How to Develop a Mindset for Math

Wiskunde gebruikt verzonnen regels om modellen en relaties te creëren. Bij het leren vraag ik me het volgende af:

Welke relatie stelt dit model voor?
Welke voorwerpen uit de werkelijkheid delen deze relatie?
Begrijpt die relatie mij?

Het zijn eenvoudige vragen, maar ze helpen me om nieuwe onderwerpen te begrijpen. Als je mijn wiskundeposts leuk vond, gaat dit artikel over mijn benadering van dit vaak verguisde onderwerp. Veel mensen hebben inzichtelijke opmerkingen achtergelaten over hun worstelingen met wiskunde en de middelen die hen daarbij hebben geholpen.

Wiskundeonderwijs

Wiskundeboeken zijn zelden gericht op begrip; meestal gaat het om het oplossen van problemen met “plug and chug”-formules. Ik vind het triest dat mooie ideeën zo stijfjes worden behandeld:

De stelling van Pythagoras gaat niet alleen over driehoeken. Het gaat over de relatie tussen gelijksoortige vormen, de afstand tussen elke verzameling getallen, en nog veel meer.
e is niet zomaar een getal. Het gaat over de fundamentele relaties tussen alle groeipercentages.
De natuurlijke log is niet alleen een inverse functie. Het gaat over de hoeveelheid tijd die dingen nodig hebben om te groeien.

Elegante, “a ha!” inzichten zouden onze focus moeten zijn, maar dat laten we aan de leerlingen over om er willekeurig zelf over te struikelen. Ik had een “a ha”-moment na een helse bloksessie op de universiteit; sindsdien wil ik die openbaringen vinden en delen om anderen dezelfde pijn te besparen.

Maar het werkt twee kanten op – ik wil ook dat je inzichten met mij deelt. Er is meer begrip, minder pijn, en iedereen wint.

Wiskunde evolueert in de tijd

Ik beschouw wiskunde als een manier van denken, en het is belangrijk om te zien hoe dat denken zich heeft ontwikkeld in plaats van alleen het resultaat te laten zien. Laten we een voorbeeld proberen.

Stel je voor dat je een holbewoner bent die wiskunde doet. Een van de eerste problemen zal zijn hoe je dingen moet tellen. Er zijn in de loop der tijd verschillende systemen ontwikkeld:

Geen enkel systeem is goed, en elk systeem heeft voordelen:

Unair systeem: Trek lijnen in het zand — zo simpel als het maar kan. Geweldig om de score bij te houden in spelletjes; je kunt een getal aanvullen zonder te gummen en te herschrijven.
Romeinse cijfers: Meer geavanceerd unair, met snelkoppelingen voor grote getallen.
Decimalen: Enorme realisatie dat getallen een “positioneel” systeem kunnen gebruiken met plaats en nul.
Binair: Eenvoudigste positiestelsel (twee cijfers, aan vs uit), dus zeer geschikt voor mechanische apparaten.
Wetenschappelijke notatie: Uiterst compact, kan gemakkelijk de grootte en precisie van een getal meten (1E3 vs 1.000E3).

Denken we dat we klaar zijn? Nee, echt niet. Over 1000 jaar hebben we een systeem dat decimale getallen net zo vreemd laat lijken als Romeinse cijfers (“Bij George, hoe deden ze dat met zulke onhandige instrumenten?”).

Negatieve Getallen Zijn Niet Zo Echt

Laten we eens wat meer over getallen nadenken. Het voorbeeld hierboven laat zien dat ons getallenstelsel een van de vele manieren is om het “tel”-probleem op te lossen.

De Romeinen zouden nul en breuken vreemd vinden, maar dat betekent niet dat “niets” en “deel tot geheel” geen bruikbare begrippen zijn. Maar zie hoe elk systeem nieuwe ideeën integreerde.

Fracties (1/3), decimalen (.234), en complexe getallen (3 + 4i) zijn manieren om nieuwe relaties uit te drukken. Ze zijn op dit moment misschien niet logisch, net zoals nul niet “logisch” was voor de Romeinen. We hebben nieuwe relaties in de echte wereld nodig (zoals schuld) om ze te laten klikken.

En zelfs dan bestaan negatieve getallen misschien niet op de manier waarop wij denken, zoals je me hier overtuigt:

Jij: Negatieve getallen zijn een geweldig idee, maar bestaan niet per definitie. Het is een label dat we op een concept plakken.

Ik: Natuurlijk bestaan ze.

Jij: Oké, laat me -3 koeien zien.

Ik: Nou, eh… stel dat je een boer bent, en je bent 3 koeien kwijt.

Jij: Ok, je hebt nul koeien.

Me: Nee, ik bedoel, je hebt 3 koeien aan een vriend gegeven.

Je: Ok, hij heeft 3 koeien en jij hebt er nul.

Me: Nee, ik bedoel, hij gaat ze ooit teruggeven. Hij staat bij je in het krijt. Jij: Ah. Dus het werkelijke getal dat ik heb (-3 of 0) hangt af van of ik denk dat hij me zal terugbetalen. Ik wist niet dat mijn mening de manier van tellen veranderde. In mijn wereld had ik de hele tijd nul. Het is niet zoals dat. Als hij je de koeien teruggeeft, ga je van -3 naar 3.

