Geometrie van Hamiltoniaanse systemenEdit

De Hamiltoniaan kan een symplectische structuur induceren op een gladde even-dimensionale manifold M2n op verschillende, maar equivalente, manieren, waarvan de bekendste de volgende zijn:

Als een gesloten niet-ontaarde symplectische 2-vorm ω. Volgens de stelling van Darboux kan men in een kleine buurt rond een willekeurig punt op M in geschikte lokale coördinaten p 1 , ⋯ , p n , q 1 , ⋯ , q n {\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n},\ q_{1},\dots ,q_{n}}

bestaat de symplectische vorm ω = ∑ i = 1 n d p i ∧ d q i {{\displaystyle \omega =sum _{i=1}^{n}dp_{i}}

De lokale coördinaten p, q worden dan canoniek of symplectisch genoemd.

De vorm ω {\displaystyle \omega }

maakt het mogelijk een natuurlijk isomorfisme T x M ≅ T x ∗ M {\displaystyle T_{x}M}

van de raaklijnruimte T x M {\displaystyle T_{x}M}

en de cotangensruimte T x ∗ M . {Displaystyle T_{x}^{*}M.}

Dit gebeurt door een vector ξ ∈ T x M {\displaystyle \xi \in T_{x}M}

naar de 1-vorm ω ξ ∈ T x ∗ M , {\displaystyle \omega _{\xi }in T_{x}^{*}M,}

waarbij ω ξ ( η ) = ω ( η , ξ ) , {\displaystyle \omega _{\xi }(\eta )=\omega (\eta , \xi ),}

voor een willekeurige η ∈ T x M . {Displaystyle \eta \in T_{x}M.}

Vanwege de bilineariteit en niet-ontaarding van ω , {\displaystyle \omega,}

en het feit dat d i m T x M = d i m T x ∗ M , {\displaystyle \mathop {\rm {dim}} T_{x}M= {\mathop {\rm {dim}} T_{x}^{*}M,}

de afbeelding ξ → ω ξ {\displaystyle \xi \tot \omega _{\xi }}

is inderdaad een lineair isomorfisme. Dit isomorfisme is natuurlijk in die zin dat het niet verandert met verandering van coördinaten op M . {M.}

Herhaling voor elke x ∈ M , {\displaystyle x in M,}

we eindigen met een isomorfisme J – 1 : Vect ( M ) → Ω 1 ( M ) {\displaystyle J^{-1}:{\text{Vect}}(M)} naar \Omega ^{1}(M)}

tussen de oneindig-dimensionale ruimte van gladde vectorvelden en die van gladde 1-vormen. Voor elke f , g ∈ C ∞ ( M , R ) {\displaystyle f,g in C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}

en ξ , η ∈ Vect ( M ) , {\displaystyle \xi ,eta \in {\text{Vect}}(M),}

J – 1 ( f ξ + g η ) = f J – 1 ( ξ ) + g J – 1 ( η ) . {Displaystyle J^{-1}(f\xi +g\eta )=fJ^{-1}(\xi )+gJ^{-1}(\eta ).}

(In algebraïsche termen zou men zeggen dat de C ∞ ( M , R ) {\displaystyle C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}

-modules Vect ( M ) {{\displaystyle {text{Vect}}(M)}

en Ω 1 ( M ) {{\displaystyle {Omega ^{1}(M)}

zijn isomorf). Als H ∈ C ∞ ( M × R t , R ) , {\displaystyle H\in C^{\infty }(M\times \mathbb {R} _{t},\mathbb {R} ),}

dan geldt voor elke vaste t ∈ R t , {\displaystyle t in \mathbb {R} _{t},}

d H ∈ Ω 1 ( M ) , {\displaystyle dH in \Omega ^{1}(M),}

en J ( d H ) ∈ Vect ( M ) . {Displaystyle J(dH)-in {text{Vect}}(M).}

J ( d H ) {{Displaystyle J(dH)}

staat bekend als een Hamiltoniaans vectorveld. De bijbehorende differentiaalvergelijking op M {\displaystyle M}

x ˙ = J ( d H ) ( x ) {\displaystyle {{x}}=J(dH)(x)}

wordt de vergelijking van Hamilton genoemd. Hierin is x = x ( t ) {\displaystyle x=x(t)}

en J ( d H ) ( x ) ∈ T x M {\displaystyle J(dH)(x)\in T_{x}M}

is de (tijdsafhankelijke) waarde van het vectorveld J ( d H ) {Displaystyle J(dH)}

bij x ∈ M . {Displaystyle xin M.}

Een Hamiltoniaans systeem kan worden opgevat als een vezelbundel E over tijd R, waarbij de vezels Et, t ∈ R, de positieruimte vormen. De Lagrangiaan is dus een functie op de straalbundel J over E; als men de vezelgewijze Legendre-transformatie van de Lagrangiaan neemt, verkrijgt men een functie op de duale bundel over tijd waarvan de vezel op t de cotangensruimte T∗Et is, die voorzien is van een natuurlijke symplectische vorm, en deze laatste functie is de Hamiltoniaan. De overeenkomst tussen Lagrangiaanse en Hamiltoniaanse mechanica wordt bereikt met de tautologische één-vorm.

