Egymást kizáró és nem kölcsönösen kizáró események
Az előző feladatban megtanultad, hogy a nehéz valószínűségeket szimulációval és a nagy számok törvényének alkalmazásával számolhatod ki. Az elméleti valószínűségeket a helyzettől függően többféle stratégiával is ki lehet számítani.
Az egymást kizáró események olyan események, amelyek nem történhetnek egyszerre. Ilyenek például: jobbra és balra fordulás, páros és páratlan számok egy kockán, egy játék megnyerése és elvesztése, vagy futás és gyaloglás.
A nem egymást kizáró események olyan események, amelyek egyszerre is megtörténhetnek. Példák: vezetés és rádióhallgatás, páros és prímszámok a kockán, egy játék elvesztése és pontszerzés, vagy futás és izzadás.
A nem egymást kölcsönösen kizáró események bonyolultabbá tehetik a valószínűségszámítást.
Játékvásár reflexió
Játsszuk újra az Egykártyás dobójátékot a Játékvásárban.
A kölcsönösen kizáró események definícióját alkalmazva, a játékban a különböző pontok kimenetele kölcsönösen kizáró vagy nem kizáró?
Foglaljatok időt arra, hogy leírjatok néhány gondolatot a valószínűségek kiszámításának módjáról.
GamesFair
Long Description
A probléma azzal, hogy a valószínűséget csak kölcsönösen kizáró eseményekként értelmezzük, az, hogy leegyszerűsítjük ezeket az eseményeket olyan módon, amire nem való. Ez majdnem olyan tragikus, mintha azt mondanád, hogy az emberek nem tudnak jót tenni és pénzt keresni, vagy jó matematikusok és nagyon kreatívak lenni. A következő videó bemutatja, hogy milyen fontos felismerni, hogy az események nem zárják ki egymást.
Venn-diagramok
Ez egy Venn-diagram, amely egy szabványos 52 lapos pakli összes lapját megjeleníti. A a nem arcképes lapok halmaza.
A Venn-diagramok az események megjelenítésének egyik módja, és olyan egyszerű helyzetek megjelenítésére használhatók, amikor csak egy esemény következik be.
A több esemény megjelenítésére is használhatók.
Különösen hasznosak nem egymást kölcsönösen kizáró események megjelenítésekor.
Ezzel a tevékenységgel egyszerre 2 vagy 3 eseményt fogsz megjeleníteni, hogy elemezd az események közötti kapcsolatot.
A halmazok metszéspontja
Nézzük meg a Venn-diagramot a Minds On 50 beteg kérdéséhez.
A két halmaz “metszéspontjaként” a 
jelölést használjuk, amely A és B egy-egy eleme.
Ebben a példában a 
a tünetek átfedését jelenti, vagyis azokat a betegeket, akiknél a fejfájás “ÉS” az influenza tünetei is jelentkeznek.
A metszéspontot az “ÉS” szóval fogjuk megismerni.
Jegyezze fel a munkáját
Azt a feladatot kapta, hogy derítse ki, hányan vannak az “ÉS” kategóriában, hogy kiszámíthassa annak valószínűségét, hogy egy betegnek mindkét tünete van. Nyugodt lehetsz, ezt csak egyféleképpen lehet megtenni.
Az alábbi interaktív segítségével készítsen egy Venn-diagramot, hogy megtalálja, hány embernek van mindkét tünete a példában.
Az influenzaszezon kezdetén egy orvos két nap alatt 50 beteget vizsgál meg. 30-nak fejfájása van, 24-nek megfázása, 12-nek egyik sem. Néhány betegnek mindkét tünete megvan. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerű betegnek mindkét tünete van?
VennDiagram
Hosszú leírás
|
Szavakban |
In Words |
In Szimbólumok |
In szimbólumok |
|---|---|---|---|
|
All red |
n(A) = |
P(A) = |
|
|
Minden szám |
n(B) = |
P(B) = |
|
|
Minden kártya |
n(S) = |
P(S) = |
|
|
Interszekció: Szám és piros |
|
|
|
|
Kizárólag piros (piros lapok, amelyek nem számlapok) |
|
|
|
|
Csak szám (számkártyák, amelyek nem piros lapok) |
|
|
|
|
Union: |
|
|
|
|
Minden más |
|
|
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= A befogadás elve-Kizárás
Gondoljuk meg a Venn-diagramot. Ha n(A) és n(B) összeadjuk, akkor a metszésrész kétszer számítjuk. Soha nem szabad kétszer megszámolni egy elemet, hogy megtudd, hány elemed van. Ha kétszer számoltad meg, van egy egyszerű módja a korrekciónak: vond le egyszer.
A bevonás-kizárás elve hasznos képlet/ötlet a valószínűségek meghatározásakor, és nem egymást kölcsönösen kizáró események esetén használatos.
Ez a következőképpen írható le:
vagy szavakkal: Az A “VAGY” B elemeinek száma egyenlő az A-ban lévő elemek száma plusz a B-ben lévő elemek száma kivonva az A “ÉS” B-ben lévő elemek számát.
Alkalmazza a Tanulás
Az eredeti feladat megoldásához használja a bevonás-kizárás elvét képviselő képletet:
Az influenzaszezon kezdetén egy orvos két nap alatt 50 beteget vizsgál meg. 30-nak fejfájása van, 24-nek megfázása, 12-nek egyik sem. Néhány betegnek mindkét tünete megvan. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerű betegnek mindkét tünete van?
Mutasd meg a megoldásod lépéseit, és magyarázd meg (definíció: Szánj időt arra, hogy minden olyan magyarázatot leírj, ami nem nyilvánvaló, vagy amihez némi gondolkodásra volt szükség, és ami egyébként nem látható.) a válaszodat.
Megoldás
- 8-nak csak megfázása van,
- 14-nek csak a feje fáj,
- 16-nak mindkettő.
Venn-diagram 3 esemény felhasználásával
Aenn-diagramokat és az egymást kizáró eseményeket nem csak két különböző esemény esetén használjuk. Három esemény, bár bonyolultabb, szintén használható egy Venn-diagramban. Ha a megfelelő stratégiát alkalmazzuk, ez hatékonyan megvalósítható.
Példa
Az Eastside Secondary középiskola tanügyis osztálya meg akarja számolni a 12. osztályos tanulók számát. Tudják, hogy minden diák matematikát, angolt vagy természettudományt tanul. Ezt találták:
- 64 diák tanul matematikából
- 56 diák tanul angolból
- 82 diák tanul természettudományokból
- 20 diák tanul matematikából és angolból
- 25 diák tanul matematikából és természettudományokból
- 21 diák tanul angolból és természettudományokból
- 12 diák tanul mindhárom tárgyból.
Készítsen az alábbihoz hasonló három eseményből álló Venn-diagramot. Töltsd ki a Venn-diagram minden egyes szakaszát, ügyelve arra, hogy minden diák csak egy kategóriába tartozzon.
- Hány diák van összesen?
- Mi a valószínűsége annak, hogy egy véletlen diák a matematikát és a természettudományokat választja?
- Mi a valószínűsége annak, hogy egy véletlen diák a matematikát vagy a természettudományokat választja?
- Mi a valószínűsége annak, hogy egy diák a háromból pontosan kettőt választ?
Megoldás
- 12 mindháromból,
- 9 E és S, de M-ből nem,
- 13 M-ben és S-ben, de E-ben nem,
- 8 M-ben és E-ben, de S-ben nem,
- 48 csak S-ben,
- 27 csak E-ben,
- 31 csak M-ben.
A kérdéshez segítséget nyújt a következő hasonló példa.