Allegaal gezien was Marilyn vos Savant een wonderkind.

De jonge savant werd in 1946 geboren in St. Louis, Missouri, en ontwikkelde al snel een aanleg voor wiskunde en wetenschap. Toen ze 10 jaar oud was, kreeg ze twee intelligentietests – de Stanford-Binet, en de Mega Test – die beide haar mentale capaciteit op die van een 23-jarige plaatsten. Ze werd opgenomen in het Guinness Book of World Records voor het hebben van ’s werelds hoogste IQ, en kreeg daardoor internationale bekendheid.

Ondanks haar status als ’s werelds slimste vrouw, bleef Vos Savant volhouden dat pogingen om intelligentie te meten ‘nutteloos’ waren, en ze verwierp IQ-tests als onbetrouwbaar. Halverwege de jaren tachtig, met de vrije hand om een carrièrepad te kiezen, pakte ze haar koffers en verhuisde naar New York City om schrijfster te worden.

Hier ving ze een doorbraak: toen Parade Magazine een profiel over haar schreef, reageerden lezers met zo veel brieven dat het blad haar een fulltime baan aanbood. Kort daarna richtte ze “Ask Marilyn” op, een nu beroemde wekelijkse column waarin ze antwoord gaf (en nog steeds geeft) op een verscheidenheid aan academische vragen en logische puzzels. Het was in een van deze columns dat Vos Savant een van de meest verhitte statistische gevechten van de 21e eeuw ontketende.

Toen Vos Savant beleefd antwoordde op een vraag van een lezer over het Monty Hall Probleem, een toen nog relatief onbekende waarschijnlijkheidspuzzel, had ze zich nooit kunnen voorstellen wat zich zou ontvouwen: hoewel haar antwoord correct was, ontving ze meer dan 10.000 brieven, velen van bekende geleerden en Ph.Wat volgde voor Vos Savant was een nachtmerrieachtige reis, vol scheldpartijen, op geslacht gebaseerde veronderstellingen en academische vervolging.

The Monty Hall Problem: A Brief History

Stel je voor dat je in een televisiespelprogramma zit en de presentator laat je drie gesloten deuren zien. Achter een ervan staat een fonkelende, gloednieuwe Lincoln Continental; achter de andere twee staan stinkende oude geiten. De gastheer smeekt je om een deur te kiezen, en je kiest deur #1. Dan, de gastheer, die goed op de hoogte is van wat er gebeurt achter de schermen, opent deur # 3, onthult een van de geiten.

“Nu,” zegt hij, zich tot u wendend, “wilt u deur # 1 houden, of wilt u overschakelen naar deur # 2?”

Statistisch gezien, welke keuze krijgt u de auto: het houden van uw oorspronkelijke deur, of overschakelen? Als u, zoals de meeste mensen, denkt dat uw kansen 50-50 zijn, hebt u het mis – tenzij u natuurlijk net zoveel van geiten houdt als van nieuwe auto’s, in welk geval u 100% van de tijd wint.

Losjes gebaseerd op het beroemde televisiespelprogramma Let’s Make a Deal, is het scenario hierboven, beter bekend als het “Monty Hall Probleem”, een tamelijk beroemde waarschijnlijkheidsvraag. Ondanks zijn bedrieglijke eenvoud hebben ’s werelds knapste koppen – MIT professoren, beroemde wiskundigen, en MacArthur “Genius” Fellows – moeite gehad het antwoord te begrijpen. Al tientallen jaren leidt het tot heftige discussies in klaslokalen en collegezalen.

Historisch gezien werd het Monty Hall Probleem voorafgegaan door een aantal zeer vergelijkbare puzzels.

In Joseph Bertrand’s box paradox (1889), worden drie dozen gepresenteerd – een met twee gouden munten, een met twee zilveren munten, en de laatste met een van elk. Ervan uitgaande dat de deelnemer één gouden munt uit een doos trekt, vraagt het probleem vervolgens wat de kans is dat de andere munt in die doos goud is. Bertrand, die concludeerde dat de kans ⅔ was, werd geprezen voor zijn vermogen verder te kijken dan het voor de hand liggende.

