A detta di tutti, Marilyn vos Savant era una bambina prodigio.

Nata a St. Louis, Missouri nel 1946, la giovane savant sviluppò rapidamente un’attitudine per la matematica e la scienza. All’età di 10 anni, fu sottoposta a due test d’intelligenza – lo Stanford-Binet e il Mega Test – entrambi i quali collocavano la sua capacità mentale a quella di un 23enne. È stata inserita nel Guinness dei Primati per avere il “QI più alto del mondo” e, di conseguenza, ha guadagnato fama internazionale.

Nonostante il suo status di “donna più intelligente del mondo”, vos Savant ha sostenuto che i tentativi di misurare l’intelligenza sono “inutili” e ha rifiutato i test del QI come inaffidabili. A metà degli anni ’80, potendo scegliere liberamente la sua carriera, fece le valigie e si trasferì a New York City per fare la scrittrice.

Qui ebbe una svolta: quando Parade Magazine scrisse un profilo su di lei, i lettori risposero con così tante lettere che la pubblicazione le offrì un lavoro a tempo pieno. Poco dopo, fondò “Ask Marilyn”, una ormai famosa rubrica settimanale in cui rispondeva (e continua a rispondere, ancora oggi) a una varietà di domande accademiche e puzzle logici. È stato nel corpo di una di queste colonne che vos Savant ha acceso una delle battaglie statistiche più accese del 21° secolo.

Quando vos Savant rispose educatamente alla domanda di un lettore sul problema di Monty Hall, un rompicapo di probabilità allora relativamente sconosciuto, non avrebbe mai potuto immaginare quello che sarebbe successo: sebbene la sua risposta fosse corretta, ricevette oltre 10.000 lettere, molte da noti studiosi e Ph.Ds, che la informavano di essere un’idiota dal cervello di lepre.

Quello che seguì per la vos Savant fu un viaggio da incubo, pieno di insulti, supposizioni basate sul genere e persecuzione accademica.

Il problema Monty Hall: una breve storia

Immaginate di essere in un gioco televisivo e il conduttore vi presenta tre porte chiuse. Dietro una di esse, si trova una scintillante Lincoln Continental nuova di zecca; dietro le altre due, ci sono vecchie capre puzzolenti. Il conduttore ti implora di scegliere una porta e tu scegli la porta numero 1. Poi, l’ospite, che è ben consapevole di ciò che sta accadendo dietro le quinte, apre la porta #3, rivelando una delle capre.

“Ora,” dice, girandosi verso di te, “vuoi tenere la porta #1, o vuoi passare alla porta #2?”

Statisticamente, quale scelta ti fa avere la macchina: tenere la porta originale o cambiare? Se tu, come la maggior parte delle persone, sostieni che le tue probabilità sono 50-50, ti sbagli – a meno che, naturalmente, non ti piacciano le capre tanto quanto le auto nuove, nel qual caso vincerai il 100% delle volte.

Partendo dal famoso gioco televisivo Let’s Make a Deal, lo scenario presentato sopra, meglio conosciuto come il “problema Monty Hall”, è una domanda di probabilità piuttosto famosa. Nonostante la sua ingannevole semplicità, alcune delle menti più brillanti del mondo – professori del MIT, matematici rinomati e borsisti “Genius” MacArthur – hanno avuto problemi a capirne la risposta. Per decenni, ha scatenato intensi dibattiti nelle aule e nelle conferenze.

Storicamente, il problema di Monty Hall è stato preceduto da diversi enigmi molto simili.

Nel paradosso della scatola di Joseph Bertrand (1889), vengono presentate tre scatole — una contenente due monete d’oro, una contenente due monete d’argento, e l’ultima contenente una di ciascuna. Supponendo che il partecipante estragga una moneta d’oro da una scatola, il problema chiede poi quale sia la probabilità che l’altra moneta in quella scatola sia d’oro. Bertrand, che concluse che la probabilità era ⅔, fu lodato per la sua capacità di guardare oltre l’ovvio.

Una seconda iterazione di questo paradosso, il Problema dei tre prigionieri (1959), presenta uno scenario statisticamente identico, con lo stesso risultato. “Un piccolo problema meravigliosamente confuso”, scrisse in seguito il suo creatore, l’editorialista di Scientific American Martin Gardner, compiaciuto. “In nessun altro ramo della matematica è così facile per gli esperti prendere un abbaglio come nella teoria della probabilità”

Presentato per la prima volta in una lettera all’editore di The American Statistician nel 1975, il problema Monty Hall era anche controintuitivo. In questa lettera, Steve Selvin, un professore dell’Università della California, Berkeley, ha illustrato la situazione nell’introduzione di questo articolo, e ha sostenuto che cambiare porta dà una probabilità di vincere la macchina di ⅔, mentre mantenere la porta originale porta a vincere solo ⅓ delle volte.

