 2 = 2 +1 = 3

A szorzás kommutatív tulajdonsága: 2 × 3 = 3 × 2 = 6

Az összeadás asszociatív tulajdonsága: (5 + (3 + 7) = (5 + 3) + 7 = 15

A szorzás asszociatív tulajdonsága: 5 × (2 × 4) = (5 × 2) × 4 = 40

Kommutatív vs. asszociatív: Összehasonlító táblázat

Összefoglaló

A kommutatív tulajdonságot nem szabad összetéveszteni az asszociatív tulajdonsággal. A kommutatív tulajdonság azt mondja ki, hogy az összeadás és a szorzás műveleteiben nyugodtan megváltoztathatjuk a számok sorrendjét, mert az eredmény a sorrendtől függetlenül ugyanaz lesz. Az asszociatív tulajdonság ezzel szemben azt állítja, hogy az eredmény ugyanaz lesz, függetlenül attól, hogyan csoportosítja a számokat vagy változókat az összeadási/szorzási műveletekben.