Een tweede iteratie van deze paradox, het Drie Gevangenen Probleem (1959), geeft een statistisch identiek scenario, met dezelfde uitkomst. “Een heerlijk verwarrend probleempje,” schreef de bedenker ervan, de Scientific American columnist Martin Gardner, later zelfvoldaan. “In geen enkele andere tak van de wiskunde is het voor deskundigen zo gemakkelijk om te blunderen als in de kansrekening.”

Het Monty Hall Probleem, dat voor het eerst werd gepresenteerd in een brief aan de redacteur van The American Statistician in 1975, was ook contra-intuïtief. In deze brief, Steve Selvin, een professor aan de Universiteit van Californië, Berkeley, schetste de situatie in de intro van dit artikel, en beweerde dat het verwisselen van deuren een ⅔ kans op het winnen van de auto oplevert, terwijl het houden van de oorspronkelijke deur slechts ⅓ van de tijd resulteert in het winnen.

In de loop van het volgende decennium verscheen het Monty Hall Probleem verschillende keren, eerst in een Journal of Economics Perspectives puzzel van Barry Nalebuff, en daarna in een uitgave van Bridge Today in 1989, door Phillip Martin. De logica van geen van beiden werd weerlegd, en het probleem genereerde relatief weinig aandacht.

Toen, na 15 jaar zonder incidenten, werd het Monty Hall Probleem nieuw leven ingeblazen door Marilyn vos Savant — en een absolute shit-storm volgde.

Het debacle van Marilyn vos Savant

In september 1990 wijdde Marilyn vos Savant een van haar columns aan een vraag van een lezer, die een variatie op het Monty Hall-probleem bevatte:

“Stel, je zit in een spelshow en je mag kiezen uit drie deuren. Achter de ene deur staat een auto, achter de andere geiten. Je kiest een deur, zeg #1, en de presentator, die weet wat er achter de deuren zit, opent een andere deur, zeg #3, met een geit. Hij zegt tegen je, “Wil je deur 2 kiezen?” Is het in je voordeel als je de deuren omwisselt?”

“Ja; je moet omwisselen,” antwoordt ze. “De eerste deur heeft 1/3 kans om te winnen, maar de tweede deur 2/3.”

Hoewel haar antwoord correct was, reageerde een groot deel van de academici verontwaardigd. In de daaropvolgende maanden ontving Vos Savant meer dan 10.000 brieven – waaronder een paar van de adjunct-directeur van het Center for Defense Information, en een Research Mathematical Statistician van de National Institutes of Health – die allemaal beweerden dat ze volledig incompetent was:

Je hebt het verknald, en je hebt het groot verknald! Omdat je moeite lijkt te hebben het basisprincipe te begrijpen, zal ik het uitleggen. Nadat de gastheer een geit onthult, heb je een kans van 1 op 2 dat je juist bent. Of je je keuze nu verandert of niet, de kansen zijn hetzelfde. Er is al genoeg wiskundig analfabetisme in dit land, en we hebben ’s werelds hoogste IQ niet nodig om nog meer te verspreiden. Schande!
Scott Smith, Ph.D.
Universiteit van Florida

Mag ik voorstellen dat u een standaardleerboek over kansberekening aanschaft en raadpleegt voordat u weer een vraag van dit type probeert te beantwoorden?
Charles Reid, Ph.D.
Universiteit van Florida

Ik ben er zeker van dat u veel brieven over dit onderwerp zult ontvangen van middelbare scholieren en studenten. Misschien moet u een paar adressen bewaren voor hulp bij toekomstige columns.
W. Robert Smith, Ph.D.
Georgia State University

U hebt het volkomen bij het verkeerde eind over de spelshowvraag, en ik hoop dat deze controverse enige publieke aandacht zal vragen voor de ernstige nationale crisis in het wiskundeonderwijs. Als u uw fout kunt toegeven, zult u constructief hebben bijgedragen aan de oplossing van een betreurenswaardige situatie. Hoeveel woedende wiskundigen zijn er nodig om u van gedachten te doen veranderen?
E. Ray Bobo, Ph.D.
Georgetown University

