We beginnen de studie van partiële differentiaalvergelijkingen met het probleem van de warmtestroom in een uniforme staaf met lengte \(L), gelegen op de as \(x) met een uiteinde op de oorsprong en het andere op \(x = L\) (figuur \(PaginaIndex{1})).

We nemen aan dat de staaf perfect geïsoleerd is, behalve mogelijk aan de eindpunten, en dat de temperatuur op elke doorsnede constant is en dus alleen afhangt van \(x) en \(t). We nemen ook aan dat de thermische eigenschappen van de staaf onafhankelijk zijn van \(x) en \(t). In dit geval kan worden aangetoond dat de temperatuur u = u(x, t)op tijdstip u op een punt x eenheden van de oorsprong voldoet aan de partiële differentiaalvergelijking

waarbij u een positieve constante is die bepaald wordt door de thermische eigenschappen. Dit is de warmtevergelijking.

Om ⅓(u) te bepalen, moeten we de temperatuur in elk punt van de staaf bepalen wanneer ⅓(t=0), zeg

Dit noemen we de beginvoorwaarde. We moeten ook de randvoorwaarden bepalen waaraan u moet voldoen aan de uiteinden van de staaf voor alle punten in de staaf waar t >0> is. We noemen dit probleem een begin-grenswaarde probleem.

We beginnen met de randvoorwaarden u(0,t)=u(L,t)=0\), en schrijven het begin-grenswaarde probleem als

Onze methode om dit probleem op te lossen heet scheiding van variabelen (niet te verwarren met de methode van scheiding van variabelen die in Paragraaf 2.2 wordt gebruikt voor het oplossen van gewone differentiaalvergelijkingen). We beginnen met het zoeken naar functies van de vorm

die niet identiek nul zijn en voldoen aan

voor alle ((x,t)\). Aangezien

(v_t=a^2v_{xx}) als en slechts als

wat we herschrijven als

Aangezien de uitdrukking links onafhankelijk is van \(x,t) en de uitdrukking rechts onafhankelijk van \(t), kan deze vergelijking alleen opgaan voor alle x(x,t) als de twee zijden gelijk zijn aan dezelfde constante, die we scheidingsconstante noemen, en schrijven als x(-lambda); dus

Dit is equivalent met

en

Omdat \(v(0,t)=X(0)T(t)=0) en \(v(L,t)=X(L)T(t)=0) en we willen niet dat \(T)identiek nul is, zijn \(X(0)=0) en \(X(L)=0). Daarom moet (\lambda) een eigenwaarde zijn van het randwaardeprobleem

en \(X) moet een \(\lambda)-eigenfunctie zijn. Uit stelling 11.1.2 zijn de eigenwaarden van vergelijking \ref{eq:12.1.3} \(\lambda_n=n^2pi^2/L^2), met bijbehorende eigenfuncties

Substitutie van \(\lambda=n^2pi^2/L^2) in vergelijking \ref{eq:12.1.2} levert

.2} geeft

die de oplossing

heeftNu laat

Aangezien

(v_n) voldoet aan Vergelijking \ref{eq:12.1.1} met \(f(x)=(sin n)npi x/L\). Meer in het algemeen geldt dat als (u_m) constanten zijn en

dan voldoet (u_m) aan Vergelijking \ref{eq:12.1.1} met

Dit motiveert de volgende definitie.

Wij gebruiken de term “formele oplossing” in deze definitie omdat het in het algemeen niet waar is dat de oneindige reeks in Vergelijking \ref{eq:12.1.5} ook werkelijk voldoet aan alle eisen van het begin-grenswaardeprobleem Vergelijking 12.1.4} wanneer dat wel het geval is, zeggen we dat het een feitelijke oplossing is van Vergelijking 12.1.4}.1.4}.

Omwille van de negatieve exponentiëlen in vergelijking \ref{eq:12.1.5} convergeert \(u) voor alle \((x,t)\) met \(t>0) (Oefening 12.1.54). Omdat elke term in vergelijking \ref{eq:12.1.5} voldoet aan de warmtevergelijking en de randvoorwaarden in vergelijking \ref{eq:12.1.4}, heeft \(u_t) ook deze eigenschappen als \(u_{xx}}) en \(u_{xx}}) kunnen worden verkregen door de reeksen in Vergelijking \ref{eq:12.1.5} term voor term te differentiëren eenmaal ten opzichte van \(t\) en tweemaal ten opzichte van \(x\), voor \(t>0}. Het is echter niet altijd legitiem om een oneindige reeks term voor term te differentiëren. De volgende stelling geeft een nuttige voldoende voorwaarde voor de legitimiteit van term-voor-term differentiatie van een oneindige reeks. Wij laten het bewijs achterwege.

De stelling \(\PageIndex{2}}), tweemaal toegepast met \(z=x) en eenmaal met \(z=t), toont aan dat \(u_{xx}) en \(u_t) verkregen kunnen worden door \(u) term voor term te differentiëren als \(t>0) (Oefening 12.1.54). Daarom voldoet \(u) aan de warmtevergelijking en de randvoorwaarden in Vergelijking \ref{eq:12.1.4} voor \(t>0). Omdat u(x,0)=S(x)²) voor \(0xxxxxxxxxxxxxxxxx), is u(xxxxxx) een eigenlijke oplossing van vergelijking \ref{eq:12.1.4} als en slechts als u(S(x)=f(x)²) voor \(0xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx). Uit Stelling 11.3.2 volgt dat dit waar is als \(f)continue en stukgewijs glad is op \, en \(f(0)=f(L)=0\).

In dit hoofdstuk zullen we formele oplossingen van verschillende soorten problemen definiëren. Als we je vragen zulke problemen op te lossen, bedoelen we altijd dat je een formele oplossing moet vinden.

Als beide uiteinden van staaf geïsoleerd zijn zodat er geen warmte doorheen kan, dan zijn de randvoorwaarden

We laten het aan u over (Oefening 12.1.1) om met behulp van de methode van de scheiding van variabelen en Stelling 11.1.3 de volgende definitie te motiveren.

Wij laten het aan u over (oefening 12.1.2) om met behulp van de methode van de scheiding van variabelen en Stelling 11.1.4 de volgende definitie te motiveren.

We laten het aan u over (Oefening 12.1.3) om met behulp van de methode van de scheiding van variabelen en Stelling 11.1.5 de volgende definitie te motiveren.