Eventi mutuamente e non mutuamente esclusivi
Nell’esercizio precedente, hai imparato che puoi capire le probabilità difficili facendo una simulazione e usando la legge dei grandi numeri. Le probabilità teoriche possono essere calcolate usando molte strategie diverse a seconda della situazione.
Gli eventi che si escludono a vicenda sono eventi che non possono accadere allo stesso tempo. Gli esempi includono: giri a destra e a sinistra, numeri pari e dispari su un dado, vincere e perdere una partita, o correre e camminare.
Gli eventi che non si escludono a vicenda sono eventi che possono accadere allo stesso tempo. Gli esempi includono: guidare e ascoltare la radio, numeri pari e numeri primi su un dado, perdere una partita e segnare, o correre e sudare.
Gli eventi che non si escludono a vicenda possono rendere il calcolo della probabilità più complesso.
Riflessione della Fiera dei Giochi
Gioca di nuovo al gioco del lancio della carta singola nella Fiera dei Giochi.
Applicando la definizione di eventi mutuamente esclusivi, i diversi risultati dei punti nel gioco sono mutuamente esclusivi o non mutuamente esclusivi?
Prenditi un po’ di tempo per scrivere qualche pensiero su come calcolare le probabilità.
GamesFair
Descrizione lunga
Il problema di comprendere la probabilità solo come eventi mutuamente esclusivi è che stai semplificando questi eventi in un modo che non è pensato per essere semplificato. È quasi tragico come dire che le persone non possono fare del bene e fare soldi, o essere bravi in matematica e molto creativi. Il seguente video dimostra l’importanza di riconoscere gli eventi come non mutualmente esclusivi.
Diagrammi di Venn
Questo è un diagramma di Venn che mostra tutte le carte di un mazzo standard di 52 carte. A è l’insieme delle carte non-faccia.
I diagrammi di Venn sono un modo per visualizzare gli eventi e possono essere usati per visualizzare situazioni semplici quando si verifica un solo evento.
Possono anche essere usati per visualizzare eventi multipli.
Sono particolarmente utili quando si visualizzano eventi non mutualmente esclusivi.
In questa attività li userete per visualizzare 2 o 3 eventi alla volta per analizzare la relazione tra gli eventi.
L’intersezione di insiemi
Considerate il diagramma di Venn per la domanda sui 50 pazienti di Minds On.
Utilizziamo la notazione 
come “Intersezione” dei due insiemi, un elemento in A e B.
In questo esempio, 
rappresenta la sovrapposizione dei sintomi, o i pazienti che hanno sia il mal di testa “E” i sintomi dell’influenza.
Conoscerete l’intersezione come la parola “E”.
Registra il tuo lavoro
Ti è stato chiesto di scoprire quante persone sono nella categoria “AND” per calcolare la probabilità che un paziente abbia entrambi i sintomi. State tranquilli, c’è solo un modo per farlo.
Utilizza l’interattivo qui sotto per creare un diagramma di Venn per trovare il numero di persone che hanno entrambi i sintomi nell’esempio.
All’inizio della stagione dell’influenza, un medico esamina 50 pazienti in due giorni. 30 hanno il mal di testa, 24 il raffreddore, 12 nessuno dei due. Alcuni pazienti hanno entrambi i sintomi. Qual è la probabilità che un paziente a caso abbia entrambi i sintomi?
VennDiagram
Descrizione lunga
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In parole |
In Simboli |
In Simboli |
|---|---|---|
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Tutto rosso |
n(A) = |
P(A) = |
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Tutti i numeri |
n(B) = |
P(B) = |
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Tutte le carte |
n(S) = |
P(S) = |
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Intersezione: Sia numero che rosso |
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Solo rosso (carte rosse che non sono carte numero) |
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Solo Numero (carte numero che non sono carte rosse) |
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Unione: Rosso o Numero |
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Tutto il resto |
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= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= Il principio di inclusione-Esclusione
Considera il diagramma di Venn. Se aggiungi n(A) e n(B), conti due volte la parte di intersezione. Non dovresti mai contare due volte un elemento per sapere quanti ne hai. Se l’hai contato due volte, c’è un modo semplice per correggerlo: sottrarlo una volta.
Il Principio di Inclusione-Esclusione è una formula/idea utile quando si determinano le probabilità e si usa per eventi non mutualmente esclusivi.
Può essere scritto come segue:
o in parole: il numero di elementi in A “O” B è uguale al numero di elementi in A più il numero di elementi in B sottraendo il numero di elementi in A “E” B.
Applica l’apprendimento
Usa la formula che rappresenta il principio di inclusione-esclusione per risolvere il problema originale:
All’inizio della stagione dell’influenza, un medico esamina 50 pazienti in due giorni. 30 hanno il mal di testa, 24 il raffreddore, 12 nessuno dei due. Alcuni pazienti hanno entrambi i sintomi. Qual è la probabilità che un paziente a caso abbia entrambi i sintomi?
Mostra i tuoi passi nella tua soluzione e spiega (definizione:Prenditi il tempo di scrivere le spiegazioni per tutto ciò che non è ovvio o che ha richiesto un pensiero che altrimenti non è mostrato.
Soluzione
- 8 hanno solo un raffreddore,
- 14 hanno solo un mal di testa,
- 16 hanno entrambi.
Diagramma di Venn con 3 eventi
I diagrammi di Venn e gli eventi mutuamente esclusivi non sono usati solo con due eventi diversi. Anche tre eventi, sebbene più complicati, possono essere usati in un diagramma di Venn. Se viene applicata la strategia appropriata, questo può essere fatto in modo efficace.
Esempio
Il dipartimento dei servizi agli studenti della Eastside Secondary vuole contare il numero di studenti del Grade 12. Sanno che ogni studente sta facendo matematica, inglese o scienze. Hanno scoperto che:
- 64 studenti frequentano matematica
- 56 studenti frequentano inglese
- 82 studenti frequentano scienze
- 20 studenti frequentano matematica e inglese
- 25 studenti frequentano matematica e scienze
- 21 studenti frequentano inglese e scienze
- 12 studenti seguono tutti e tre i corsi.
Crea un diagramma di Venn a tre eventi simile a quello qui sotto. Riempi ogni sezione del tuo diagramma di Venn facendo attenzione che ogni studente sia in una sola categoria.
- Quanti studenti ci sono in totale?
- Qual è la probabilità che uno studente a caso scelga matematica e scienze?
- Qual è la probabilità che uno studente a caso scelga matematica o scienze?
Soluzione
- 12 tutti e tre,
- 9 in E e S ma non M,
- 13 in M e S ma non E,
- 8 in M e E ma non S,
- 48 in solo S,
- 27 in solo E,
- 31 in solo M.
Per un aiuto in questa domanda, fate riferimento al seguente esempio simile.