La matematica è un gioco di numeri e i numeri sono ovunque. E la regola del gioco sono le proprietà e le regole associate ai numeri. Le proprietà ti aiutano a calcolare le risposte nella tua testa velocemente e facilmente. Le proprietà non sono altro che regole speciali che i numeri seguono. Ci sono tre proprietà di base dei numeri a cui ogni sistema matematico obbedisce: Proprietà commutativa, associativa e distributiva. Queste proprietà sono caratteristiche delle quattro operazioni (aggiungere, sottrarre, moltiplicare e dividere) che si applicano sempre, indipendentemente dal numero con cui si lavora. Ma discuteremo solo le proprietà commutative e associative nell’articolo seguente.

Le proprietà commutative e associative sono regole applicate alle operazioni di addizione e moltiplicazione. Queste proprietà sono leggi usate in algebra per aiutare a risolvere i problemi. La proprietà commutativa deriva dal termine “commutare” che significa spostarsi e si riferisce alla possibilità di scambiare i numeri che si stanno aggiungendo o moltiplicando. La proprietà associativa deriva dalla parola “associare” o “raggruppare” e si riferisce al raggruppamento di tre o più numeri usando le parentesi, indipendentemente da come li si raggruppa. Il risultato rimane lo stesso, non importa come si raggruppano i numeri. Diamo un’occhiata alle due proprietà per capire meglio come funzionano.

Cosa è Commutativo?

Per esempio; sappiamo che sommando 2 e 5 si ottiene la stessa risposta che sommando 5 e 2. L’ordine dei numeri in un problema di addizione può essere cambiato senza cambiare il risultato. Questa cosa dei numeri e dell’addizione si chiama proprietà commutativa dell’addizione. Quindi, possiamo dire che l’addizione è un’operazione commutativa. Allo stesso modo, la moltiplicazione è un’operazione commutativa.

Proprietà commutativa dell’addizione:

a + b = b + a

3 + 4 = 7 è uguale a 4 + 3 = 7

Il risultato sarà lo stesso indipendentemente dall’ordine dei numeri.

Proprietà commutativa della moltiplicazione:

a × b = b × a

3 × 7 = 21 è uguale a 7 × 3 = 21

Parimenti, il risultato sarà lo stesso indipendentemente dall’ordine dei numeri.

Cos’è l’associativo?

L’associativo è un’altra proprietà che usiamo per raggruppare. Per esempio, quando aggiungiamo 2 + 3 + 5, possiamo aggiungere prima 2 e 3 e poi 5, oppure possiamo aggiungere prima 3 e 5 e poi il 2. Matematicamente, sembra così: 2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = (2 +3) + 5. Le operazioni che si comportano in questo modo sono chiamate operazioni associative. Il risultato rimane lo stesso anche se cambiamo il raggruppamento dei numeri.

Proprietà associativa dell’addizione:

a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c

1 + (2 +3) = (1 +2) + 3 = 6

Il risultato rimane lo stesso, non importa come raggruppi i numeri.

Proprietà associativa della moltiplicazione:

a × (b × c) = (a × b) × c

2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24

(2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24

Quindi, il raggruppamento nei numeri non cambia il risultato.

Differenza tra Commutativa e Associativa

Significato

– La proprietà commutativa deriva dal termine “commutare” che significa ‘muoversi’ e si riferisce all’essere in grado di cambiare i numeri che stai aggiungendo o moltiplicando indipendentemente dall’ordine dei numeri. La proprietà associativa, invece, deriva dalla parola “associare” o “raggruppare” e si riferisce al raggruppamento di tre o più numeri usando le parentesi, indipendentemente da come li raggruppi. Il risultato sarà lo stesso, non importa come si raggruppano i numeri o le variabili.

Regola

– La regola commutativa dell’addizione afferma, a + b = b + a, che significa che aggiungendo a e b si ottiene lo stesso risultato che aggiungendo b e a. Gli ordini possono essere cambiati senza cambiare il risultato. Questa regola dell’addizione è chiamata proprietà commutativa dell’addizione. Allo stesso modo, la moltiplicazione è un’operazione commutativa che significa che a × b darà lo stesso risultato di b × a. La proprietà associativa, invece, è la regola che si riferisce al raggruppamento dei numeri. La regola associativa dell’addizione afferma che a + (b + c) è uguale a (a + b) + c. Allo stesso modo, la regola associativa della moltiplicazione dice che a × (b × c) è uguale a (a × b) × c.

Esempio

– La proprietà commutativa dell’addizione: 1 + 2 = 2 +1 = 3

La proprietà commutativa della moltiplicazione: 2 × 3 = 3 × 2 = 6

La proprietà associativa dell’addizione: 5 + (3 + 7) = (5 + 3) + 7 = 15

La proprietà associativa della moltiplicazione: 5 × (2 × 4) = (5 × 2) × 4 = 40

Commutativa vs. Associativa: Tabella di confronto

Sommario

In poche parole, la proprietà commutativa non va confusa con la proprietà associativa. La proprietà commutativa afferma che va bene cambiare l’ordine dei numeri nelle operazioni di addizione e moltiplicazione perché il risultato sarà lo stesso, indipendentemente dall’ordine. La proprietà associativa, d’altra parte, afferma che il risultato sarà lo stesso, non importa come si raggruppano i numeri o le variabili nelle operazioni di addizione/moltiplicazione.