Hamiltoni rendszerek geometriájaSzerkesztés

A Hamiltoni rendszer többféle, de egyenértékű módon indukálhat szimpaktikus struktúrát egy sima, páros dimenziós M2n sokaságon, amelyek közül a legismertebbek a következők:

A zárt, nem elfajult szimpaktikus 2-formaként ω. A Darboux-tétel szerint az M bármely pontja körüli kis szomszédságban a megfelelő helyi koordinátákban p 1 , ⋯ , p n , q 1 , ⋯ , q n {\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n},\ q_{1},\cdots ,q_{n}}}

létezik az ω = ∑ i = 1 n d p i ∧ d q i {\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}}} szimplektikus forma.

A helyi koordinátákat p, q ekkor kanonikusnak vagy szimplektikusnak nevezzük.

A formát ω {\displaystyle \omega }

lehetővé teszi egy természetes izomorfizmus konstruálását T x M ≅ T x ∗ M {\displaystyle T_{x}M\cong T_{x}^{*}M}

a T x M {\displaystyle T_{x}M} érintőterének {\displaystyle T_{x}M}

és a T x ∗ M kootangens terének

. {\displaystyle T_{x}^{*}M.}

Ez egy ξ ∈ T x M {\displaystyle \xi \xi \in T_{x}M} vektor leképezésével történik.

az 1-formára ω ξ ∈ T x ∗ M , {\displaystyle \omega _{\xi }\in T_{x}^{*}M,}

ahol ω ξ ( η ) = ω ( η , ξ ) , {\displaystyle \omega _{\xi }(\eta )=\omega (\eta ,\xi ),}

egy tetszőleges η ∈ T x M esetén. {\displaystyle \eta \in T_{x}M.}

Az ω , {\displaystyle \omega ,}

bilinearitásának és nem-degeneráltságának, valamint annak a ténynek köszönhetően, hogy d i m T x M = d i m T x ∗ M , {\displaystyle \mathop {\rm {dim}}} T_{x}M=\mathop {\rm {dim}} T_{x}^{*}M,}

a leképezés ξ → ω ξ {\displaystyle \xi \to \omega _{\xi }}

valóban lineáris izomorfizmus. Ez az izomorfizmus annyiban természetes, hogy nem változik az M koordinátáinak megváltoztatásával. {\displaystyle M.}

Minden x ∈ M-re megismételve {\displaystyle x\in M,}

egy J – 1 : Vect ( M ) → Ω 1 ( M ) {\displaystyle J^{-1}:{\text{Vect}}(M)\to \Omega ^{1}(M)} izomorfizmust kapunk.

a sima vektormezők végtelen dimenziós tere és a sima 1-alakok tere között. Minden f , g ∈ C ∞ ( M , R ) {\displaystyle f,g\in C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}

és ξ , η ∈ Vect ( M ) , {\displaystyle \xi ,\eta \in {\text{Vect}}(M),}

J – 1 ( f ξ + g η ) = f J – 1 ( ξ ) + g J – 1 ( η ) . {\displaystyle J^{-1}(f\xi +g\eta )=fJ^{-1}(\xi )+gJ^{-1}(\eta ).}

(Algebrai nyelven azt mondanánk, hogy a C ∞ ( M , R ) {\displaystyle C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}

-modulok Vect ( M ) {\displaystyle {\text{Vect}}(M)}

és Ω 1 ( M ) {\displaystyle \Omega ^{1}(M)}

izomorfikusak). Ha H ∈ C ∞ ( M × R t , R ) , {\displaystyle H\in C^{\infty }(M\times \mathbb {R} _{t},\mathbb {R} ),}

akkor minden rögzített t ∈ R t , {\displaystyle t\in \mathbb {R} _{t},}

d H ∈ Ω 1 ( M ) , {\displaystyle dH\in \Omega ^{1}(M),}

és J ( d H ) ∈ Vect ( M ) . {\displaystyle J(dH)\in {\text{Vect}}(M).}

J ( d H ) {\displaystyle J(dH)}

Hamiltoni vektormezőnek nevezzük. Az M-re vonatkozó differenciálegyenlet {\displaystyle M}

x ˙ = J ( d H ) ( x ) {\displaystyle {\dot {x}}=J(dH)(x)}

Hamilton egyenletének nevezzük. Itt x = x ( t ) {\displaystyle x=x(t)}

és J ( d H ) ( x ) ∈ T x M {\displaystyle J(dH)(x)\in T_{x}M}

a J ( d H ) {\displaystyle J(dH)} vektormező (időfüggő) értéke.

értéke x ∈ M-nél. {\displaystyle x\in M.}

Egy Hamilton-rendszert úgy is felfoghatunk, mint egy E szálköteget az R idő felett, amelynek Et, t ∈ R szálai a helyzeti teret jelentik. A Lagrange-függvény tehát egy függvény az E feletti J sugárkötegen; a Lagrange-függvény szálankénti Legendre-transzformációjának felvétele egy függvényt eredményez az idő feletti duális kötegen, amelynek t-nél lévő szála a T∗Et kotangens tér, amely egy természetes szimpaktikus alakkal van ellátva, és ez utóbbi függvény a Hamiltonian. A Lagrange- és a Hamiltoni mechanika közötti megfeleltetést a tautologikus egyformával érjük el.