Elke gladde reele functie H op een symplectische manifold kan gebruikt worden om een Hamiltoniaans systeem te definiëren. De functie H staat bekend als “de Hamiltoniaan” of “de energiefunctie”. De symplectische manifold wordt dan de faseruimte genoemd. De Hamiltoniaan induceert een speciaal vectorveld op de symplectische manifold, bekend als het Hamiltoniaanse vectorveld.

Het Hamiltoniaanse vectorveld induceert een Hamiltoniaanse stroming op de manifold. Dit is een familie van transformaties van de manifold met één parameter (de parameter van de krommen wordt gewoonlijk “de tijd” genoemd); met andere woorden, een isotopie van symplectomorfismen, te beginnen met de identiteit. Door de stelling van Liouville behoudt elk symplectomorfisme de volumevorm op de faseruimte. De verzameling van symplectomorfismen geïnduceerd door de Hamiltoniaanse stroming wordt gewoonlijk “de Hamiltoniaanse mechanica” van het Hamiltoniaanse systeem genoemd.

De symplectische structuur induceert een Poisson-haak. De Poisson-haak geeft de ruimte van functies op de manifold de structuur van een Lie-algebra.

Als F en G gladde functies op M zijn, dan is de gladde functie ω2(IdG, IdF) goed gedefinieerd; men noemt dit een Poisson-haak van functies F en G en noemt ze {F, G}. De Poissonsteun heeft de volgende eigenschappen:

1. bilineariteit
2. antisymmetrie
3. { F 1 ⋅ F 2 , G } = F 1 { F 2 , G } + F 2 { F 1 , G } {\displaystyle \{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}}
   

   (Leibniz-regel)

4. { { H , F } , G } + { { F , G } , H } + { { G , H } , F } ≡ 0 {\an8159> (Jacobi identiteit)
5. non-degeneratie: als het punt x op M niet kritisch is voor F, dan bestaat er een gladde functie G zodat { F , G } ( x ) ≠ 0 {\an8} ( x ) ≠ 0 {\displaystyle \{F,G}(x)\neq 0}
   

   .

Gegeven een functie f

d d t f = ∂ ∂ t f + { f , H } , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {{\mathrm {d} t}}f={\frac {\mathrm {d} t}}f+{f,{\mathrm {H}},}

als er een kansverdeling is, ρ, dan (aangezien de faseruimtesnelheid ( p ˙ i , q ˙ i ) {\displaystyle ({{p}}_{i},{{q}}_{i})}

een divergentie van nul heeft en de waarschijnlijkheid behouden blijft) kan worden aangetoond dat de convectieve afgeleide nul is en dus ∂ ∂ t ρ = – { ρ , H } {\displaystyle {\frac {\partieel}{\partieel t}}rho =-

Dit wordt de stelling van Liouville genoemd. Elke gladde functie G over de symplectische manifold genereert een familie van symplectomorfismen met één parameter en als {G, H} = 0, dan is G behouden en zijn de symplectomorfismen symmetrietransformaties.

Een Hamiltoniaan kan meerdere behouden grootheden Gi hebben. Als de symplectische manifold dimensie 2n heeft en er zijn n functioneel onafhankelijke behouden grootheden Gi die in involutie zijn (d.w.z., {Gi, Gj} = 0), dan is de Hamiltoniaan Liouville integreerbaar. De Liouville-Arnold stelling zegt dat lokaal elke Liouville integreerbare Hamiltoniaan via een symplectomorfisme kan worden getransformeerd in een nieuwe Hamiltoniaan met de behouden grootheden Gi als coördinaten; de nieuwe coördinaten worden actie-hoek coördinaten genoemd. De getransformeerde Hamiltoniaan hangt alleen af van de Gi, en de bewegingsvergelijkingen hebben dan de eenvoudige vorm

G ˙ i = 0 , φ ˙ i = F i ( G ) {\displaystyle {\dot {G}}_{i}=0\quad ,\quad {\dot {\varphi }}_{i}=F_{i}(G)}

voor een of andere functie F. Er is een heel veld dat zich richt op kleine afwijkingen van integreerbare systemen die beheerst worden door de KAM-theorema.

De integreerbaarheid van Hamiltoniaanse vectorvelden is een open vraag. In het algemeen zijn Hamiltoniaanse systemen chaotisch; begrippen als maat, volledigheid, integreerbaarheid en stabiliteit zijn slecht gedefinieerd.

Riemannse manifoldsEdit

Een belangrijk speciaal geval vormen de Hamiltonianen die kwadratische vormen zijn, dat wil zeggen, Hamiltonianen die geschreven kunnen worden als

H ( q , p ) = 1 2 ⟨ p , p ⟩ q {\displaystyle {\mathcal {H}(q,p)={\tfrac {1}{2}}hoek p,phoekle _{q}}

waar ⟨ , ⟩q een vloeiend variërend inwendig product is op de vezels T∗
qQ, de cotangensruimte naar het punt q in de configuratieruimte, soms cometrisch genoemd. Deze Hamiltoniaan bestaat geheel uit de kinetische term.

