Mindenki szerint Marilyn vos Savant csodagyerek volt.

A Missouri állambeli St. Louisban született 1946-ban, és a fiatal savant gyorsan kifejlődött a matematika és a tudományok iránti érzéke. 10 éves korában két intelligenciatesztet – a Stanford-Binet-tesztet és a Mega-tesztet – is elvégeztek rajta, és mindkettő egy 23 éves szellemi képességét állapította meg. Ezután bekerült a Guinness Rekordok Könyvébe a “világ legmagasabb IQ-jával”, és ennek következtében nemzetközi hírnévre tett szert.

A “világ legokosabb nőjeként” betöltött státusza ellenére vos Savant fenntartotta, hogy az intelligencia mérésére tett kísérletek “haszontalanok”, és az IQ-teszteket mint megbízhatatlanokat elutasította. A nyolcvanas évek közepén, amikor szabad kezet kapott a pályaválasztásban, összepakolt, és New Yorkba költözött, hogy író legyen.

Ez volt az áttörés: amikor a Parade Magazine írt róla egy portrét, az olvasók olyan sok levéllel reagáltak rá, hogy a kiadvány teljes munkaidős állást ajánlott neki. Nem sokkal később létrehozta a “Kérdezd Marilynt”, egy ma már híres heti rovatot, amelyben különböző tudományos kérdésekre és logikai rejtvényekre válaszolt (és válaszol a mai napig). Az egyik ilyen rovatban vos Savant a 21. század egyik leghevesebb statisztikai csatáját robbantotta ki.

Amikor vos Savant udvariasan válaszolt egy olvasó kérdésére a Monty Hall problémával, egy akkor még viszonylag ismeretlen valószínűségi feladvánnyal kapcsolatban, el sem tudta volna képzelni, mi fog történni: bár a válasza helyes volt, több mint 10 000 levelet kapott, sok neves tudósoktól és Ph.D.-től, akik közölték vele, hogy ő egy nyúlagyú idióta.

Az, ami ezután következett vos Savant számára, egy rémálomszerű utazás volt, amely tele volt csúfolódásokkal, nemi alapú feltételezésekkel és tudományos üldözéssel.

The Monty Hall Problem: A Short History

Képzeld el, hogy egy televíziós vetélkedőben vagy, és a műsorvezető három zárt ajtót mutat neked. Az egyik mögött egy csillogó, vadonatúj Lincoln Continental ül, a másik kettő mögött pedig büdös, öreg kecskék. A műsorvezető könyörög, hogy válasszon egy ajtót, és ön kiválasztja az 1-es ajtót. Ezután a házigazda, aki jól tudja, hogy mi folyik a színfalak mögött, kinyitja a 3-as ajtót, felfedve az egyik kecskét.

“Most pedig – mondja, hozzád fordulva -, meg akarod tartani az 1-es ajtót, vagy át akarsz váltani a 2-es ajtóra?”

Statisztikusan, melyik választással kapod meg az autót: megtartod az eredeti ajtót, vagy átváltasz? Ha Ön, mint a legtöbb ember, azt állítja, hogy az esélye 50-50, akkor téved — kivéve persze, ha Ön legalább annyira szereti a kecskéket, mint az új autókat, amely esetben 100%-ban nyer.

A fent bemutatott forgatókönyv, amely inkább a “Monty Hall probléma” néven ismert, lazán a híres Let’s Make a Deal című televíziós játékműsoron alapul, egy meglehetősen híres valószínűségi kérdés. Megtévesztő egyszerűsége ellenére a világ néhány legokosabb elméjének – MIT professzoroknak, neves matematikusoknak és MacArthur “Genius” ösztöndíjasoknak – gondot okozott a válasz megragadása. Évtizedek óta heves vitákat vált ki az osztálytermekben és előadótermekben.

Történelmileg a Monty Hall-problémát több nagyon hasonló rejtvény előzte meg.

Joseph Bertrand dobozparadoxonjában (1889) három dobozt mutatnak be – az egyikben két aranypénz, a másikban két ezüstpénz, az utolsóban pedig mindegyikből egy-egy. Feltételezve, hogy a résztvevő kihúz egy aranyérmét a dobozból, a feladat ezután azt kérdezi, hogy mi a valószínűsége annak, hogy a dobozban lévő másik érme is arany. Bertrand, aki arra a következtetésre jutott, hogy a valószínűség ⅔, dicséretet kapott azért, mert képes volt a nyilvánvaló dolgok mögé nézni.