Minden sima valós értékű H függvény egy szimplektikus sokaságon felhasználható egy Hamiltoni rendszer definiálására. A H függvényt “hamiltoniánusnak” vagy “energiafüggvénynek” nevezzük. A szimplektikus sokaságot ekkor fázistérnek nevezzük. A Hamiltonián egy speciális vektormezőt indukál a szimplektikus sokaságon, amelyet Hamiltoni vektormezőnek nevezünk.

A Hamiltoni vektormező egy Hamiltoni áramlást indukál a sokaságon. Ez a sokaság transzformációinak egyparaméteres családja (a görbék paraméterét szokás “időnek” nevezni); más szóval a szimplektomorfizmusok izotópiája, az azonossággal kezdve. Liouville tétele alapján minden szimpektomorfizmus megőrzi a térfogatformát a fázistéren. A Hamiltoni-áramlás által indukált szimplektomorfizmusok gyűjteményét szokás a Hamiltoni-rendszer “Hamiltoni-mechanikájának” nevezni.

A szimplektikus struktúra Poisson zárójelet indukál. A Poisson-konzol a sokaságon lévő függvények terének a Lie-algebra szerkezetét adja.

Ha F és G sima függvények M-en, akkor az ω2(IdG, IdF) sima függvény megfelelően definiált; az F és G függvények Poisson-konzoljának nevezzük, és {F, G}-vel jelöljük. A Poisson-konzol a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1. bilinearitás
2. antiszimmetria
3. { F 1 ⋅ F 2 , G } = F 1 { F 2 , G } + F 2 { F 1 , G } {\displaystyle \{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}}
   

   (Leibniz-szabály)

4. { { { H , F } , G } + { { { F , G } , H } + { { { G , H } , F } ≡ 0 {\displaystyle \{\\{H,F\},G\}+\{\{\{F,G\},H\}+\{\{\{G,H\},F\}\equiv 0}
   

   (Jacobi-identitás)

5. nem-degeneráltság: ha az M-en az x pont nem kritikus F számára, akkor létezik olyan sima G függvény, hogy { F , G } ( x ) ≠ 0 {\displaystyle \{F,G\}(x)\neq 0}
   

   .

Adott egy f függvény

d d t f = ∂ ∂ t f + { f , H } , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f={\frac {\partial }{\partial t}}f+\left\{f,{\mathcal {H}}\right\}},}

ha van valószínűségi eloszlás, ρ, akkor (mivel a fázistérbeli sebesség ( p ˙ i , q ˙ i ) {\displaystyle ({\dot {p}}_{i},{\dot {q}}_{i})}

nulla divergenciával rendelkezik és a valószínűség konzerválódik) konvektív deriváltja nullának mutatható, így ∂ ∂ t ρ = – { ρ , H } {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho =-\left\{\rho ,{\mathcal {H}}\right\}}

Ezt nevezzük Liouville tételének. Minden sima G függvény a szimplektikus sokaság felett szimplektomorfizmusok egyparaméteres családját generálja, és ha {G, H} = 0, akkor G konzervált és a szimplektomorfizmusok szimmetriatranszformációk.

Egy Hamiltoniánusnak több konzervált mennyisége is lehet Gi. Ha a szimplektikus sokaság 2n dimenziójú és van n funkcionálisan független konzervált mennyiség Gi, amelyek involúcióban vannak (azaz {Gi, Gj} = 0), akkor a Hamiltonián Liouville-integrálható. A Liouville-Arnold-tétel kimondja, hogy lokálisan bármely Liouville-integrálható Hamiltonián szimplektomorfizmussal átalakítható egy új Hamiltoniánná, amelynek koordinátái a Gi konzervált mennyiségek; az új koordinátákat akciószög-koordinátáknak nevezzük. A transzformált Hamiltonián csak a Gi-től függ, és így a mozgásegyenletek az egyszerű formájúak

G ˙ i = 0 , φ ˙ i = F i ( G ) {\displaystyle {\dot {G}}_{i}=0\quad ,\quad {\dot {\varphi }}_{i}=F_{i}(G)}

milyen F függvényre. Egy egész szakterület foglalkozik a KAM-tétel által szabályozott integrálható rendszerek kis eltéréseivel.

A Hamilton-vektorterek integrálhatósága nyitott kérdés. A Hamiltoni rendszerek általában kaotikusak; a mérték, a teljesség, az integrálhatóság és a stabilitás fogalmai kevéssé definiáltak.

Riemann-féle sokaságokSzerkesztés

Egy fontos speciális esetet alkotnak azok a Hamiltonok, amelyek kvadratikus formák, azaz, Hamiltoniánok, amelyek a következőképpen írhatók fel:

H ( q , p ) = 1 2 ⟨ p , p ⟩ q {\displaystyle {\mathcal {H}}(q,p)={\tfrac {1}{2}}}\langle p,p\rangle _{q}}

ahol ⟨ , ⟩q egy simán változó belső szorzat a T∗
qQ szálakon, a konfigurációs tér q pontjához tartozó kotangens téren, amelyet néha kometrikusnak neveznek. Ez a Hamiltonián teljes egészében a kinetikus kifejezésből áll.

