Lagrangiaanse functie, ook wel Lagrangiaan genoemd, grootheid die de toestand van een fysisch systeem karakteriseert. In de mechanica is de Lagrangiaanse functie gewoon de kinetische energie (bewegingsenergie) min de potentiële energie (positieenergie).
Men kan een fysisch systeem, dat in de loop van de tijd van de ene toestand of configuratie in de andere overgaat, beschouwen als voortgaand langs een bepaald evolutiepad, en zich vanuit dit gezichtspunt afvragen waarom het dat bepaalde pad kiest uit alle denkbare paden. Het antwoord is dat het fysische systeem de waarden van zijn Lagrangiaanse functie voor alle punten langs elk denkbaar pad bij elkaar optelt en dan het pad met het kleinste resultaat kiest. Dit antwoord suggereert dat de Lagrangiaanse functie iets meet dat analoog is aan toename van afstand, in welk geval men op een abstracte manier kan zeggen dat fysische systemen altijd de kortste paden nemen.
In het speciale geval van een lichtstraal is het pad van systeemconfiguraties gewoon het gewone pad van het licht door de ruimte, en de Lagrangiaanse functie reduceert eenvoudig tot een maat voor het verstrijken van de tijd. Het specifieke gebogen pad dat een lichtstraal door een brekingslens aflegt, is dus gewoon het pad dat de minste tijd kost.
Het principe is echter veel algemener dan dat, en het is een opmerkelijke ontdekking dat het alle verschijnselen even goed lijkt te beschrijven, inclusief bijvoorbeeld de reis van een raket naar de maan, en de waarschijnlijkheid dat botsende subatomaire deeltjes elkaar in bepaalde richtingen zullen verstrooien.