A paradoxon egy második ismétlése, a Három fogoly probléma (1959) statisztikailag azonos forgatókönyvet mutat be, ugyanezzel az eredménnyel. ” egy csodálatosan zavarba ejtő kis probléma” – írta később önelégülten megalkotója, a Scientific American rovatvezetője, Martin Gardner. “A matematika egyetlen más ágában sem tévednek olyan könnyen a szakértők, mint a valószínűségelméletben.”

A Monty Hall-probléma, amelyet először 1975-ben a The American Statistician szerkesztőjének írt levélben mutattak be, szintén kontraintuitív volt. Ebben a levélben Steve Selvin, a Kaliforniai Egyetem (Berkeley) professzora a cikk bevezetőjében kifejtette a helyzetet, és azt állította, hogy az ajtócsere ⅔ esélyt ad az autó megnyerésére, míg az eredeti ajtó megtartása csak ⅓ alkalommal eredményez nyereményt.

A következő körülbelül egy évtizedben a Monty Hall probléma többször is megjelent, először a Journal of Economics Perspectives rejtvényében Barry Nalebuff, majd a Bridge Today 1989-es számában Phillip Martin tollából. Egyikük logikáját sem cáfolták meg, és a probléma viszonylag kevés figyelmet keltett.

Akkor, 15 év eseménytelen idő után, a Monty Hall problémát Marilyn vos Savant feltámasztotta — és abszolút szarvihar kerekedett belőle.

Marilyn vos Savant katasztrófája

1990 szeptemberében Marilyn vos Savant egyik rovatát egy olvasói kérdésnek szentelte, amely a Monty Hall-probléma egy variációját mutatta be:

“Tegyük fel, hogy egy vetélkedőben szerepelsz, és három ajtó közül választhatsz. Az egyik ajtó mögött egy autó van, a többi mögött kecskék. Te kiválasztasz egy ajtót, mondjuk az 1-est, és a műsorvezető, aki tudja, mi van az ajtók mögött, kinyit egy másik ajtót, mondjuk a 3-ast, amiben egy kecske van. Azt mondja neked: “Akarod a 2-es ajtót választani?”. Előnyödre válik, ha megcseréled az ajtóválasztásodat?”

“Igen, meg kell cserélned” – válaszolta. “Az első ajtónak 1/3 esélye van a győzelemre, de a második ajtónak 2/3 esélye van.”

Noha a válasza helyes volt, az akadémikusok széles rétegei felháborodással reagáltak. Az elkövetkező hónapokban vos Savant több mint 10 000 levelet kapott – köztük egy párat a Védelmi Információs Központ igazgatóhelyettesétől és a Nemzeti Egészségügyi Intézetek kutató matematikai statisztikusától -, amelyek mind azt állították, hogy teljesen inkompetens volt:

Elszúrtad, és nagyot szúrtál! Mivel úgy tűnik, hogy nehezen érted meg az itt működő alapelvet, elmagyarázom. Miután a házigazda felfedi a kecskét, most már egy a kettőhöz az esélyed, hogy igazad van. Akár megváltoztatod a választásodat, akár nem, az esély ugyanannyi. Van elég matematikai analfabétizmus ebben az országban, és nincs szükségünk arra, hogy a világ legmagasabb IQ-ja még többet szaporítson. Szégyen!
Scott Smith, Ph.D.
University of Florida

Javasolhatom, hogy szerezzen be egy standard valószínűségi tankönyvet, és olvasson benne, mielőtt még egyszer megpróbálna ilyen típusú kérdésre válaszolni?
Charles Reid, Ph.D.
University of Florida

Biztos vagyok benne, hogy sok levelet fog kapni ebben a témában középiskolás és főiskolás diákoktól. Talán meg kellene tartania néhány címet a jövőbeni rovatok segítségére.
W. Robert Smith, Ph.D.
Georgia Állami Egyetem

Ön teljesen téved a game show kérdéssel kapcsolatban, és remélem, hogy ez a vita felhívja a közvélemény figyelmét a matematikaoktatás súlyos nemzeti válságára. Ha beismeri tévedését, akkor konstruktívan hozzájárult egy siralmas helyzet megoldásához. Hány dühös matematikus kell ahhoz, hogy Ön meggondolja magát?
E. Ray Bobo, Ph.D.
Georgetown University

