A matematika kitalált szabályokat használ modellek és kapcsolatok létrehozására. Amikor tanulok, megkérdezem:

• Milyen kapcsolatot reprezentál ez a modell?
• Mely valós elemek osztoznak ezen a kapcsolaton?
• Megértem ezt a kapcsolatot?

Egyszerű kérdések, de segítenek megérteni az új témákat. Ha tetszettek a matematikai bejegyzéseim, ez a cikk az én megközelítésemmel foglalkozik ebben a sokszor rosszallott témában. Sokan hagytak értő hozzászólásokat a matematikával való küzdelmeikről és az őket segítő forrásokról.

Matematikaoktatás

A tankönyvek ritkán összpontosítanak a megértésre; többnyire a problémák megoldásáról van szó “dugd be és csurgasd” képletekkel. Elszomorít, hogy gyönyörű gondolatok ilyen bemagolt kezelést kapnak:

• A Pitagorasz-tétel nem csak a háromszögekről szól. Hanem a hasonló alakzatok közötti kapcsolatról, bármely számhalmaz közötti távolságról és még sok másról is.
• Az e nem csak egy szám. Az összes növekedési ütem közötti alapvető összefüggésekről szól.
• A természetes log nem csak egy inverz függvény. Arról szól, hogy mennyi időre van szükségük a dolgoknak a növekedéshez.

Elegáns, “a ha!” felismerésekre kellene összpontosítanunk, de ezt meghagyjuk a diákoknak, hogy véletlenszerűen maguk botoljanak bele. Én a főiskolán egy pokoli magolást követően értem el egy “a ha!” pillanatot; azóta meg akarom találni és megosztani ezeket a megvilágosodásokat, hogy másokat is megkíméljek ugyanettől a fájdalomtól.

De ez mindkét irányba működik — szeretném, ha te is megosztanád velem a felismeréseidet. Több megértés, kevesebb fájdalom, és mindenki nyer.

A matematika az idők során fejlődik

A matematikát egy gondolkodásmódnak tekintem, és fontos, hogy lássuk, hogyan fejlődött ez a gondolkodás, és ne csak az eredményt mutassuk meg. Próbáljunk ki egy példát.

Képzeljük el, hogy egy ősember matekozik. Az egyik első probléma az lesz, hogy hogyan számolj meg dolgokat. Az idők során több rendszer is kialakult:

Egyik rendszer sem helyes, és mindegyiknek megvannak az előnyei:

• Unáris rendszer: Vonalakat húzni a homokba — a lehető legegyszerűbb. Nagyszerű játékokban a pontszámok vezetéséhez; törölgetés és újraírás nélkül lehet hozzáadni egy számhoz.
• Római számok: Fejlettebb unáris számrendszer, rövidítésekkel a nagy számokhoz.
• Tizedesjegyek: Hatalmas felismerés, hogy a számok használhatnak “pozicionális” rendszert a hely és a nulla segítségével.
• Bináris: A legegyszerűbb pozicionális rendszer (két számjegy, on vs. off), ezért nagyszerű mechanikus eszközökhöz.
• Tudományos jelölés: Rendkívül kompakt, könnyen lemérhető egy szám mérete és pontossága (1E3 vs 1.000E3).

Azt hiszed, végeztünk? Dehogyis. 1000 év múlva olyan rendszerünk lesz, amely mellett a tizedes számok olyan furcsának tűnnek, mint a római számok (“Györgyre, hogy boldogultak ilyen ügyetlen eszközökkel?”).

A negatív számok nem is olyan valóságosak

Gondolkodjunk még egy kicsit a számokról. A fenti példa azt mutatja, hogy a mi számrendszerünk egy a sokféle megoldás közül a “számolás” problémájára.

A rómaiak furcsának tartanák a nullát és a törteket, de ez nem jelenti azt, hogy a “semmi” és a “rész az egészhez” nem hasznos fogalmak. De nézzük meg, hogy az egyes rendszerek hogyan építettek be új ötleteket.

