Legge sul decadimento radioattivo

Quando un singolo nucleo si trasforma in un altro con l’emissione di radiazione, si dice che il nucleo decade. Il decadimento radioattivo avviene per tutti i nuclei con \(Z > 82\), e anche per alcuni isotopi instabili con \(Z < 83\). Il tasso di decadimento è proporzionale al numero di nuclei originali (non decaduti) N in una sostanza. Il numero di nuclei persi per decadimento, \(-dN\) nell’intervallo di tempo dt, si scrive

\

dove \(\lambda\) è chiamato la costante di decadimento. (Il segno meno indica che il numero di nuclei originali diminuisce nel tempo). In altre parole, più nuclei sono disponibili per decadere, più ne decadono (nel tempo dt). L’equazione \ref{eq2} può essere riscritta come

Integrando entrambi i lati dell’equazione, e definendo \(N_0\) come il numero di nuclei a \(t = 0\), otteniamo

Questo ci dà

Prendendo i lati sinistro e destro dell’equazione \ref{eq4} come potenza di \(e\), abbiamo la legge del decadimento radioattivo.

Il numero totale di nuclei scende molto rapidamente all’inizio, e poi più lentamente (Figura \PageIndex{2}}).

L’emivita \((T_{1/2})\) di una sostanza radioattiva è definita come il tempo in cui la metà dei nuclei originali decade (o il tempo in cui rimane la metà dei nuclei originali). Le emivite degli isotopi instabili sono mostrate nel grafico dei nuclidi. Il numero di nuclei radioattivi che rimangono dopo un numero intero (n) di emivite è quindi

Se la costante di decadimento \((\lambda)\) è grande, l’emivita è piccola, e viceversa. Per determinare la relazione tra queste quantità, si noti che quando \(t = T_{1/2}\), allora \(N = N_0/2\).

Quindi, l’equazione \ref{eq5} può essere riscritta come

Dividendo entrambi i lati per \(N_0\) e prendendo il logaritmo naturale si ottiene

che si riduce a

Quindi, se conosciamo il tempo di dimezzamento T1/2 di una sostanza radioattiva, possiamo trovare la sua costante di decadimento. La vita \(\overline{T}) di una sostanza radioattiva è definita come la quantità media di tempo che un nucleo esiste prima di decadere. La vita di una sostanza è solo il reciproco della costante di decadimento, scritta come

L’attività A è definita come la grandezza del tasso di decadimento, o

Il cambiamento infinitesimale dN nell’intervallo di tempo dt è negativo perché il numero di particelle madri (non decadute) sta diminuendo, quindi l’attività (A) è positiva. Definendo l’attività iniziale come \(A_0 = \lambda N_0\), abbiamo

Quindi, l’attività A di una sostanza radioattiva diminuisce esponenzialmente con il tempo (Figura \PageIndex{3}\).

Esprimendo \(\lambda\) in termini di emivita della sostanza, si ottiene

Quindi, l’attività si dimezza dopo un’emivita. Possiamo determinare la costante di decadimento \(\lambda\) misurando l’attività in funzione del tempo. Prendendo il logaritmo naturale dei lati sinistro e destro dell’equazione \ref{eq11}, otteniamo

Questa equazione segue la forma lineare \(y = mx + b\). Se tracciamo \ln A contro t, ci aspettiamo una linea retta con pendenza \(-lambda\) e intercetta y \(\ln \, A_0\) (Figura \PageIndex{3b}). L’attività A è espressa in unità di becquerel (Bq), dove un \(1 \, Bq = 1 \, decadimento \, per \, secondo\). Questa quantità può anche essere espressa in decadimenti al minuto o decadimenti all’anno. Una delle unità più comuni per l’attività è il curie (Ci), definito come l’attività di 1 g di \(^{226}Ra\). La relazione tra il Bq e il Ci è