Iniziamo lo studio delle equazioni differenziali parziali con il problema del flusso di calore in una barra uniforme di lunghezza \(L\), situata sull’asse \(x\) con un’estremità nell’origine e l’altra in \(x = L\) (figura \(\PageIndex{1}).

Assumiamo che la barra sia perfettamente isolata, tranne eventualmente ai suoi estremi, e che la temperatura sia costante su ogni sezione e quindi dipenda solo da \(x\) e \(t\). Assumiamo anche che le proprietà termiche della barra siano indipendenti da \(x\) e \(t\). In questo caso, si può dimostrare che la temperatura \(u = u(x, t)\) al tempo \(t\) in un punto \(x\) unità dall’origine soddisfa l’equazione differenziale parziale

dove \(a\) è una costante positiva determinata dalle proprietà termiche. Questa è l’equazione del calore.

Per determinare \(u), dobbiamo specificare la temperatura in ogni punto della barra quando \(t=0\), diciamo

\

Chiamiamo questa la condizione iniziale. Dobbiamo anche specificare le condizioni limite che \(u\) deve soddisfare alle estremità della barra per tutti i \(t>0\). Chiameremo questo problema un problema di valore iniziale-limite.

Iniziamo con le condizioni limite \(u(0,t)=u(L,t)=0\), e scriviamo il problema di valore iniziale-limite come

\

Il nostro metodo per risolvere questo problema è chiamato separazione delle variabili (da non confondere con il metodo di separazione delle variabili usato nella Sezione 2.2 per risolvere le equazioni differenziali ordinarie). Cominciamo a cercare funzioni della forma

\

che non siano identicamente zero e che soddisfino

\

per tutti i \((x,t)\). Siccome

\

(v_t=a^2v_{xx}\) se e solo se

\

che riscriviamo come

\

Siccome l’espressione a sinistra è indipendente da \(x\) mentre quella a destra è indipendente da \(t\), questa equazione può valere per tutti i \((x,t)\) solo se i due lati sono uguali alla stessa costante, che chiamiamo costante di separazione, e la scriviamo come \(-lambda\); Quindi,

Questo è equivalente a

e

Siccome \(v(0,t)=X(0)T(t)=0\) e \(v(L,t)=X(L)T(t)=0\) e non vogliamo che \(T\) sia identicamente zero, \(X(0)=0\) e \(X(L)=0\). Quindi \(\lambda\) deve essere un autovalore del problema dei valori limite

e \(X\) deve essere una funzione propria di \(\lambda\). Dal Teorema 11.1.2, gli autovalori dell’equazione \ref{eq:12.1.3} sono \(\lambda_n=n^2\pi^2/L^2\), con associate autofunzioni

\

Sostituendo \(\lambda=n^2\pi^2/L^2\) nell’equazione \ref:12.1.2} si ottiene

che ha la soluzione

Ora sia

Siccome

\(v_n\) soddisfa l’equazione \ref{eq:12.1.1} con \(f(x)=sin n\pi x/L\). Più in generale, se \(\alfa_1,\punti,\alfa_m\) sono costanti e

\

allora \(u_m\) soddisfa l’equazione \ref{eq:12.1.1} con

\

Questo motiva la prossima definizione.

Usiamo il termine “soluzione formale” in questa definizione perché non è in generale vero che la serie infinita dell’equazione \ref{eq:12.1.5} soddisfi effettivamente tutti i requisiti del problema del valore limite iniziale dell’equazione \ref{eq:12.1.4} quando lo fa, diciamo che è una soluzione effettiva dell’equazione \ref{eq:12.1.4}.

A causa degli esponenziali negativi nell’equazione \ref{eq:12.1.5}, \(u\) converge per tutti \((x,t)\) con \(t>0\) (Esercizio 12.1.54). Poiché ogni termine dell’equazione \ref{eq:12.1.5} soddisfa l’equazione del calore e le condizioni al contorno dell’equazione \ref{eq:12.1.4}, \(u) ha anche queste proprietà se \(u_t\) e \(u_xx}) possono essere ottenuti differenziando la serie dell’equazione \ref{eq:12.1.5} termine per termine una volta rispetto a \(t\) e due volte rispetto a \(x\), per \(t>0\). Tuttavia, non è sempre legittimo differenziare una serie infinita termine per termine. Il prossimo teorema fornisce un’utile condizione sufficiente per la legittimità della differenziazione termine per termine di una serie infinita. Omettiamo la dimostrazione.

Il teorema \PageIndex{2}, applicato due volte con \(z=x) e una volta con \(z=t), mostra che \(u_xx}) e \(u_t) possono essere ottenuti differenziando \(u\) termine per termine se \(t>0\) (Esercizio 12.1.54). Quindi \(u\) soddisfa l’equazione del calore e le condizioni al contorno dell’equazione \ref{eq:12.1.4} per \(t>0\). Quindi, poiché \(u(x,0)=S(x)\) per \(0\le x\le L\), \(u\) è una soluzione effettiva dell’equazione \ref{eq:12.1.4} se e solo se \(S(x)=f(x)\) per \(0\le x\le L\). Dal Teorema 11.3.2, questo è vero se \(f\) è continuo e uniforme su \(\), e \(f(0)=f(L)=0\).

In questo capitolo definiremo soluzioni formali di diversi tipi di problemi. Quando vi chiediamo di risolvere tali problemi, intendiamo sempre che dovete trovare una soluzione formale.

Se entrambe le estremità della barra sono isolate in modo che il calore non possa passarvi attraverso, allora le condizioni al contorno sono

Lasciamo a voi (Esercizio 12.1.1) di usare il metodo della separazione delle variabili e il teorema 11.1.3 per motivare la prossima definizione.

Lasciamo a voi (Esercizio 12.1.2) di usare il metodo della separazione delle variabili e il teorema 11.1.4 per motivare la prossima definizione.

Lasciamo a voi (Esercizio 12.1.3) di usare il metodo della separazione delle variabili e il Teorema 11.1.5 per motivare la prossima definizione.