La matematica usa regole inventate per creare modelli e relazioni. Quando imparo, chiedo:

• Quale relazione rappresenta questo modello?
• Quali elementi del mondo reale condividono questa relazione?
• Questa relazione ha senso per me?

Sono domande semplici, ma mi aiutano a capire nuovi argomenti. Se vi sono piaciuti i miei post sulla matematica, questo articolo copre il mio approccio a questa materia spesso denigrata. Molte persone hanno lasciato commenti profondi sulle loro lotte con la matematica e le risorse che li hanno aiutati.

Educazione matematica

I libri di testo raramente si concentrano sulla comprensione; si tratta soprattutto di risolvere problemi con formule “plug and chug”. Mi rattrista che le belle idee ricevano un trattamento così rozzo:

• Il teorema di Pitagora non riguarda solo i triangoli. Riguarda la relazione tra forme simili, la distanza tra qualsiasi serie di numeri, e molto di più.
• e non è solo un numero. Riguarda le relazioni fondamentali tra tutti i tassi di crescita.
• Il log naturale non è solo una funzione inversa. Riguarda la quantità di tempo di cui le cose hanno bisogno per crescere.

Le intuizioni eleganti, “a ha!” dovrebbero essere il nostro obiettivo, ma lasciamo che gli studenti ci si imbattano casualmente da soli. Ho avuto un momento “a ha” dopo una sessione di studio infernale al college; da allora, ho voluto trovare e condividere queste epifanie per risparmiare agli altri lo stesso dolore.

Ma funziona in entrambi i sensi – voglio che anche voi condividiate le intuizioni con me. C’è più comprensione, meno dolore, e tutti vincono.

La matematica si evolve nel tempo

Considero la matematica come un modo di pensare, ed è importante vedere come questo pensiero si è sviluppato piuttosto che mostrare solo il risultato. Proviamo un esempio.

Immagina di essere un uomo delle caverne che fa matematica. Uno dei primi problemi sarà come contare le cose. Diversi sistemi si sono sviluppati nel tempo:

Nessun sistema è giusto, e ognuno ha dei vantaggi:

• Sistema unario: Disegna linee nella sabbia — più semplice di così non si può. Ottimo per tenere il punteggio nei giochi; si può aggiungere a un numero senza cancellare e riscrivere.
• Numeri romani: Unario più avanzato, con scorciatoie per grandi numeri.
• Decimali: Enorme realizzazione che i numeri possono usare un sistema “posizionale” con luogo e zero.
• Binario: Sistema posizionale più semplice (due cifre, on vs off) quindi è ottimo per i dispositivi meccanici.
• Notazione scientifica: Estremamente compatta, può facilmente valutare la dimensione e la precisione di un numero (1E3 vs 1.000E3).

Pensi che abbiamo finito? Assolutamente no. Tra 1000 anni avremo un sistema che farà sembrare i numeri decimali pittoreschi come i numeri romani (“Per Dio, come hanno fatto con strumenti così goffi?”).

I numeri negativi non sono così reali

Pensiamo ancora un po’ ai numeri. L’esempio qui sopra mostra che il nostro sistema numerico è uno dei tanti modi per risolvere il problema del “contare”.

I romani considererebbero strano lo zero e le frazioni, ma non significa che il “nulla” e la “parte all’intero” non siano concetti utili. Ma guarda come ogni sistema ha incorporato nuove idee.

Le frazioni (1/3), i decimali (.234) e i numeri complessi (3 + 4i) sono modi per esprimere nuove relazioni. Possono non avere senso in questo momento, proprio come lo zero non aveva “senso” per i romani. Abbiamo bisogno di nuove relazioni nel mondo reale (come il debito) perché scattino.

Anche allora, i numeri negativi potrebbero non esistere nel modo in cui pensiamo, come tu mi convinci qui:

Tu: I numeri negativi sono una grande idea, ma non esistono intrinsecamente. È un’etichetta che applichiamo a un concetto.

Io: Certo che esistono.

Tu: Ok, mostrami -3 mucche.

Me: Beh, um… supponiamo che tu sia un contadino, e che tu abbia perso 3 mucche.

Tu: Ok, hai zero mucche.

Me: No, voglio dire, hai dato 3 mucche ad un amico.

Tu: Ok, lui ha 3 mucche e tu ne hai zero.

Me: No, voglio dire, un giorno te le restituirà. Lui è in debito con te.

Tu: Ah. Quindi il numero effettivo che ho (-3 o 0) dipende dal fatto che io pensi che lui mi ripagherà. Non avevo capito che la mia opinione cambiava il funzionamento del conteggio. Nel mio mondo, ho avuto zero per tutto il tempo.