Nel corso del decennio successivo o giù di lì, il problema Monty Hall ha fatto diverse apparizioni, prima in un puzzle del Journal of Economics Perspectives di Barry Nalebuff, e successivamente in un numero del 1989 di Bridge Today, di Phillip Martin. La logica di nessuno dei due fu confutata, e il problema generò relativamente poca attenzione.

Poi, dopo 15 anni senza incidenti, il problema di Monty Hall fu resuscitato da Marilyn vos Savant — e ne seguì una tempesta di merda assoluta.

La debacle di Marilyn vos Savant

Nel settembre 1990, Marilyn vos Savant dedicò una delle sue colonne alla domanda di un lettore, che presentava una variazione del Problema Monty Hall:

“Supponete di essere in un gioco a premi, e vi viene data la scelta tra tre porte. Dietro una porta c’è una macchina, dietro le altre delle capre. Tu scegli una porta, diciamo #1, e il conduttore, che sa cosa c’è dietro le porte, apre un’altra porta, diciamo #3, che ha una capra. Ti dice: “Vuoi scegliere la porta n. 2?”. È a tuo vantaggio scambiare la scelta delle porte?”

“Sì; dovresti scambiare”, risponde lei. “La prima porta ha 1/3 di possibilità di vincere, ma la seconda porta ne ha 2/3.”

Anche se la sua risposta era corretta, una vasta fascia di accademici ha risposto con sdegno. Nei mesi successivi, vos Savant ricevette più di 10.000 lettere – tra cui un paio dal vice direttore del Center for Defense Information, e un ricercatore di statistica matematica del National Institutes of Health – che sostenevano tutti che fosse del tutto incompetente:

Hai sbagliato, e hai sbagliato alla grande! Dato che sembra che tu abbia difficoltà a cogliere il principio di base che funziona qui, te lo spiegherò. Dopo che il conduttore rivela una capra, ora avete una possibilità su due di essere corretti. Che tu cambi la tua selezione o meno, le probabilità sono le stesse. C’è già abbastanza analfabetismo matematico in questo paese, e non abbiamo bisogno che il QI più alto del mondo ne propaghi altri. Vergogna!
Scott Smith, Ph.D.
Università della Florida

Posso suggerirle di procurarsi e consultare un libro di testo standard sulla probabilità prima di provare a rispondere di nuovo ad una domanda di questo tipo?
Charles Reid, Ph.D.
Università della Florida

Sono sicuro che riceverà molte lettere su questo argomento da studenti delle scuole superiori e del college. Forse dovreste conservare alcuni indirizzi per aiutarvi con le colonne future.
W. Robert Smith, Ph.D.
Georgia State University

Si è completamente sbagliato sulla domanda del game show, e spero che questa controversia richiami l’attenzione del pubblico sulla grave crisi nazionale dell’educazione matematica. Se lei può ammettere il suo errore, avrà contribuito costruttivamente alla soluzione di una situazione deplorevole. Quanti matematici arrabbiati sono necessari per farle cambiare idea?
E. Ray Bobo, Ph.D.
Georgetown University

Hai fatto un errore, ma guarda il lato positivo. Se tutti quei dottori si sbagliassero, il paese sarebbe in guai molto seri.
Everett Harman, Ph.D.
U.S. Army Research Institute

Sei tu la capra!
Glenn Calkins
Western State College

Forse le donne guardano i problemi di matematica in modo diverso dagli uomini.
Don Edwards
Sunriver, Oregon

Il clamore fu così tremendo che vos Savant fu costretto a dedicare tre colonne successive per spiegare perché la sua logica era corretta. Anche sulla scia delle sue risposte chiare e ben argomentate, ha continuato ad essere rimproverata. “Penso ancora che ti sbagli”, ha scritto un uomo, quasi un anno dopo. “Esiste una cosa come la logica femminile.”

Tuttavia, i numeri dietro la conclusione di vos Savant non mentono.

Sfatare il problema di Monty Hall

Siccome rimangono due porte (una contenente una macchina e l’altra una capra) dopo che l’ospite apre la porta #3, la maggior parte supporrebbe che la probabilità di selezionare la macchina sia ½. Non è così.

“La probabilità di vincere di 1/3 sulla prima scelta non può salire a 1/2 solo perché l’ospite apre una porta perdente”, scrive vos Savant. In effetti, se si fanno sei partite esplorando tutti i possibili risultati, diventa chiaro che cambiare porta porta porta a vincere due terzi (66,6%) delle volte, e mantenere la porta originale porta a vincere solo un terzo (33,3%) delle volte:

Un altro modo di guardare a questo è di scomporre ogni possibilità di cambiare porta. Come abbiamo delineato di seguito, 6 dei 9 scenari possibili (due terzi) portano alla vittoria della macchina:

Questi risultati sembrano andare contro i nostri impulsi statistici intuitivi — quindi perché cambiare porta aumenta le nostre probabilità di vincere?

La risposta breve è che le tue probabilità iniziali di vincere con la porta #1 (⅓) non cambiano semplicemente perché l’ospite rivela una capra dietro la porta #3; invece, l’azione di Hall aumenta le probabilità a ⅔ che tu vinca cambiando.