Hibát követett el, de nézze a pozitív oldalát. Ha az összes Ph.D. tévedne, az ország nagyon komoly bajban lenne.
Everett Harman, Ph.D.
U.S. Army Research Institute

Te vagy a kecske!
Glenn Calkins
Western State College

Talán a nők másképp nézik a matematikai problémákat, mint a férfiak.
Don Edwards
Sunriver, Oregon

A felháborodás olyan hatalmas volt, hogy vos Savant kénytelen volt három további rovatot szentelni annak, hogy elmagyarázza, miért volt helyes a logikája. Még a jól megfogalmazott, világos válaszai nyomán is folytatták a szidalmazást. “Még mindig úgy gondolom, hogy tévedsz” – írta egy férfi majdnem egy évvel később. “Létezik olyan, hogy női logika.”

Mégis a vos Savant következtetése mögött álló számok nem hazudnak.

A Monty Hall-probléma megcáfolása

Mivel két ajtó (az egyikben egy autó, a másikban egy kecske) marad, miután a házigazda kinyitja a 3-as ajtót, a legtöbben azt feltételezik, hogy az autó kiválasztásának valószínűsége ½. Ez nem így van.

“Az első választás 1/3-os nyerési esélye nem nőhet 1/2-re csak azért, mert a házigazda kinyit egy vesztes ajtót” – írja vos Savant. Valóban, ha feltérképezünk hat játékot, amelyben az összes lehetséges kimenetelt vizsgáljuk, világossá válik, hogy az ajtóváltás az esetek kétharmadában (66,6%) nyerést eredményez, és az eredeti ajtó megtartása csak az esetek egyharmadában (33,3%) eredményez győzelmet:

A másik módja a szemléletnek, ha minden ajtóváltási lehetőséget lebontunk. Amint azt az alábbiakban felvázoltuk, a 9 lehetséges forgatókönyvből 6 (kétharmad) az autó megnyerését eredményezi:

Ezek az eredmények látszólag ellentmondanak az intuitív statisztikai impulzusainknak — tehát miért növeli az ajtócsere a nyerési esélyeinket?

A rövid válasz az, hogy az 1-es ajtóval való nyerésünk kezdeti esélye (⅓) nem változik pusztán azért, mert a házigazda felfed egy kecskét a 3-as ajtó mögött; ehelyett Hall akciója ⅔-ra növeli annak esélyét, hogy a váltással nyerünk.

Itt egy másik mód, hogy ezt szemléltessük. Képzeld el, hogy három ajtó helyett Monty Hall 100 ajtót mutat neked; ezek közül 99 mögött kecskék vannak, egy mögött pedig az autó. Ön kiválasztja az 1-es ajtót, és a kezdeti esélye, hogy megnyeri az autót, most 1/100:

Ezután tegyük fel, hogy Monty Hall kinyitja a többi ajtó közül 98-at, és mindegyik mögött egy-egy kecske látható. Most két választásod van: megtartod az 1-es ajtót, vagy átváltasz a 100-as ajtóra:

Ha az 1-es ajtót választod, 99/100 az esélye, hogy az autó a többi ajtó egyike mögött van. Az a tény, hogy Monty Hall 98 kecskét fed fel, nem változtatja meg ezeket a kezdeti esélyeket — csupán “eltolja” ezt a 99/100 esélyt a #100-as ajtóra. Vagy maradsz az eredeti 1/100-as esélyű választásodnál, vagy átváltasz a 100-as ajtóra, ahol sokkal nagyobb a valószínűsége, hogy megnyered az autót.

Mégis, bár a matematika és a számok alátámasztják vos Savant állítását — hogy a nyerési esély ⅔-ra nő, ha átváltasz az ajtóra –, figyelembe kell venned más tényezőket is, amelyekre nem tér ki a válaszában.

A racionalizálás pszichológiája

Monty Hall, a “Let’s Make a Deal”

1992-ben, miközben vos Savant válasza körül vita alakult ki, Monty Hall – a játékműsor házigazdája és a probléma névadója – interjút adott a New York Timesnak.

