In dit artikel leer je over permutatie- en combinatieproblemen: Definitie, formules, opgeloste voorbeelden en een quiz met oefenvragen.

Permutaties

Definitie

Permutaties zijn de verschillende manieren waarop een verzameling items kan worden gerangschikt.

Bijvoorbeeld:

De verschillende manieren waarop de alfabetten A, B en C kunnen worden gegroepeerd, allemaal tegelijk genomen, zijn ABC, ACB, BCA, CBA, CAB, BAC.

Merk op dat ABC en CBA niet hetzelfde zijn omdat de volgorde van rangschikking anders is. Dezelfde regel geldt bij het oplossen van elk probleem in Permutaties.

Het aantal manieren waarop n dingen kunnen worden gerangschikt, allemaal tegelijk genomen, nPn = n! heet ’n factorieel.’

Factorieformule

Factorieel van een getal n is gedefinieerd als het product van alle getallen van n tot 1.

Bijvoorbeeld, de factorieel van 5, 5! = 5*4*3*2*1 = 120.

Het aantal manieren waarop de 3 letters kunnen worden gerangschikt, steeds genomen, is dus 3! = 3*2*1 = 6 manieren.

Aantal permutaties van n dingen, steeds r genomen, aangeduid door:

nPr = n! / (n-r)!

Voorbeeld:

De verschillende manieren waarop de 3 letters, 2 tegelijk genomen, kunnen worden gerangschikt is 3!/(3-2)! = 3!/1! = 6 manieren.

Belangrijke permutatieformules

1! = 1

0! = 1
Laten we eens kijken naar een paar voorbeelden:

Opgave 1: Zoek het aantal woorden, met of zonder betekenis, dat gevormd kan worden met de letters van het woord “STOEL”.

Oplossing:

‘CHAIR’ bevat 5 letters.

Daarom is het aantal woorden dat met deze 5 letters gevormd kan worden = 5! = 5*4*3*2*1 = 120.

Probleem 2: Vind het aantal woorden, met of zonder betekenis, dat gevormd kan worden met de letters van het woord ‘INDIA’.

Oplossing:

Het woord ‘INDIA’ bevat 5 letters en ‘I’ komt er tweemaal in voor.

Wanneer een letter meer dan eenmaal in een woord voorkomt, delen we de factorie van het aantal van alle letters in het woord door het aantal keren dat elke letter voorkomt.

Dus het aantal woorden gevormd door ‘INDIA’ = 5!/2! = 60.

Probleem 3: Vind het aantal woorden, met of zonder betekenis, dat gevormd kan worden met de letters van het woord ‘SWIMMING?

Oplossing:

Het woord ‘SWIMMING’ bevat 8 letters. Daarvan komt I twee keer voor en M twee keer.

Dus het aantal woorden gevormd door dit woord = 8! / (2!*2!) = 10080.

Opgave 4: Hoeveel verschillende woorden kunnen gevormd worden met de letters van het woord ‘SUPER’ zodanig dat de klinkers altijd samenkomen?

Oplossing:

Het woord ‘SUPER’ bestaat uit 5 letters.

Om het aantal permutaties te vinden dat gevormd kan worden waarbij de twee klinkers U en E bij elkaar komen.

In deze gevallen groeperen we de letters die bij elkaar moeten komen en beschouwen die groep als één letter.

Dus de letters zijn S,P,R, (UE). Nu zijn het aantal woorden 4.

Het aantal manieren waarop 4 letters gerangschikt kunnen worden is dus 4!

In U en E is het aantal manieren waarop U en E gerangschikt kunnen worden 2!

Het totaal aantal manieren waarop de letters van de ‘SUPER’ gerangschikt kunnen worden zodanig dat de klinkers altijd bij elkaar staan zijn dus 4! * 2! = 48 manieren.

Probleem 5: Zoek het aantal verschillende woorden dat met de letters van het woord ‘BUTTER’ kan worden gevormd, zodat de klinkers altijd samen zijn.

Oplossing:

Het woord ‘BUTTER’ bevat 6 letters.

De letters U en E moeten altijd samen komen. De letters zijn dus B, T, T, R, (UE).

Aantal manieren waarop bovenstaande letters gerangschikt kunnen worden = 5!/2! = 60 (omdat de letter ‘T’ twee keer herhaald wordt).

