Radioactief Verval Wet
Wanneer een afzonderlijke kern overgaat in een andere kern met uitzending van straling, spreekt men van verval van de kern. Radioactief verval treedt op bij alle kernen met Z > 82, en ook bij sommige onstabiele isotopen met Z < 83. De vervalsnelheid is evenredig met het aantal oorspronkelijke (niet-vergane) kernen N in een stof. Het aantal kernen dat door verval verloren gaat, (-dN) in tijdsinterval dt, wordt geschreven
waarbij \(ambda) de vervalconstante wordt genoemd. (Het minteken geeft aan dat het aantal oorspronkelijke kernen in de loop van de tijd afneemt.) Met andere woorden, hoe meer kernen er beschikbaar zijn om te vergaan, hoe meer er ook vergaan (in de tijd dt). Vergelijking \ref{eq2} kan worden herschreven als
Door beide zijden van de vergelijking te integreren, en \(N_0} te definiëren als het aantal kernen op \(t = 0), krijgen we
Dit geeft ons
Wanneer we de linker- en rechterzijde van vergelijking \ref{eq4} tot een macht van \(e) nemen, krijgen we de wet van het radioactieve verval.
De wet van het radioactieve verval
Het totale aantal radioactieve kernen dat na verloop van tijd overblijft, is
waarbij (\lambda) de vervalconstante is voor de betreffende kern.
Het totale aantal kernen daalt eerst heel snel, en daarna langzamer (figuur
De halfwaardetijd ((T_{1/2})\) van een radioactieve stof wordt gedefinieerd als de tijd waarin de helft van de oorspronkelijke kernen vervalt (of het tijdstip waarop de helft van de oorspronkelijke kernen overblijft). De halfwaardetijden van onstabiele isotopen zijn aangegeven in de nuclidengrafiek. Het aantal radioactieve kernen dat overblijft na een geheel (n) aantal halfwaardetijden is dus
Als de vervalconstante ((\lambda)\) groot is, is de halfwaardetijd klein, en omgekeerd. Om het verband tussen deze grootheden te bepalen, moet worden opgemerkt dat wanneer (t = T_{1/2}), dan (N = N_0/2).
Vergelijking 5 kan dus worden herschreven als
Door beide zijden te delen door \(N_0) en de natuurlijke logaritme te nemen, verkrijgt men
die reduceert tot
Dus, als we de halveringstijd T1/2 van een radioactieve stof kennen, kunnen we de vervalconstante vinden. De levensduur van een radioactieve stof wordt gedefinieerd als de gemiddelde tijd dat een kern bestaat voordat hij vervalt. De levensduur van een stof is gewoon de reciproke van de vervalconstante, geschreven als
De activiteit A is gedefinieerd als de grootte van de vervalsnelheid, of
De infinitesimale verandering dN in het tijdsinterval dt is negatief omdat het aantal moederdeeltjes (niet-verteerd) afneemt, dus de activiteit (A) is positief. Als we de beginactiviteit definiëren als (A_0 = \lambda N_0), dan geldt
De activiteit A van een radioactieve stof neemt dus exponentieel af met de tijd (figuur \(\PageIndex{3}})).
Voorbeeld \(\PageIndex{1}\): Vervalconstante en activiteit van strontium-90
De halveringstijd van strontium-90, \ce{_{38}^{90}Sr}\), is 28,8 y. Bereken (a) de vervalconstante en (b) de beginactiviteit van 1,00 g van het materiaal.
Strategie
We kunnen de vervalconstante direct vinden uit vergelijking \ref{eq8}. Om de activiteit te bepalen, moeten we eerst het aantal aanwezige kernen vinden.
Oplossing
a. De vervalconstante wordt gevonden als
b. De atoommassa van strontium is 89,91 g. Met behulp van het getal van Avogadro (N_A = 6,022 maal 10^{23}) atomen/mol, vinden we het oorspronkelijke aantal kernen in 1,00 g van de stof:
Van hieruit vinden we de activiteit(A_0) op t = 0 voor 1..00 g strontium-90 is
Uitdrukking van (A_0) in termen van de halveringstijd van de stof levert
De activiteit is dus na één halveringstijd gehalveerd. We kunnen de vervalconstante bepalen door de activiteit te meten als functie van de tijd. Door de natuurlijke logaritme van de linker- en rechterzijde van vergelijking \ref{eq11} te nemen, krijgen we
Deze vergelijking heeft de lineaire vorm \(y = mx + b\). Als we A uitzetten tegen t, verwachten we een rechte lijn met helling \(-lambda) en y-afsnijpunt \(\n A, A_0) (figuur \PageIndex{3b}). Activiteit A wordt uitgedrukt in eenheden becquerel (Bq), waarbij één Bq = 1 Bq, verval per Bq, seconde). Deze hoeveelheid kan ook worden uitgedrukt in verval per minuut of verval per jaar. Een van de meest gebruikte eenheden voor activiteit is de curie (Ci), die gedefinieerd is als de activiteit van 1 g ^{226}Ra. Het verband tussen Bq en Ci is
Voorbeeld ^(^{226}Ra): Wat is de activiteit in levend weefsel? Ongeveer 20% van de massa van het menselijk lichaam bestaat uit koolstof. Bereken de activiteit van 1,00 kg koolstof in een levend organisme. Druk de activiteit uit in eenheden van Bq en Ci.
Strategie
De activiteit van ^(^{14}C\) wordt bepaald met de vergelijking λ(A_0 = λlambda N_0\), waarbij λ de vervalconstante is en λ(N_0\) het aantal radioactieve kernen. Het aantal ^14}C-kernen in een monster van 1,00 kg wordt in twee stappen bepaald. Eerst bepalen we het aantal ^(^12}C\) kernen met behulp van het begrip mol. Ten tweede vermenigvuldigen we deze waarde met 1,3 maal 10^{12}C (de bekende abundantie van ^14}C in een koolstofmonster van een levend organisme) om het aantal ^14}C-kernen in een levend organisme te bepalen. De vervalconstante wordt bepaald uit de bekende halveringstijd van ^(^{14}C\) (te verkrijgen bij ).
Oplossing
Een mol koolstof heeft een massa van 12,0 g, omdat het bijna zuiver ^(^{12}C\) is. Het aantal koolstofkernen in een kilogram is dus
Het aantal ^(^{14}C\) kernen in 1 kg koolstof is dus
Nu kunnen we de activiteit ^(A\) vinden met behulp van Vergelijking ^(^{eq11}). Door de bekende waarden in te vullen krijgen we
of \(7,89 maal 10^9) verval per jaar. Om dit om te rekenen naar de eenheid Bq, rekenen we eenvoudig jaren om naar seconden. Dus,
of 250 vervalt per seconde. Om A in curies uit te drukken, gebruiken we de definitie van een curie,
Dus,
Belangrijk
Bijna het hele menselijke lichaam bestaat uit koolstof. In het menselijk lichaam vinden elke seconde honderden verlagingen plaats. Koolstof-14 en andere natuurlijk voorkomende radioactieve stoffen in het lichaam vormen de achtergrondblootstelling van een persoon aan nucleaire straling. Zoals we later in dit hoofdstuk zullen zien, ligt dit activiteitsniveau ver onder de aanbevolen maximale doses.