Je hebt een fout gemaakt, maar bekijk het van de positieve kant. Als al die doctorandussen het bij het verkeerde eind hadden, zou het land in grote problemen zitten.
Everett Harman, doctorandus
U.S. Army Research Institute

Jij bent de geit!
Glenn Calkins
Western State College

Misschien kijken vrouwen wel anders tegen wiskundeproblemen aan dan mannen.
Don Edwards
Sunriver, Oregon

De verontwaardiging was zo groot dat Vos Savant zich genoodzaakt zag drie volgende columns te wijden aan het uitleggen waarom haar logica juist was. Zelfs in de nasleep van haar goed geformuleerde, duidelijke antwoorden, bleef ze worden berispt. “Ik denk nog steeds dat je het mis hebt,” schreef een man, bijna een jaar later. “Er bestaat zoiets als vrouwelijke logica.”

Toch liegen de cijfers achter Vos Savants conclusie er niet om.

Het Monty Hall Probleem ontkrachten

Omdat er twee deuren (een met een auto, en de andere met een geit) overblijven nadat de gastheer deur 3 heeft geopend, zouden de meesten aannemen dat de kans dat de auto wordt gekozen ½ is. Dit is niet het geval.

“De winstkans van 1/3 op de eerste keuze kan niet oplopen tot 1/2 alleen omdat de gastheer een verliezende deur opent,” schrijft Vos Savant. Als je zes spellen in kaart brengt waarin alle mogelijke uitkomsten worden onderzocht, wordt duidelijk dat het wisselen van deur in tweederde (66,6%) van de gevallen tot winst leidt, en dat het behouden van je oorspronkelijke deur slechts in eenderde (33,3%) van de gevallen tot winst leidt:

Een andere manier om hiernaar te kijken, is het uitsplitsen van elke mogelijkheid om van deur te wisselen. Zoals we hieronder hebben uiteengezet, resulteren 6 van de 9 mogelijke scenario’s (tweederde) in het winnen van de auto:

Deze resultaten lijken in te gaan tegen onze intuïtieve statistische impulsen — dus waarom vergroot het verwisselen van de deur onze winkansen?

Het korte antwoord is dat de aanvankelijke winkans voor deur 1 (⅓) niet verandert omdat de gastheer een geit onthult achter deur 3. In plaats daarvan vergroot Hall de winkans tot ⅔ dat u wint door van deur te wisselen.

Hier is een andere manier om dit te visualiseren. Stel je voor dat in plaats van drie deuren, Monty Hall presenteert u met 100 deuren; achter 99 van hen zijn geiten, en achter een van hen is de auto. Je kiest deur 1, en je aanvankelijke kansen om de auto te winnen zijn nu 1/100:

Stel dat Monty Hall vervolgens 98 van de andere deuren opent en achter elke deur een geit laat zien. Nu heb je twee keuzes: deur #1 behouden, of overschakelen naar deur #100:

Wanneer je deur #1 kiest, is er een kans van 99/100 dat de auto zich achter een van de andere deuren bevindt. Het feit dat Monty Hall 98 geiten onthult, verandert niets aan deze oorspronkelijke kansen — het “verschuift” alleen die 99/100 kans naar deur #100. U kunt ofwel bij uw oorspronkelijke 1/100 kans blijven, of overschakelen naar deur #100, met een veel hogere kans op het winnen van de auto.

Toch, terwijl de wiskunde en de cijfers Vos Savant’s bewering ondersteunen – dat de kansen om te winnen toenemen tot ⅔ wanneer u van deur verandert – moet men andere factoren in overweging nemen die zij in haar antwoord niet behandelt.

De psychologie van het rationaliseren

Monty Hall, presentator van ‘Let’s Make a Deal’

In 1992, terwijl de controverse over het antwoord van Vos Savant in volle hevigheid woedde, ging Monty Hall – de presentator van de spelshow en naamgever van het probleem – zitten voor een interview met de New York Times.

