Geometria dei sistemi hamiltonianiModifica

L’hamiltoniana può indurre una struttura simplettica su un collettore pari-dimensionale liscio M2n in diversi modi, ma equivalenti, i più noti dei quali sono i seguenti:

Come una forma 2 chiusa nondegenerata simplettica ω. Secondo il teorema di Darboux, in un piccolo intorno di un qualsiasi punto di M in opportune coordinate locali p 1 , ⋯ , p n , q 1 , ⋯ , q n {\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n},\ q_{1},\cdots ,q_{n}}

esiste la forma simplettica ω = ∑ i = 1 n d p i ∧ d q i {displaystyle \omega =sum _{i=1}^{n}dp_{i}wedge dq_{i}}

Le coordinate locali p, q sono quindi chiamate canoniche o simplettiche.

La forma ω {displaystyle \omega }

permette di costruire un isomorfismo naturale T x M ≅ T x ∗ M {displaystyle T_{x}M\cong T_{x}^{*}M}

dello spazio tangente T x M {\displaystyle T_{x}M}

e dello spazio cotangente T x ∗ M . {\displaystyle T_{x}^{*}M}.

Questo viene fatto mappando un vettore ξ ∈ T x M {displaystyle \xi \in T_{x}M}

alla forma 1 ω ξ ∈ T x ∗ M , {\displaystyle \omega _{\xi }\in T_{x}^{*}M,}

dove ω ξ ( η ) = ω ( η , ξ ) , \displaystyle \omega _{\xi }(\eta )=\omega (\eta ,\xi ),}

per un arbitrario η ∈ T x M . {in T_{x}M.}

A causa della bilinearità e della non degenerazione di ω , {\displaystyle \omega ,}

e del fatto che d i m T x M = d i m T x ∗ M , {displaystyle \mathop {rm {dim}} T_{x}M=mathop {dim} T_{x}^{*}M,}

la mappatura ξ → ω ξ {displaystyle \xi \ a \omega _{\xi }}

è effettivamente un isomorfismo lineare. Questo isomorfismo è naturale in quanto non cambia con il cambiamento delle coordinate su M . {\displaystyle M.}

Ripetendo per ogni x ∈ M , {displaystyle x\\in M,}

ci ritroviamo con un isomorfismo J – 1 : Vect ( M ) → Ω 1 ( M ) {displaystyle J^{-1}:{\text{Vect}}(M)\ a \Omega ^{1}(M)}

tra lo spazio infinito-dimensionale dei campi vettoriali lisci e quello delle forme 1 lisce. Per ogni f , g ∈ C ∞ ( M , R ) {displaystyle f,g\in C^{infty }(M,\mathbb {R} )}

e ξ , η ∈ Vect ( M ) , {\displaystyle \xi ,\eta \in {\text{Vect}}(M),}

J – 1 ( f ξ + g η ) = f J – 1 ( ξ ) + g J – 1 ( η ) . {J^{-1}(f\xi +g\eta )=fJ^{-1}(\xi )+gJ^{-1}(\eta ).}

(In termini algebrici, si direbbe che il C ∞ ( M , R ) {\displaystyle C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}

-moduli Vect ( M ) {\displaystyle {\text{Vect}}(M)}

e Ω 1 ( M ) {\displaystyle \Omega ^{1}(M)}

sono isomorfi). Se H ∈ C ∞ ( M × R t , R ) , {displaystyle H\in C^{\infty }(M ∈ \mathbb {R} _{t},\mathbb {R} ),

allora, per ogni t fisso ∈ R t , {\displaystyle t in \mathbb {R} _{t},}

d H ∈ Ω 1 ( M ) , {displaystyle dH\in \mega ^{1}(M),}

e J ( d H ) ∈ Vect ( M ) . {J(dH)∈ in Vect}(M).

J ( d H ) {\displaystyle J(dH)}

è noto come un campo vettoriale hamiltoniano. La rispettiva equazione differenziale su M {displaystyle M}

x ˙ = J ( d H ) ( x ) {\displaystyle {{x}}=J(dH)(x)}

è chiamata equazione di Hamilton. Qui x = x ( t ) {\displaystyle x=x(t)}

e J ( d H ) ( x ) ∈ T x M {displaystyle J(dH)(x)\in T_{x}M}

è il valore (dipendente dal tempo) del campo vettoriale J ( d H ) {displaystyle J(dH)}

in x ∈ M . {displaystyle x\in M.}

Un sistema hamiltoniano può essere inteso come un fascio di fibre E sul tempo R, con le fibre Et, t ∈ R, che sono lo spazio di posizione. La lagrangiana è quindi una funzione sul fascio a getto J su E; prendendo la trasformata di Legendre fibrosa della lagrangiana si ottiene una funzione sul fascio duale nel tempo la cui fibra in t è lo spazio cotangente T∗Et, che è dotato di una forma simplettica naturale, e quest’ultima funzione è l’Hamiltoniana. La corrispondenza tra la meccanica lagrangiana e quella hamiltoniana si ottiene con la forma unica tautologica.

