We hebben al een plek waar we kunnen gaan grafieken, dus laten we daar gebruik van maken. We beginnen met de grafiek van het geordende paar (2, 3). Om dat te doen, beginnen we bij de oorsprong, gaan 2 naar rechts, 3 omhoog, en tekenen dan een punt waar we geland zijn. Het is bijna alsof we een schatkaart volgen. Eerst gaan we links of rechts langs de x-as om te zien waar “x” de plek markeert, dan gaan we omhoog of omlaag langs de y-as als we willen weten “waarom” de schat niet in de kist zat waar hij had moeten zitten. Dan sporen we de wijze man op die ons deze valse kaart in de eerste plaats gaf.
Het eerste getal in een geordend paar vertelt ons hoe ver we naar links of rechts moeten gaan op de x-as (horizontale getallenlijn), en het tweede getal in het geordende paar vertelt ons hoe ver we naar boven of beneden moeten gaan op de y-as (verticale getallenlijn). Omdat x voor y komt in het alfabet, hoort x bij het eerste getal en y bij het tweede getal.
Deze getallen worden coördinaten genoemd. Ze “coördineren” met elkaar om op een bepaalde plaats in de grafiek te komen. Het eerste getal in een geordend paar is de x-coördinaat en het tweede getal is de y-coördinaat. De stip die we tekenen om het geordende paar voor te stellen, noemen we een punt. Je mag naar een punt kijken, maar er niet naar wijzen. Dat is onbeleefd.
Wanneer we een punt grafisch weergeven door langs de x-as en dan langs de y-as te reizen, is het bijna alsof we langs twee zijden van een denkbeeldige rechthoek reizen. Het is dus niet verwonderlijk dat we gebruik maken van het rechthoekig coördinatenstelsel, ook bekend als het cartesisch coördinatenstelsel. Je ziet dit vaker aangeduid als “Cartesiaans coördinatenstelsel”, wat jammer is, aangezien er geen vorm is die cartesisch heet. We kunnen echter doen alsof die er wel is, en dat die er precies zo uitziet als een rechthoek.
Voorbeeldprobleem
Grafeer het geordende paar (5, -2).
De x-coordinaat is 5 en de y-coordinaat is -2, wat betekent dat we beginnen bij de oorsprong, 5 naar rechts tellen op de x-as en dan 2 naar beneden tellen op de y-as. Dit keer hebben we een negatieve y-coördinaat, dus onze jojo gaat naar beneden.
Technisch gezien is een punt wat we krijgen als we een geordend paar grafisch weergeven. In de praktijk worden het woord “geordend paar” en het woord “punt” door elkaar gebruikt. Je kunt proberen dit in je dagelijkse conversatie te verwerken. “Hm… je hebt daar een goed geordend paar,” of “Kun je me een geordend paar geven in de richting van het postkantoor?”
Okay, dus misschien werkt het niet zo goed in het Engels.
We kunnen het hebben over het “punt” (3, 4), dat de coördinaten 3 en 4 heeft. Men kan ons vragen een grafiek te maken van een punt, in plaats van een geordend paar. Het kan niet fout gaan, zolang je maar onthoudt dat ze een en hetzelfde zijn.
Naast het gebruik van coördinaten om een punt in een grafiek te zetten, kunnen we ook achteruit gaan; dat wil zeggen, we kunnen naar een punt in een grafiek kijken en de coördinaten ervan bepalen. Het is alsof je begint met een schat en dan op zoek gaat naar de schatkaart. We weten niet zeker wie bij zijn volle verstand dingen in die volgorde zou doen, maar hier gaan we. Om ons gerust te stellen gaan we er voorlopig van uit dat dit proces van meer waarde is bij functies dan bij gouden dubloenen.
Voorbeeldprobleem
Wat zijn de coördinaten van het hieronder getekende punt?
Om vanuit de oorsprong bij dit punt te komen moeten we 1 naar rechts (langs de x-as) en 2 naar boven (langs de y-as). De coördinaten van het punt zijn dus (1, 2). Het is in ieder geval geen lange reis vanaf de oorsprong en er zijn geen tussenstops. Het zou vervelend zijn als we op (1, 1) een paar uur zouden moeten stoppen in afwachting van een aansluitende coördinaat.
Tot nu toe hebben alle punten die we grafisch hebben weergegeven gehele coördinaten gehad. Deze punten zijn gemakkelijk te tekenen, maar in meer geavanceerde problemen zullen we ook punten met niet-integer coördinaten moeten tekenen. De keerzijde is dat het dan wat lastiger wordt. Maar nu we ons niet meer aan een rooster hoeven te houden, kunnen we interessantere grafieken maken.
Zoals bij de getallenlijn kunnen we punten met niet-integer coördinaten op ongeveer de juiste plaats tekenen, en ze dan labelen zodat andere mensen precies weten waar ze zijn. Hopelijk haalt niemand een liniaal tevoorschijn om te bewijzen dat je punt er een halve millimeter naast zit. Als ze dat wel doen, hebben ze veel te veel tijd over.