In questo articolo imparerai i problemi di permutazione e combinazione: Definizione, formule, esempi risolti e un quiz con domande pratiche.

Permutazioni

Definizione

Le permutazioni sono i diversi modi in cui un insieme di elementi può essere disposto.

Per esempio:

I diversi modi in cui gli alfabeti A, B e C possono essere raggruppati, presi tutti insieme, sono ABC, ACB, BCA, CBA, CAB, BAC.

Nota che ABC e CBA non sono uguali perché l’ordine di disposizione è diverso. La stessa regola vale per la risoluzione di qualsiasi problema in Permutazioni.

Il numero di modi in cui si possono disporre n cose, prese tutte alla volta, nPn = n!

Factorial Formula

Factorial di un numero n è definito come il prodotto di tutti i numeri da n a 1.

Per esempio, il factorial di 5, 5! = 5*4*3*2*1 = 120.

Quindi, il numero di modi in cui le 3 lettere possono essere disposte, prese tutte alla volta, è 3! = 3*2*1 = 6 modi.

Numero di permutazioni di n cose, prese r alla volta, indicato da:

nPr = n! / (n-r)!

Per esempio:

I diversi modi in cui le 3 lettere, prese 2 alla volta, possono essere disposte è 3!/(3-2)! = 3!/1! = 6 modi.

Formule di permutazione importanti

1! = 1

0! = 1
Diamo un’occhiata ad alcuni esempi:

Problema 1: Trova il numero di parole, con o senza significato, che si possono formare con le lettere della parola ‘SEDIA’.

Soluzione:

‘CHAIR’ contiene 5 lettere.

Quindi, il numero di parole che si possono formare con queste 5 lettere = 5! = 5*4*3*2*1 = 120.

Problema 2: trovare il numero di parole, con o senza significato, che si possono formare con le lettere della parola ‘INDIA’.

Soluzione:

La parola ‘INDIA’ contiene 5 lettere e la ‘I’ viene due volte.

Quando una lettera compare più di una volta in una parola, si divide il fattoriale del numero di tutte le lettere della parola per il numero di occorrenze di ogni lettera.

Quindi, il numero di parole formate da ‘INDIA’ = 5!/2! = 60.

Problema 3: Trova il numero di parole, con o senza significato, che si possono formare con le lettere della parola ‘SWIMMING?

Soluzione:

La parola ‘SWIMMING contiene 8 lettere. Di cui, I si verifica due volte e M si verifica due volte.

Quindi, il numero di parole formato da questa parola = 8! / (2!*2!) = 10080.

Problema 4: Quante parole diverse si possono formare con le lettere della parola ‘SUPER’ in modo che le vocali siano sempre insieme?

Soluzione:

La parola ‘SUPER’ contiene 5 lettere.

Per trovare il numero di permutazioni che si possono formare dove le due vocali U ed E si uniscono.

In questi casi, raggruppiamo le lettere che dovrebbero unirsi e consideriamo quel gruppo come una lettera.

Quindi, le lettere sono S,P,R, (UE). Ora le parole sono 4.

Quindi, il numero di modi in cui 4 lettere possono essere disposte è 4!

In U ed E, il numero di modi in cui U ed E possono essere disposte è 2!

Quindi, il numero totale di modi in cui le lettere della ‘SUPER’ possono essere disposte in modo che le vocali siano sempre insieme sono 4! * 2! = 48 modi.

Problema 5: Trova il numero di parole diverse che possono essere formate con le lettere della parola ‘BUTTER’ in modo che le vocali siano sempre insieme.

Soluzione:

La parola ‘BUTTER’ contiene 6 lettere.

Le lettere U ed E dovrebbero essere sempre insieme. Quindi le lettere sono B, T, T, R, (UE).

Numero di modi in cui le lettere sopra possono essere disposte = 5!/2! = 60 (poiché la lettera ‘T’ è ripetuta due volte).