Jij: Ok, dus hij geeft 3 koeien terug en wij springen 6, van -3 naar 3? Zijn er nog andere nieuwe rekensommen waar ik van op de hoogte moet zijn? Hoe ziet sqrt(-17) koeien eruit? Ga weg.

Negatieve getallen kunnen een relatie uitdrukken:

Positieve getallen staan voor een overschot aan koeien
Nul staat voor geen koeien
Negatieve getallen staan voor een tekort aan koeien dat verondersteld wordt te worden terugbetaald

Maar het negatieve getal “is er niet echt” — er is alleen de relatie die ze vertegenwoordigen (een overschot/tekort aan koeien). We hebben een “negatief getal” model gemaakt om te helpen bij de boekhouding, ook al kun je geen -3 koeien in je hand houden. (Ik heb met opzet een andere interpretatie gebruikt van wat “negatief” betekent: het is een ander telsysteem, net zoals Romeinse cijfers en decimalen verschillende telsystemen zijn.)

Tussen haakjes, negatieve getallen werden door veel mensen, inclusief westerse wiskundigen, pas in de jaren 1700 aanvaard. Het idee van een negatief werd als “absurd” beschouwd. Negatieve getallen lijken inderdaad vreemd, tenzij je ziet hoe ze complexe relaties in de werkelijkheid weergeven, zoals schulden.

Waarom al die filosofie?

Ik realiseerde me dat mijn **mindset de sleutel tot leren is. **Het hielp me tot diepe inzichten te komen, met name:

Feitelijke kennis is geen begrip. Weten dat “hamers spijkers aandrijven” is niet hetzelfde als het inzicht dat elk hard voorwerp (een steen, een moersleutel) een spijker kan aandrijven.
Houd een open geest. Ontwikkel je intuïtie door jezelf toe te staan weer een beginner te zijn.

Een universiteitsprofessor ging op bezoek bij een beroemde Zen-meester. Terwijl de meester rustig thee serveerde, sprak de professor over Zen. De meester schonk het kopje van de bezoeker tot de rand vol, en ging toen door met schenken. De professor keek naar het overlopende kopje tot hij zich niet langer kon bedwingen. “Het is overvol! Er gaat niet meer in!” flapte de professor eruit. “U bent als deze beker,” antwoordde de meester, “hoe kan ik u Zen laten zien, tenzij u eerst uw beker leegt.”

Wees creatief. Zoek naar vreemde verbanden. Gebruik diagrammen. Gebruik humor. Gebruik analogieën. Gebruik mnemonics. Gebruik alles wat de ideeën levendiger maakt. Analogieën zijn niet perfect, maar helpen als je worstelt met het algemene idee.
Realiseer je dat je kunt leren. We verwachten van kinderen dat ze algebra, trigonometrie en calculus leren waar de oude Grieken versteld van zouden staan. En dat moeten we ook: we zijn in staat om zoveel te leren, mits goed uitgelegd. Stop niet tot het logisch is, of die wiskundige kloof zal je achtervolgen. Mentale hardheid is van cruciaal belang — we geven vaak te gemakkelijk op.

Dus waar gaat het om?

Ik wil delen wat ik heb ontdekt, in de hoop dat het je helpt wiskunde te leren:

Wiskunde maakt modellen die bepaalde verbanden hebben
We proberen verschijnselen in de echte wereld te vinden die dezelfde verbanden hebben
Onze modellen worden altijd beter. Er kan een nieuw model langskomen dat die relatie beter verklaart (romeinse cijfers naar decimaal stelsel).

Zeker, sommige modellen lijken geen nut te hebben: “Wat hebben we aan imaginaire getallen?”, vragen veel leerlingen. Het is een geldige vraag, met een intuïtief antwoord.

Het gebruik van imaginaire getallen wordt beperkt door onze verbeelding en ons begrip — net zoals negatieve getallen “nutteloos” zijn tenzij je het idee van schuld hebt, kunnen imaginaire getallen verwarrend zijn omdat we de relatie die ze vertegenwoordigen niet echt begrijpen.

Wiskunde biedt modellen; begrijp hun relaties en pas ze toe op objecten in de echte wereld.

Het ontwikkelen van intuïtie maakt leren leuk — zelfs boekhouden is niet slecht als je de problemen begrijpt die het oplost. Ik wil complexe getallen, calculus en andere ongrijpbare onderwerpen behandelen door me te richten op relaties, niet op bewijzen en mechanica.

Maar dit is mijn ervaring — hoe leer jij het beste? Een paar vrienden hebben hun ervaring opgeschreven:

Ed Latimore: A Boxer Teaches You How To Get Better At Math
Scott Young: How to Teach Yourself Math

Wiskundeonderwijs

Wiskunde evolueert in de tijd

Negatieve Getallen Zijn Niet Zo Echt

Waarom al die filosofie?

Dus waar gaat het om?

Other Posts In This Series

Geef een antwoord Antwoord annuleren