Qualunque funzione liscia di valore reale H su un collettore simplettico può essere usata per definire un sistema hamiltoniano. La funzione H è conosciuta come “l’hamiltoniana” o “la funzione energia”. Il collettore simplettico è quindi chiamato spazio di fase. L’hamiltoniana induce uno speciale campo vettoriale sul collettore simplettico, noto come campo vettoriale hamiltoniano.

Il campo vettoriale hamiltoniano induce un flusso hamiltoniano sul collettore. Questo è una famiglia di trasformazioni del collettore con un solo parametro (il parametro delle curve è comunemente chiamato “il tempo”); in altre parole, un’isotopia di simplectomorfismi, a partire dall’identità. Per il teorema di Liouville, ogni simplectomorfismo conserva la forma di volume sullo spazio delle fasi. L’insieme dei simplectomorfismi indotti dal flusso hamiltoniano è comunemente chiamato “la meccanica hamiltoniana” del sistema hamiltoniano.

La struttura simplettica induce una parentesi di Poisson. La parentesi di Poisson dà allo spazio delle funzioni sul manifold la struttura di un’algebra di Lie.

Se F e G sono funzioni lisce su M allora la funzione liscia ω2(IdG, IdF) è propriamente definita; si chiama parentesi di Poisson delle funzioni F e G e si denomina {F, G}. La parentesi di Poisson ha le seguenti proprietà:

1. bilinearità
2. antisimmetria
3. { F 1 ⋅ F 2 , G } = F 1 { F 2 , G } + F 2 { F 1 , G } {\displaystyle \{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}}
   

   (regola di Leibniz)

4. { H , F } , G } + { F , G } , H } + { G , H } , F } ≡ 0 {displaystyle \{H,F\\},G\}+{{{F,G\},H\}+{{G,H\},F\}equiv 0}
   

   (identità di Jacobi)

5. non-degenerazione: se il punto x su M non è critico per F allora esiste una funzione regolare G tale che { F , G } ( x ) ≠ 0 {\displaystyle \F,G\}(x)\neq 0}
   

   .

Data una funzione f

d d t f = ∂ ∂ t f + { f , H } , {displaystyle {frac {mathrm {d} t}f={frac {mathrm {d} t}f+frac {mathrm {mathcal {H} t},}

se esiste una distribuzione di probabilità, ρ, allora (poiché la velocità dello spazio di fase ( p ˙ i , q ˙ i ) {displaystyle ({\p}}_{i},{\punto {q}_{i})}

ha divergenza zero e la probabilità è conservata) si può dimostrare che la sua derivata convettiva è zero e quindi ∂ ∂ t ρ = – { ρ , H } {∇ t ρ = – ρ , H ∇ ∇ ∇ ∇ ∇ ∇ ∇ ∇ ∇ ∇ ∇ ∇ ∇ ∇ ∇ ∇ ∇ ∇ ∇ ∇ ∇

Questo è chiamato teorema di Liouville. Ogni funzione liscia G sul collettore simplettico genera una famiglia ad un parametro di simplectomorfismi e se {G, H} = 0, allora G è conservata e i simplectomorfismi sono trasformazioni di simmetria.

Una hamiltoniana può avere più quantità conservate Gi. Se il collettore simplettico ha dimensione 2n e ci sono n quantità conservate funzionalmente indipendenti Gi che sono in involuzione (cioè, {Gi, Gj} = 0), allora l’Hamiltoniana è Liouville integrabile. Il teorema di Liouville-Arnold dice che, localmente, qualsiasi Hamiltoniana integrabile di Liouville può essere trasformata tramite un simplectomorfismo in una nuova Hamiltoniana con le quantità conservate Gi come coordinate; le nuove coordinate sono chiamate coordinate azione-angolo. L’Hamiltoniana trasformata dipende solo da Gi, e quindi le equazioni del moto hanno la forma semplice

G ˙ i = 0 , φ ˙ i = F i ( G ) {displaystyle {{G}}_{i}=0\quadro ,\quadro {\varphi}_{i}=F_{i}(G)}

per qualche funzione F. C’è un intero campo che si concentra sulle piccole deviazioni dai sistemi integrabili governati dal teorema KAM.

L’integrabilità dei campi vettoriali hamiltoniani è una questione aperta. In generale, i sistemi hamiltoniani sono caotici; i concetti di misura, completezza, integrabilità e stabilità sono poco definiti.

Collettori RiemannianiModifica

Un importante caso speciale è costituito da quegli hamiltoniani che sono forme quadratiche, cioè, Hamiltoniani che possono essere scritti come

H ( q , p ) = 1 2 ⟨ p , p ⟩ q {displaystyle {\mathcal {H}}(q,p)={tfrac {1}{2}}}langolo p,p\rangolo _{q}}

dove ⟨ , ⟩q è un prodotto interno che varia dolcemente sulle fibre T∗
qQ, lo spazio cotangente al punto q nello spazio di configurazione, talvolta chiamato cometrale. Questa hamiltoniana consiste interamente nel termine cinetico.