Me: Sigh. Non è così. Quando ti restituisce le mucche, passi da -3 a 3.

Tu: Ok, quindi lui restituisce 3 mucche e noi saltiamo 6, da -3 a 3? Qualche altra nuova aritmetica di cui dovrei essere a conoscenza? Che aspetto ha la sqrt(-17) delle mucche?

Me: Vattene.

I numeri negativi possono esprimere una relazione:

• I numeri positivi rappresentano un surplus di mucche
• Lo zero non rappresenta nessuna mucca
• I numeri negativi rappresentano un deficit di mucche che si presume venga ripagato

Ma il numero negativo “non è realmente lì” — c’è solo la relazione che rappresenta (un surplus/deficit di mucche). Abbiamo creato un modello di “numero negativo” per aiutare la contabilità, anche se non si possono tenere in mano -3 mucche. (Ho volutamente usato un’interpretazione diversa di ciò che significa “negativo”: è un sistema di conteggio diverso, proprio come i numeri romani e i decimali sono sistemi di conteggio diversi.)

A proposito, i numeri negativi non erano accettati da molte persone, compresi i matematici occidentali, fino al 1700. L’idea di un negativo era considerata “assurda”. I numeri negativi sembrano strani a meno che non si possa vedere come rappresentano relazioni complesse del mondo reale, come il debito.

Perché tutta questa filosofia?

Ho capito che il mio **mindset è la chiave per imparare. **Mi ha aiutato ad arrivare a intuizioni profonde, in particolare:

• La conoscenza dei fatti non è comprensione. Sapere che “i martelli piantano i chiodi” non è la stessa cosa dell’intuizione che qualsiasi oggetto duro (una roccia, una chiave inglese) può piantare un chiodo.
• Tieni la mente aperta. Sviluppa la tua intuizione permettendoti di essere ancora un principiante.

Un professore universitario andò a visitare un famoso maestro Zen. Mentre il maestro serviva tranquillamente il tè, il professore parlò dello Zen. Il maestro versò la tazza del visitatore fino all’orlo, e poi continuò a versare. Il professore guardò la tazza che traboccava finché non riuscì più a trattenersi. “È troppo piena! Non ne entrerà più!” sbottò il professore. “Tu sei come questa tazza”, rispose il maestro, “Come posso mostrarti lo zen se prima non svuoti la tua tazza”

• Sii creativo. Cercate relazioni strane. Usate diagrammi. Usa l’umorismo. Usa le analogie. Usa la mnemotecnica. Usa qualsiasi cosa che renda le idee più vivide. Le analogie non sono perfette ma aiutano quando si lotta con l’idea generale.
• Renditi conto che puoi imparare. Ci aspettiamo che i ragazzi imparino l’algebra, la trigonometria e il calcolo che stupirebbero gli antichi greci. E dovremmo: siamo capaci di imparare così tanto, se spiegato correttamente. Non fermatevi finché non ha senso, o quella lacuna matematica vi perseguiterà. La durezza mentale è fondamentale – spesso ci arrendiamo troppo facilmente.

Allora qual è il punto?

Voglio condividere ciò che ho scoperto, sperando che ti aiuti a imparare la matematica:

• La matematica crea modelli che hanno certe relazioni
• Cerchiamo di trovare fenomeni del mondo reale che abbiano la stessa relazione
• I nostri modelli sono sempre in miglioramento. Può arrivare un nuovo modello che spiega meglio quella relazione (dai numeri romani al sistema decimale).

Certo, alcuni modelli sembrano non avere utilità: “A cosa servono i numeri immaginari?”, chiedono molti studenti. È una domanda valida, con una risposta intuitiva.

L’uso dei numeri immaginari è limitato dalla nostra immaginazione e comprensione — proprio come i numeri negativi sono “inutili” a meno che non si abbia l’idea del debito, i numeri immaginari possono confondere perché non capiamo veramente la relazione che rappresentano.

La matematica fornisce modelli; capisci le loro relazioni e applicale agli oggetti del mondo reale.

Sviluppare l’intuizione rende l’apprendimento divertente — anche la contabilità non è male quando si capiscono i problemi che risolve. Voglio coprire i numeri complessi, il calcolo e altri argomenti sfuggenti concentrandomi sulle relazioni, non sulle prove e sulla meccanica.

Ma questa è la mia esperienza — come si impara meglio? Alcuni amici hanno scritto la loro esperienza:

• Ed Latimore: A Boxer Teaches You How To Get Better At Math
• Scott Young: How to Teach Yourself Math

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