Hall verduidelijkte dat de dingen een beetje anders werkten dan het scenario gepresenteerd door de Parade lezer in Vos Savant’s column. In de echte show, bijvoorbeeld, behield hij de bevoegdheid om de deelnemer contant geld aan te bieden om NIET te wisselen. Details zoals deze, zei hij, veranderden de instelling van de deelnemer:

“, ze zouden denken dat de kans op hun deur nu was gestegen tot 1 op 2, dus ze haatten het om de deur op te geven, ongeacht hoeveel geld ik bood … Hoe hoger ik kwam, hoe meer ik dacht dat de auto achter was. Ik wilde ze oplichten om daar over te stappen. Dat is het soort dingen die ik kan doen als ik de controle over het spel heb. Je denkt misschien dat de kans groot is dat je het antwoord in haar kolom volgt, maar je moet ook rekening houden met de psychologische factor.”

De “psychologische factor” die Hall noemt, wordt in de regels van de show toegepast op de variatie van het probleem dat we in dit artikel hebben gepresenteerd. Voor zowel deelnemers als probleemoplossers veroorzaakt het Monty Hall-probleem cognitieve dissonantie, een term die psychologen gebruiken om de “mentale stress te beschrijven die wordt ervaren door een individu dat twee of meer tegenstrijdige overtuigingen, ideeën of waarden op hetzelfde moment heeft, of wordt geconfronteerd met nieuwe informatie die in strijd is met bestaande overtuigingen, ideeën of waarden.”

Wanneer mensen geconfronteerd worden met bewijs dat “niet strookt met hun overtuigingen” (d.w.z. de kans dat je wint door van deur te wisselen is ⅔, in plaats van ½), reageren zij eerst door de informatie te weerleggen, om zich vervolgens te verenigen met gelijkgestemde andersdenkenden en hun eigen vastgeroeste mening te verdedigen. Dit is precies de mentaliteit van de duizenden nee-zeggers van Vos Savant.

***

Meer dan 25 jaar later wordt er nog steeds gediscussieerd over de semantiek van het Monty Hall Probleem en het antwoord van Vos Savant — voornamelijk over de details van de acties van de gastheer.

“Onze hersenen zijn er gewoon niet op ingesteld om waarschijnlijkheidsproblemen goed aan te pakken, dus het verbaast me niet dat er fouten zijn gemaakt,” vertelde Stanford-statistiekprofessor Persi Diaconis jaren geleden aan een verslaggever. “Het strikte argument zou zijn dat de vraag niet kan worden beantwoord zonder de motivatie van de gastheer te kennen.”

Eindelijk echter, trokken velen die hadden geschreven om Vos Savant’s wiskunde te corrigeren, zich terug en gaven toe dat ze zich vergisten.

Een oefening voorgesteld door Vos Savant om het probleem beter te begrijpen werd al snel geïntegreerd in duizenden klaslokalen in het hele land. Er werden computermodellen gebouwd die haar logica bevestigden, en de steun voor haar intellect werd geleidelijk hersteld. Terwijl voorheen slechts 8% van de lezers had geloofd dat haar logica waar was, was dit aantal tegen het einde van 1992 gestegen tot 56%, schrijft vos Savant; onder academici steeg de aanvankelijke steun van 35% tot 71%.

Onder de nieuwe gelovigen was Robert Sachs, een wiskundeprofessor aan de George Mason University, die aanvankelijk een vervelende brief aan vos Savant had geschreven, waarin hij haar vertelde dat ze het “verknald” had, en aanbood om te helpen “uitleggen”. Nadat hij zich realiseerde dat hij in feite onjuist was, voelde hij zich gedwongen om haar een andere brief te sturen – deze keer, berouw hebbend over zijn zelfingenomenheid.

“Na het verwijderen van mijn voet uit mijn mond eet ik nu nederige taart,” schreef hij. “Ik heb als boetedoening gezworen alle mensen te antwoorden die me hebben geschreven om me te beschuldigen. Het is een intense professionele verlegenheid geweest.”

Priceonomics heeft twee boeken geschreven. Het ene is voor sceptici, het andere voor optimisten. Kies uw avontuur → Alles is onzin of Hipster Business Models.

Om af en toe een bericht te ontvangen wanneer we een blogbericht schrijven, kunt u zich aanmelden voor onze e-maillijst. Dit bericht werd oorspronkelijk gepubliceerd op 19 februari 2015.