A törtek (1/3), a tizedesjegyek (.234) és az összetett számok (3 + 4i) új összefüggések kifejezési módjai. Lehet, hogy most nincs értelmük, ahogy a rómaiak számára sem volt “értelme” a nullának. Új valós összefüggésekre van szükségünk (mint például az adósság) ahhoz, hogy kattanjanak.

A negatív számok még akkor sem biztos, hogy úgy léteznek, ahogy mi gondoljuk, ahogy itt meggyőzöl:

Te: Negatív számok remek ötlet, de eredendően nem léteznek. Ez egy címke, amit egy fogalomra alkalmazunk.

Én: Dehogynem léteznek.

Te:

Én: Nos, öhm… tegyük fel, hogy te egy farmer vagy, és elvesztettél 3 tehenet.

Te:

Én: Nem, úgy értem, hogy 3 tehenet adtál egy barátodnak.

Te:

Én: Nem, úgy értem, egyszer majd visszaadja őket. Tartozik neked.

Te: Aha. Tehát a tényleges számom (-3 vagy 0) attól függ, hogy szerintem vissza fogja-e fizetni. Nem is tudtam, hogy a véleményem megváltoztatja a számolás módját. Az én világomban végig nulla volt.

Én: Sóhajtok. Ez nem így van. Amikor visszaadja neked a teheneket, akkor -3-ról 3-ra lépsz.

Te: Oké, tehát visszaad 3 tehenet és mi 6-ot ugrunk, -3-ról 3-ra? Van még valami új számtan, amiről tudnom kéne? Hogy néz ki az sqrt(-17) tehén?

Én: Kifelé!

A negatív számok kifejezhetnek egy kapcsolatot:

• A pozitív számok a tehenek többletét jelentik
• A nulla a tehenek hiányát jelenti
• A negatív számok a tehenek hiányát jelentik, amit feltételezhetően vissza kell fizetni

De a negatív szám “valójában nincs is” — csak az a kapcsolat van, amit képviselnek (a tehenek többlete/hiánya). Létrehoztunk egy “negatív szám” modellt, hogy segítsük a könyvelést, még akkor is, ha -3 tehenet nem tudsz a kezedben tartani. (Szándékosan használtam más értelmezését annak, hogy mit jelent a “negatív”: ez egy másik számolási rendszer, ahogy a római számok és a tizedesjegyek is más számolási rendszerek.)

A negatív számokat egyébként sokan nem fogadták el, beleértve a nyugati matematikusokat is, egészen az 1700-as évekig. A negatív gondolatát “abszurdnak” tartották. A negatív számok valóban furcsának tűnnek, hacsak nem látod, hogyan ábrázolnak összetett valós összefüggéseket, például adósságot.”

Mire ez a sok filozófia?

Rájöttem, hogy a **gondolatvilágom kulcsfontosságú a tanuláshoz. **Ez segített mély felismerésekhez jutni, konkrétan:

• A tényszerű tudás nem megértés. Tudni, hogy “a kalapács szöget ver”, nem azonos azzal a felismeréssel, hogy bármilyen kemény tárgy (egy kő, egy csavarkulcs) képes szöget verni.
• Legyünk nyitottak. Fejleszd az intuíciódat azáltal, hogy megengeded magadnak, hogy újra kezdő legyél.

Egy egyetemi professzor meglátogatott egy híres zen mestert. Miközben a mester csendben teát szolgált fel, a professzor a zenről beszélt. A mester csordultig töltötte a látogató csészéjét, majd tovább töltött. A professzor addig nézte a túlcsorduló csészét, amíg már nem tudta visszafogni magát. “Túltelt! Több nem megy bele!” – fakadt ki a professzor. “Olyan vagy, mint ez a csésze” – válaszolta a mester – “Hogyan mutathatnám meg neked a zent, ha előbb nem üríted ki a csészédet.”