Aantal manieren waarop U en E gerangschikt kunnen worden = 2! = 2 manieren

Totaal aantal mogelijke permutaties = 60*2 = 120 manieren.
Opgave 6: Vind het aantal permutaties van de letters van het woord ‘REMAINS’ zo dat de klinkers steeds op oneven plaatsen voorkomen.

Oplossing:

Het woord ‘REMAINS’ heeft 7 letters.

Er zitten 4 medeklinkers en 3 klinkers in.

Schrijven op de volgende manier maakt het makkelijker om dit soort vragen op te lossen.

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

Na 3 klinkers op 4 verschillende plaatsen = 4P3 = 24 manieren.

Na 3 klinkers op 3 plaatsen, aantal manieren waarop 4 medeklinkers op 4 plaatsen kunnen = 4P4 = 4! = 24 manieren.

Totaal aantal permutaties mogelijk = 24*24 = 576 manieren.

Combinaties Definitie De verschillende selecties mogelijk uit een verzameling items worden combinaties genoemd.

Bijvoorbeeld:

De verschillende mogelijke selecties uit de alfabetten A, B, C, 2 tegelijk genomen, zijn AB, BC en CA.

Het doet er niet toe of we A na B of B na A selecteren. De volgorde van selectie is niet belangrijk bij combinaties.

Om het aantal mogelijke combinaties te vinden uit een gegeven groep van items n, r tegelijk genomen, is de formule, aangeduid met nCr

nCr = n! /

Bij wijze van voorbeeld, ter verificatie van bovenstaand voorbeeld, de verschillende selecties mogelijk uit de alfabetten A, B, C, twee tegelijk genomen zijn

3C2 = 3! / (2! * (3-2)!) = 3 mogelijke selecties (d.w.z, AB, BC, CA)

Belangrijke combinatieformules

nCn = 1

nC0 = 1

nC1 = n

nCr = nC(n-r)

Het aantal mogelijke selecties met A, B, C, allen tegelijk genomen is 3C3 = 1 (d.w.z. ABC)

Oplossingen van Combinaties

Laten we enkele voorbeelden bekijken om te begrijpen hoe Combinaties werken:

Probleem 1: Op hoeveel manieren kan een comité van 1 man en 3 vrouwen gevormd worden uit een groep van 3 mannen en 4 vrouwen?

Oplossing:

Naantal manieren waarop 1 man kan worden gekozen uit een groep van 3 mannen = 3C1 = 3! / 1!*(3-1)! = 3 manieren.

Naantal manieren waarop 3 vrouwen kunnen worden geselecteerd uit een groep van 4 vrouwen = 4C3 = 4! / (3!*1!) = 4 manieren.

Probleem 2: Uit een verzameling van 5 zwarte ballen en 3 rode ballen, hoeveel selecties van 5 ballen kunnen gemaakt worden zodanig dat ten minste 3 ervan zwarte ballen zijn.

Oplossing:

In een totale selectie van 5 zwarte ballen kunnen

3 B en 2 R

4 B en 1 R en

5 B en 0 R ballen worden geselecteerd.

Daarom ziet onze oplossingsuitdrukking er als volgt uit.
5C3 * 3C2 + 5C4 * 3C1 + 5C5 * 3C0 = 46 manieren .

Probleem 3: Hoeveel getallen van 4 cijfers die deelbaar zijn door 10 kunnen gevormd worden uit de getallen 3, 5, 7, 8, 9, 0 zodanig dat geen enkel getal herhaald wordt?

Oplossing:

Als een getal deelbaar is door 10, moet de eenheidsplaats een 0 bevatten.
_ _ _ 0

Nadat de 0 op de eenheidsplaats is geplaatst, kan de tientallenplaats worden opgevuld met een van de andere 5 cijfers.

Het kiezen van 1 cijfer uit 5 cijfers kan op 5C1 = 5 manieren.

Nadat de tientallenplaats is opgevuld, houden we 4 cijfers over. Het kiezen van 1 cijfer uit 4 cijfers kan op 4C1 = 4 manieren.

Na het vullen van de honderdtallen plaats, kan de duizendtallen plaats worden gevuld op 3C1 = 3 manieren.

Daarom is het totaal aantal mogelijke combinaties = 5*4*3 = 60.

Permutaties en Combinaties Quiz

Probeer deze oefenopgaven.