Numero di modi in cui U ed E possono essere disposte = 2! = 2 modi

Pertanto, il numero totale di permutazioni possibili = 60*2 = 120 modi.
Problema 6: Trovare il numero di permutazioni delle lettere della parola ‘REMAINS’ tale che le vocali si trovino sempre in posti dispari.

Soluzione:

La parola ‘REMAINS’ ha 7 lettere.

Ci sono 4 consonanti e 3 vocali in essa.

Scrivere nel modo seguente rende più facile risolvere questo tipo di domande.

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

Numero di modi in cui 3 vocali possono presentarsi in 4 posti diversi = 4P3 = 24 modi.

Dopo che 3 vocali prendono 3 posti, numero di modi in cui 4 consonanti possono prendere 4 posti = 4P4 = 4! = 24 modi.

Quindi, il numero totale di permutazioni possibili = 24*24 = 576 modi.

Definizione delle combinazioni Le diverse selezioni possibili da un insieme di elementi sono chiamate combinazioni.

Per esempio:

Le diverse selezioni possibili dagli alfabeti A, B, C, presi 2 alla volta, sono AB, BC e CA.

Non importa se si seleziona A dopo B o B dopo A. L’ordine di selezione non è importante nelle combinazioni.

Per trovare il numero di combinazioni possibili da un dato gruppo di elementi n, presi r alla volta, la formula, indicata con nCr è

nCr = n! /

Per esempio, verificando l’esempio precedente, le diverse selezioni possibili dagli alfabeti A, B, C, presi due alla volta sono

3C2 = 3! / (2! * (3-2)!) = 3 selezioni possibili (cioè, AB, BC, CA)

Importanti formule di combinazione

nCn = 1

nC0 = 1

nC1 = n

nCr = nC(n-r)

Il numero di scelte possibili con A, B, C, prese tutte alla volta è 3C3 = 1 (cioè ABC)

Esempi risolti di Combinazione

Diamo uno sguardo ad alcuni esempi per capire come funzionano le Combinazioni:

Problema 1: In quanti modi si può formare un comitato di 1 uomo e 3 donne da un gruppo di 3 uomini e 4 donne?

Soluzione:

No. di modi in cui 1 uomo può essere scelto da un gruppo di 3 uomini = 3C1 = 3! / 1!*(3-1)! = 3 modi.

Numero di modi in cui 3 donne possono essere selezionate da un gruppo di 4 donne = 4C3 = 4! / (3!*1!) = 4 modi.

Problema 2: Tra un insieme di 5 palle nere e 3 palle rosse, quante selezioni di 5 palle possono essere fatte in modo che almeno 3 di esse siano palle nere.

Soluzione:

Selezione di almeno 3 palle nere da un insieme di 5 palle nere in una selezione totale di 5 palle può essere

3 B e 2 R

4 B e 1 R e

5 B e 0 R palle.

Pertanto, la nostra espressione di soluzione si presenta così.
5C3 * 3C2 + 5C4 * 3C1 + 5C5 * 3C0 = 46 modi .

Problema 3: Quanti numeri a 4 cifre divisibili per 10 possono essere formati dai numeri 3, 5, 7, 8, 9, 0 in modo che nessun numero si ripeta?

Soluzione:

Se un numero è divisibile per 10, il suo posto di unità deve contenere uno 0.
_ _ _ 0

Dopo aver messo lo 0 nel posto delle unità, il posto delle decine può essere riempito con una qualsiasi delle altre 5 cifre.

Selezionare una cifra su 5 cifre può essere fatto in 5C1 = 5 modi.

Dopo aver riempito il posto delle decine, ci rimangono 4 cifre. La selezione di 1 cifra su 4 cifre può essere fatta in 4C1 = 4 modi.

Dopo aver riempito il posto delle centinaia, il posto delle migliaia può essere riempito in 3C1 = 3 modi.

Quindi, le combinazioni totali possibili = 5*4*3 = 60.

Permutazioni e Combinazioni Quiz

Prova questi problemi pratici.