Ecco un altro modo per visualizzare questo. Immaginate che invece di tre porte, Monty Hall vi presenti 100 porte; dietro 99 di esse ci sono delle capre, e dietro una di esse c’è la macchina. Voi selezionate la porta #1, e le vostre probabilità iniziali di vincere l’auto sono ora 1/100:

Poi, supponiamo che Monty Hall apra 98 delle altre porte, rivelando una capra dietro ognuna. Ora ti rimangono due scelte: tenere la porta #1, o passare alla porta #100:

Quando selezioni la porta #1, c’è una probabilità del 99/100 che la macchina sia dietro una delle altre porte. Il fatto che Monty Hall riveli 98 capre non cambia queste probabilità iniziali — semplicemente “sposta” quel 99/100 di probabilità alla porta #100. Lei può attaccare con la sua scelta originale di probabilità 1/100, o passare alla porta #100, con una probabilità molto più alta di vincere l’automobile.

Ancora, mentre la matematica e i numeri sostengono l’asserzione di vos Savant — che le probabilità di vincita aumentano a ⅔ quando lei cambia le porte — uno deve considerare altri fattori che lei non affronta nella sua risposta.

La psicologia della razionalizzazione

Monty Hall, conduttore di ‘Let’s Make a Deal’

Nel 1992, mentre la controversia sulla risposta della vos Savant fermentava, Monty Hall — il conduttore del game show e omonimo del problema — si sedette per un’intervista al New York Times.

Hall ha chiarito che le cose funzionavano un po’ diversamente dallo scenario presentato dal lettore di Parade nella colonna di vos Savant. Nello show reale, per esempio, manteneva l’autorità di offrire al concorrente denaro contante per NON cambiare. Dettagli come questo, ha detto, alteravano la mentalità del concorrente:

“, avrebbero pensato che le probabilità sulla loro porta erano ora salite a 1 su 2, quindi odiavano rinunciare alla porta non importa quanti soldi ho offerto…Più in alto arrivavo, più la macchina era dietro. Volevo truffare per passare di lì. Questo è il tipo di cose che posso fare quando ho il controllo del gioco. Si può pensare di avere le probabilità a favore quando si segue la risposta nella sua colonna, ma c’è il fattore psicologico da considerare.”

Il “fattore psicologico” di cui parla Hall passa dalle regole dello show alla variazione del problema che abbiamo presentato in questo articolo. Per i concorrenti e i risolutori di problemi, il Problema Monty Hall causa dissonanza cognitiva, un termine che gli psicologi usano per descrivere lo “stress mentale sperimentato da un individuo che detiene due o più credenze, idee o valori contraddittori allo stesso tempo, o si trova di fronte a nuove informazioni che sono in conflitto con le credenze, idee o valori esistenti”.

Quando le persone si trovano di fronte a prove che sono “incoerenti con le loro credenze” (ad esempio, le probabilità di vincere cambiando porta sono ⅔, invece di ½), prima rispondono confutando le informazioni, poi si riuniscono con i dissidenti che la pensano come loro e sostengono la loro dura opinione. Questa è precisamente la mentalità delle migliaia di oppositori di vos Savant.

***

Oltre 25 anni dopo, le discussioni sulla semantica del Problema Monty Hall e sulla risposta di vos Savant pervadono ancora — principalmente incentrate sulla complessità delle azioni dell’ospite.

“I nostri cervelli non sono semplicemente cablati per fare problemi di probabilità molto bene, quindi non sono sorpreso che ci siano stati errori,” il professore di statistica di Stanford Persi Diaconis ha detto a un giornalista, anni fa. “Alla fine, però, molti di quelli che avevano scritto per correggere i calcoli di Vos Savant hanno fatto marcia indietro e hanno ammesso di essere in errore. Un esercizio proposto da Vos Savant per capire meglio il problema è stato presto integrato in migliaia di aule scolastiche in tutta la nazione. Furono costruiti modelli al computer che corroboravano la sua logica, e il sostegno all’intelletto fu gradualmente ripristinato. Mentre prima solo l’8% dei lettori aveva creduto che la sua logica fosse vera, questo numero era salito al 56% entro la fine del 1992, scrive la vos Savant; tra gli accademici, il sostegno iniziale del 35% salì al 71%.

Tra i nuovi credenti c’era Robert Sachs, un professore di matematica alla George Mason University, che inizialmente aveva scritto una brutta lettera alla vos Savant, dicendole che aveva “rovinato tutto” e offrendosi di aiutare a “spiegare”. Dopo essersi reso conto che, in effetti, si era sbagliato, si è sentito in dovere di inviarle un’altra lettera — questa volta, pentendosi del suo moralismo.

“Dopo essermi tolto il piede dalla bocca, ora sto mangiando una torta umile”, ha scritto. “Ho giurato come penitenza di rispondere a tutte le persone che hanno scritto per castigarmi. È stato un intenso imbarazzo professionale.”

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