Ha Riemann sokaságot vagy pszeudo-Riemann sokaságot tekintünk, a Riemann-metrika lineáris izomorfizmust indukál az érintő és a kotangens kötegek között. (Lásd: zenei izomorfizmus). Ezt az izomorfizmust felhasználva definiálhatunk egy kometrikát. (Koordinátákban a kometrikát definiáló mátrix a metrikát definiáló mátrix inverze). Az erre a Hamilton-Jacobi egyenletekre vonatkozó Hamilton-Jacobi egyenletek megoldásai ekkor megegyeznek a sokaság geodéziáival. Különösen, a Hamilton-áramlás ebben az esetben ugyanaz, mint a geodéziai áramlás. Az ilyen megoldások létezését és a megoldások halmazának teljességét a geodéziákról szóló cikkben tárgyaljuk részletesen. Lásd még: Geodézia mint Hamiltoni áramlás.

Szub-Riemann sokaságokSzerkesztés

Ha a kometrikus degenerált, akkor nem invertálható. Ebben az esetben nincs Riemann-manifoldunk, mivel nincs metrikánk. A Hamiltonos azonban ettől még létezik. Abban az esetben, ha a kometrikus a Q konfigurációs tér sokaságának minden q pontjában degenerált, így a kometrikus rangja kisebb, mint a Q sokaság dimenziója, akkor szub-Riemann sokasággal rendelkezünk.

A Hamiltonián ebben az esetben szub-Riemann Hamiltoniánnak nevezzük. Minden ilyen Hamiltonián egyedileg meghatározza a kometrikust, és fordítva. Ez azt jelenti, hogy minden szub-Riemann sokaságot egyedileg determinál a hozzá tartozó szub-Riemann Hamiltonián, és hogy fordítva is igaz: minden szub-Riemann sokaságnak van egy egyedi szub-Riemann Hamiltoniánja. A szub-Riemann-geodézisek létezését a Chow-Rashevszkij-tétel adja meg.

A folytonos, valós értékű Heisenberg-csoport egy egyszerű példát ad a szub-Riemann sokaságra. A Heisenberg-csoport esetében a Hamilton-függvényt a

H ( x , y , z , p x , p y , p z ) = 1 2 ( p x 2 + p y 2 ) {\displaystyle {\mathcal {H}}\left(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z}\right)={\tfrac {1}{2}}}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right)}

pz nem vesz részt a Hamilton-rendszerben.

Poisson-algebrákSzerkesztés

A Hamilton-rendszerek többféleképpen általánosíthatók. Ahelyett, hogy egyszerűen a sima függvények algebráját vizsgálnánk egy szimplektikus sokaság felett, a Hamiltoni mechanika általános kommutatív unitális valós Poisson-algebrákon is megfogalmazható. Az állapot egy olyan folytonos lineáris függvény a Poisson-algebrán (valamilyen megfelelő topológiával ellátva), hogy az algebra bármely A elemére A2 egy nemnegatív valós számra képez le.

Egy további általánosítást ad a Nambu-dinamika.

Általánosítás a kvantummechanikára a Poisson zárójelen keresztülSzerkesztés

Hamilton fenti egyenletei jól működnek a klasszikus mechanikára, de nem a kvantummechanikára, mivel a tárgyalt differenciálegyenletek feltételezik, hogy a részecske pontos helyzetét és impulzusát bármely időpontban egyszerre tudjuk megadni. Az egyenletek azonban tovább általánosíthatók, hogy aztán a Poisson-algebra p és q felett a Moyal zárójelek algebrájává alakításával a klasszikus mechanika mellett a kvantummechanikára is vonatkoztathatók legyenek.

Konkrétan a Hamilton-egyenlet általánosabb formája így szól:

d f d t = { f , H } + ∂ f ∂ t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\left\{f,{\mathcal {H}}\right\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}}}

ahol f p és q valamilyen függvénye, H pedig a Hamilton-függvény. A Poisson-konzol kiértékelésének szabályait differenciálegyenletek igénybevétele nélkül lásd Lie-algebra; a Poisson-konzol a Poisson-algebra Lie-konzoljának neve. Ezek a Poisson-konzolok aztán kiterjeszthetők Moyal-konzolokra, amelyek megfelelnek egy inekvivalens Lie-algebrának, amint azt Hilbrand J. Groenewold bizonyította, és ezáltal leírják a kvantummechanikai diffúziót a fázistérben (lásd a fázistér-formulát és a Wigner-Weyl-transzformációt). Ez az algebraibb megközelítés nemcsak azt teszi lehetővé, hogy a valószínűségi eloszlásokat a fázistérben végső soron kiterjesszük a Wigner-féle kvázi valószínűségi eloszlásokra, hanem a pusztán Poisson-konzol klasszikus beállításánál nagyobb teljesítményt nyújt a rendszerben lévő releváns konzervált mennyiségek elemzésének segítésében is.