Se si considera un collettore riemanniano o un collettore pseudo-riemanniano, la metrica riemanniana induce un isomorfismo lineare tra i fasci tangente e cotangente. (Vedi isomorfismo musicale). Utilizzando questo isomorfismo, si può definire una cometa. (In coordinate, la matrice che definisce la cometrica è l’inverso della matrice che definisce la metrica). Le soluzioni delle equazioni di Hamilton-Jacobi per questa hamiltoniana sono allora le stesse delle geodetiche sul collettore. In particolare, il flusso hamiltoniano in questo caso è la stessa cosa del flusso geodetico. L’esistenza di tali soluzioni, e la completezza dell’insieme delle soluzioni, sono discusse in dettaglio nell’articolo sulle geodetiche. Vedi anche Geodetiche come flussi hamiltoniani.

Manifold sub-riemannianiModifica

Quando la cometa è degenerata, allora non è invertibile. In questo caso, non si ha un collettore Riemanniano, poiché non si ha una metrica. Tuttavia, l’Hamiltoniano esiste ancora. Nel caso in cui la cometrica sia degenere in ogni punto q del manifold Q dello spazio di configurazione, in modo che il rango della cometrica sia inferiore alla dimensione del manifold Q, si ha un manifold sub-riemanniano.

L’Hamiltoniano in questo caso è noto come un Hamiltoniano sub-riemanniano. Ogni tale Hamiltoniano determina univocamente la cometrica, e viceversa. Ciò implica che ogni collettore sub-Riemanniano è determinato in modo univoco dal suo sub-Riemanniano Hamiltoniano, e che è vero il contrario: ogni collettore sub-Riemanniano ha un unico sub-Riemanniano Hamiltoniano. L’esistenza di geodetiche sub-Riemanniane è data dal teorema di Chow-Rashevskii.

Il gruppo di Heisenberg continuo, a valori reali, fornisce un semplice esempio di manifold sub-Riemanniano. Per il gruppo di Heisenberg, l’hamiltoniana è data da

H ( x , y , z , p x , p y , p z ) = 1 2 ( p x 2 + p y 2 ) {\displaystyle {\mathcal {H}}left(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z}}right)={tfrac {1}{2}}}left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}}right)}

pz non è coinvolto nell’Hamiltoniana.

Le algebre di PoissonModifica

I sistemi hamiltoniani possono essere generalizzati in vari modi. Invece di guardare semplicemente l’algebra delle funzioni lisce su un collettore simplettico, la meccanica hamiltoniana può essere formulata su algebre di Poisson reali unitaliche commutative generali. Uno stato è un funzionale lineare continuo sull’algebra di Poisson (dotato di qualche topologia adatta) tale che per qualsiasi elemento A dell’algebra, A2 mappi ad un numero reale non negativo.

Un’ulteriore generalizzazione è data dalla dinamica di Nambu.

Generalizzazione alla meccanica quantistica attraverso la parentesi di PoissonModifica

Le equazioni di Hamilton di cui sopra funzionano bene per la meccanica classica, ma non per la meccanica quantistica, poiché le equazioni differenziali discusse presuppongono che si possa specificare la posizione esatta e la quantità di moto della particella contemporaneamente in qualsiasi punto del tempo. Tuttavia, le equazioni possono essere ulteriormente generalizzate per essere estese alla meccanica quantistica così come alla meccanica classica, attraverso la deformazione dell’algebra di Poisson su p e q all’algebra delle parentesi di Moyal.

In particolare, la forma più generale dell’equazione di Hamilton è

d f d t = { f , H } + ∂ f ∂ t {displaystyle {frac {mathrm {d} f}{mathrm {d} t}}={f,{mathcal {H}} dritta}+{frac {\mathcal {H} dritta}}

dove f è qualche funzione di p e q, e H è l’hamiltoniana. Per scoprire le regole per valutare una parentesi di Poisson senza ricorrere alle equazioni differenziali, vedi Algebra di Lie; una parentesi di Poisson è il nome della parentesi di Lie in un’algebra di Poisson. Queste parentesi di Poisson possono poi essere estese alle parentesi di Moyal che comportano un’algebra di Lie inequivalente, come dimostrato da Hilbrand J. Groenewold, e quindi descrivere la diffusione meccanica quantistica nello spazio di fase (vedi la formulazione dello spazio di fase e la trasformata di Wigner-Weyl). Questo approccio più algebrico non solo permette in definitiva di estendere le distribuzioni di probabilità nello spazio di fase alle distribuzioni di quasi-probabilità di Wigner, ma, alla semplice impostazione classica della staffa di Poisson, fornisce anche maggiore potenza nell’aiutare ad analizzare le quantità conservate rilevanti in un sistema.