• Légy kreatív. Keress furcsa összefüggéseket. Használj ábrákat. Használj humort. Használj analógiákat. Használj mnemonikát. Használjon bármit, ami szemléletesebbé teszi a gondolatokat. Az analógiák nem tökéletesek, de segítenek, ha az általános gondolattal küszködsz.
• Ismerd fel, hogy tanulhatsz. Elvárjuk a gyerekektől, hogy olyan algebrát, trigonometriát és számtant tanuljanak, ami az ókori görögöket is meghökkentette volna. Pedig kellene: annyi mindenre képesek vagyunk, ha helyesen magyarázzuk el. Ne hagyd abba, amíg nincs értelme, különben az a matematikai hiányosság kísérteni fog. A mentális szívósság döntő fontosságú — gyakran túl könnyen feladjuk.

Szóval mi a lényeg?

Meg akarom osztani, amit felfedeztem, remélve, hogy segít a matematikatanulásban:

• A matematika olyan modelleket hoz létre, amelyek bizonyos összefüggésekkel rendelkeznek
• Megpróbálunk olyan valós jelenségeket találni, amelyek ugyanilyen összefüggésekkel rendelkeznek
• Modelleink mindig javulnak. Jöhet egy új modell, amely jobban megmagyarázza ezt a kapcsolatot (római számok a tízes számrendszerbe).

Néhány modellnek persze látszólag semmi haszna: “Mire jók a képzeletbeli számok?” – kérdezi sok diák. Ez egy jogos kérdés, intuitív válasszal.

A képzeletbeli számok használatát a képzeletünk és a megértésünk korlátozza — ahogy a negatív számok is “haszontalanok”, hacsak nincs meg az adósság fogalma, úgy a képzeletbeli számok is zavaróak lehetnek, mert nem igazán értjük az általuk képviselt kapcsolatot.

A matematika modelleket ad; értsük meg az összefüggéseiket, és alkalmazzuk őket a valós világ tárgyaira.

Az intuíció fejlesztése szórakoztatóvá teszi a tanulást — még a számvitel sem rossz, ha megértjük a problémákat, amelyeket megold. A komplex számokat, a számtant és más nehezen megfogható témákat úgy akarom lefedni, hogy az összefüggésekre koncentrálok, nem pedig a bizonyításokra és a mechanikára.

De ez az én tapasztalatom — te hogyan tanulsz a legjobban? Néhány barátom leírta a tapasztalatait:

• Ed Latimore:
• Scott Young: Hogyan tanítsd magadat matematikára

Más hozzászólások ebben a sorozatban

1. A matematikai intuíciónk fejlesztése
2. Miért tanulunk matematikát?
3. Hogyan alakítsuk ki a matematikai gondolkodásmódot
4. Matematika tanulása? Gondolkodj úgy, mint egy rajzoló.
5. A matematika mint nyelv: Az egyenlőségjel megértése
6. A melléknévi tévedés elkerülése
7. Egység megtalálása a matematikai háborúkban
8. Az élesség szép
9. Nehéz fogalmak megtanulása az ADEPT-módszerrel
10. Az intuíció, a részletek és az íj/nyíl metafora
11. Tanulni tanulni: Az intuíció nem opcionális
12. Tanulni tanulni:
13. Learning To Learn: Embrace Analogies
14. Learning To Learn: Embrace Analogies
15. Learning To Learn:
16. Tanulni tanulni: Ceruzával, majd tintával
17. Tanulni tanulni: Analógiák: Matematikai absztrakció
18. Tanulási tipp: Fix the Limiting Factor
19. Honest and Realistic Guides for Learning
20. Empathy-Driven Mathematics
21. Studying a Course (Machine Learning) with the ADEPT Method
22. Math and Analogies
23. Colorized Math Equations
24. Analogy: Matematika és főzés
25. Matematikatanulás (Mega Man vs. Tetris)