Hall tisztázta, hogy a dolgok egy kicsit másképp működtek, mint a Parade olvasója által vos Savant rovatában bemutatott forgatókönyv. A valódi műsorban például megtartotta a hatalmat, hogy készpénzt ajánljon a versenyzőnek, ha NEM vált. Az ilyen részletek, mondta, megváltoztatták a versenyző gondolkodásmódját:

“, azt gondolták, hogy az esélyük az ajtóra most már 1:2-re nőtt, ezért utálták feladni az ajtót, akármennyi pénzt is ajánlottam… Minél magasabbra kerültem, annál inkább úgy gondolták, hogy az autó mögött . Ott akartam átverni a váltást. Ilyet akkor tudok csinálni, ha én irányítom a játékot. Azt gondolhatod, hogy a valószínűség melletted szól, ha követed a választ az oszlopában, de ott van a pszichológiai tényező, amit figyelembe kell venned.”

A Hall által említett “pszichológiai tényező” átragad a műsor szabályaiból a probléma e cikkben bemutatott variációjára. A Monty Hall-probléma a versenyzők és a problémamegoldók számára egyaránt kognitív disszonanciát okoz, egy olyan kifejezés, amelyet a pszichológusok arra a “mentális stresszre használnak, amelyet egy olyan egyén tapasztal, aki egyszerre két vagy több egymásnak ellentmondó hiedelemmel, elképzeléssel vagy értékkel rendelkezik, vagy olyan új információval szembesül, amely ellentmond a meglévő hiedelmeknek, elképzeléseknek vagy értékeknek”.

Amikor az emberek olyan bizonyítékokkal szembesülnek, amelyek “ellentmondanak a meggyőződésüknek” (pl. az ajtóváltás nyerési esélye ⅔, ahelyett, hogy ½ lenne), először az információ cáfolatával reagálnak, majd összefognak a hasonló gondolkodású ellenzőkkel, és saját, keményen megalapozott véleményük mellett szállnak síkra. Pontosan ez a mentalitása vos Savant több ezer ellenzőjének.

***

Több mint 25 évvel később a Monty Hall-probléma szemantikájával és vos Savant válaszával kapcsolatos viták még mindig tartanak — főként a házigazda cselekedeteinek bonyolultsága körül forognak.

“Az agyunk egyszerűen nem arra van huzalozva, hogy valószínűségi problémákat nagyon jól megoldjon, ezért nem vagyok meglepve, hogy voltak hibák” – mondta évekkel ezelőtt egy riporternek Persi Diaconis, a Stanford statisztika professzora. ” a szigorú érv az lenne, hogy a kérdést nem lehet megválaszolni a gazda motivációjának ismerete nélkül.”

Végül azonban sokan azok közül, akik beírtak, hogy kijavítsák vos Savant matematikáját, visszakoztak, és elismerték, hogy tévedtek.

A vos Savant által a probléma jobb megértése érdekében javasolt gyakorlatot hamarosan országszerte több ezer osztályterembe integrálták. Számítógépes modelleket építettek, amelyek alátámasztották a logikáját, és fokozatosan helyreállt az intellektusának támogatottsága. Míg korábban csak az olvasók 8%-a hitte el, hogy logikája igaz, ez a szám 1992 végére 56%-ra emelkedett, írja vos Savant; a tudósok körében a kezdeti 35%-os támogatás 71%-ra nőtt.

Az új hívők között volt Robert Sachs, a George Mason Egyetem matematika professzora, aki eredetileg csúnya levelet írt vos Savantnak, amelyben közölte vele, hogy “elszúrta”, és felajánlotta, hogy segít “megmagyarázni”. Miután rájött, hogy valójában tévedett, kénytelen volt újabb levelet küldeni neki – ezúttal megbánva önigazultságát.

“Miután kivettem a lábamat a számból, most alázatos pitét eszem” – írta. “Bűnbánatként megfogadtam, hogy válaszolok mindazoknak, akik írtak, hogy szidalmazzanak. Ez egy intenzív szakmai szégyen volt.”

Priceonomics két könyvet írt. Az egyik a szkeptikusoknak, a másik az optimistáknak szól. Válasszon kalandot → Minden baromság vagy Hipszter üzleti modellek.

Hogy alkalmanként értesítést kapjon, ha blogbejegyzéseket írunk, kérjük, iratkozzon fel az e-mail listánkra. Ez a bejegyzés eredetileg 2015. február 19-én jelent meg.

2016. aug. 2.