Abbiamo già un posto pronto che ci aspetta per fare il grafico, quindi approfittiamone. Inizieremo graficando la coppia ordinata (2, 3). Per farlo, partiamo dall’origine, andiamo 2 a destra, 3 in alto, poi disegniamo un punto dove siamo arrivati. È quasi come se stessimo seguendo una mappa del tesoro. Prima viaggiamo a sinistra o a destra lungo l’asse delle x per trovare dove “x” segna il punto, poi viaggiamo su o giù lungo l’asse delle y quando vogliamo sapere “perché” il tesoro non era nel forziere dove doveva essere. Poi rintracciamo il saggio che ci ha dato questa mappa fasulla.

Il primo numero di una coppia ordinata ci dice quanto andare a sinistra o a destra sull’asse delle x (linea dei numeri orizzontale), e il secondo numero della coppia ordinata ci dice quanto andare in alto o in basso sull’asse delle y (linea dei numeri verticale). Poiché x viene prima di y nell’alfabeto, x va con il primo numero e y va con il secondo numero.

Questi numeri sono chiamati coordinate. Si “coordinano” tra loro per arrivare ad un certo punto del grafico. Il primo numero di una coppia ordinata è la coordinata x e il secondo numero è la coordinata y. Il punto che disegniamo per rappresentare la coppia ordinata si chiama punto. Puoi guardare un punto, ma non indicarlo. È scortese.

Quando tracciamo il grafico di un punto viaggiando lungo l’asse x e poi l’asse y, è quasi come se viaggiassimo lungo due lati di un rettangolo immaginario. Non dovrebbe sorprendere, quindi, che stiamo usando qualcosa chiamato sistema di coordinate rettangolari, noto anche come sistema di coordinate cartesiane. Si può vedere più spesso riferirsi a questo come “Sistema di Coordinate Cartesiane”, il che è un peccato, dato che non c’è nessuna forma chiamata cartesle. Tuttavia, possiamo semplicemente fingere che ce ne sia una, e che assomigli esattamente ad un rettangolo.

Problema di esempio

Grafica la coppia ordinata (5, -2).

La coordinata x è 5 e la coordinata y è -2, il che significa che partiamo dall’origine, contiamo 5 a destra sull’asse x e poi contiamo 2 in basso sull’asse y. Questa volta abbiamo una coordinata y negativa, quindi il nostro yo-yo sarà diretto verso il basso.

Tecnicamente, un punto è ciò che otteniamo quando tracciamo un grafico di una coppia ordinata. In pratica, la frase “coppia ordinata” e la parola “punto” sono usate in modo intercambiabile. Puoi provare a inserirlo nella conversazione quotidiana. “Hm… hai una buona coppia ordinata lì”, oppure “Potresti ordinarmi una coppia ordinata in direzione dell’ufficio postale?

Ok, quindi forse non funziona così bene in inglese.

Possiamo parlare del “punto” (3, 4), che ha coordinate 3 e 4. Ci può essere chiesto di tracciare il grafico di un punto, invece di una coppia ordinata. Non puoi sbagliare se ricordi che sono la stessa cosa.

Oltre a usare le coordinate per tracciare il grafico di un punto, possiamo anche andare all’indietro; cioè, possiamo guardare un punto su un grafico e capire le sue coordinate. È come partire da un tesoro e poi cercare la mappa del tesoro. Non siamo sicuri che chi sano di mente farebbe le cose in quest’ordine, ma ecco qui. Per tranquillizzarci, assumeremo per il momento che questo processo ha più valore quando si tratta di funzioni che quando si tratta di dobloni d’oro.

Problema d’esempio

Quali sono le coordinate del punto rappresentato sul grafico qui sotto?

Per arrivare a questo punto dall’origine dobbiamo andare 1 a destra (lungo l’asse x) e 2 in alto (lungo l’asse y). Pertanto, le coordinate del punto sono (1, 2). Almeno non è un lungo viaggio dall’origine e non ci sono scali. Sarebbe una sofferenza se dovessimo fermarci a (1, 1) per un paio d’ore in attesa di una coordinata di collegamento.

Finora, tutti i punti che abbiamo graficato hanno avuto coordinate intere. Questi punti sono facili da tracciare, ma in problemi più avanzati avremo bisogno di tracciare anche punti con coordinate non intere. Il lato negativo è che le cose diventeranno un po’ più complicate. Il lato positivo è che ora che non dobbiamo attenerci a una griglia, saremo in grado di tracciare alcuni grafici più interessanti.

Come per la linea dei numeri, possiamo disegnare punti con coordinate non intere approssimativamente nel posto giusto, e poi etichettare i punti così che gli altri sappiano esattamente dove sono. Speriamo che nessuno tiri fuori un righello solo per dimostrare che il tuo punto è fuori di mezzo millimetro. Se lo fanno, hanno troppo tempo a disposizione.