Als men een Riemannse manifold of een pseudo-Riemannse manifold beschouwt, induceert de Riemannse metriek een lineair isomorfisme tussen de raak- en cotangentbundels. (Zie Muzikaal isomorfisme). Gebruikmakend van dit isomorfisme, kan men een cometric definiëren. (In coördinaten is de matrix die de cometric definieert de inverse van de matrix die de metric definieert). De oplossingen van de Hamilton-Jacobi vergelijkingen voor deze Hamiltoniaan zijn dan dezelfde als de geodeten op de manifold. In het bijzonder is de Hamiltoniaanse stroming in dit geval hetzelfde als de geodetische stroming. Het bestaan van dergelijke oplossingen, en de volledigheid van de verzameling oplossingen, worden in detail besproken in het artikel over geodeten. Zie ook Geodeten als Hamiltoniaanse stromingen.

Sub-Riemannse manifoldsEdit

Wanneer de cometric degenerate is, dan is hij niet inverteerbaar. In dit geval heeft men geen Riemannse manifold, omdat men geen metriek heeft. De Hamiltoniaan bestaat echter nog steeds. In het geval dat de cometricus ontaard is in elk punt q van de configuratieruimte-manifold Q, zodat de rang van de cometricus kleiner is dan de dimensie van de manifold Q, heeft men een sub-Riemannse manifold.

De Hamiltoniaan in dit geval staat bekend als een sub-Riemannse Hamiltoniaan. Elke dergelijke Hamiltoniaan bepaalt op unieke wijze de cometricum, en omgekeerd. Dit impliceert dat elke sub-Riemannse manifold uniek bepaald is door zijn sub-Riemannse Hamiltoniaan, en dat het omgekeerde waar is: elke sub-Riemannse manifold heeft een unieke sub-Riemannse Hamiltoniaan. Het bestaan van sub-Riemannse geodeten wordt gegeven door de stelling van Chow-Rashevskii.

De continue, reëel-gewaardeerde Heisenberggroep geeft een eenvoudig voorbeeld van een sub-Riemannse manifold. Voor de Heisenberggroep wordt de Hamiltoniaan gegeven door

H ( x , y , z , p x , p y , p z ) = 1 2 ( p x 2 + p y 2 ) {\displaystyle {H}} links(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z} rechts)={\tfrac {1}{2}}} links(p_{x}^{2}+p_{y}^{2} rechts)}

pz is niet betrokken in de Hamiltoniaan.

Poissonalgebra’sEdit

Hamiltoniaanse systemen kunnen op verschillende manieren worden gegeneraliseerd. In plaats van eenvoudigweg te kijken naar de algebra van gladde functies over een symplectische manifold, kan de Hamiltoniaanse mechanica worden geformuleerd op algemene commutatieve unicale reële Poisson-algebra’s. Een toestand is een continue lineaire functie op de Poisson-algebra (voorzien van een geschikte topologie) zodanig dat voor elk element A van de algebra, A2 overgaat in een niet-negatief reëel getal.

Een verdere veralgemening wordt gegeven door de Nambu-dynamica.

Geralisatie naar kwantummechanica via Poisson bracketEdit

Hamilton’s vergelijkingen hierboven werken goed voor de klassieke mechanica, maar niet voor de kwantummechanica, omdat de besproken differentiaalvergelijkingen veronderstellen dat men de exacte positie en het momentum van het deeltje tegelijkertijd op elk tijdstip kan specificeren. De vergelijkingen kunnen echter verder gegeneraliseerd worden om vervolgens zowel voor de kwantummechanica als voor de klassieke mechanica te gelden, door de vervorming van de Poisson-algebra over p en q tot de algebra van Moyal brackets.

Specifieker luidt de algemenere vorm van de Hamilton-vergelijking

d f d t = { f , H } + ∂ f ∂ t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\left {f,{\mathcal {H}}}+{\frac {\dial f}{\dial t}}

waarin f een functie is van p en q, en H de Hamiltoniaan. Om de regels te vinden voor de evaluatie van een Poisson bracket zonder gebruik te maken van differentiaalvergelijkingen, zie Lie algebra; een Poisson bracket is de naam voor de Lie bracket in een Poisson algebra. Deze Poisson haakjes kunnen dan worden uitgebreid tot Moyal haakjes die overeenkomen met een inequivalente Lie algebra, zoals bewezen door Hilbrand J. Groenewold, en zo kwantummechanische diffusie in de faseruimte beschrijven (Zie de faseruimte formulering en de Wigner-Weyl transform). Deze meer algebraïsche benadering maakt het niet alleen mogelijk om uiteindelijk waarschijnlijkheidsverdelingen in de faseruimte uit te breiden tot quasi-waarschijnlijkheidsverdelingen van Wigner, maar biedt, in de louter Poisson bracket klassieke setting, ook meer kracht bij het helpen analyseren van de relevante behouden grootheden in een systeem.