Wiskunde is een spel van getallen en getallen zijn overal. En de regel van het spel zijn de eigenschappen en regels die bij getallen horen. Eigenschappen helpen je om antwoorden snel en gemakkelijk in je hoofd uit te rekenen. Eigenschappen zijn niets anders dan speciale regels die getallen volgen. Er zijn drie basiseigenschappen van getallen waar elk wiskundig systeem aan voldoet: Commutatieve, Associatieve en Distributieve eigenschappen. Deze eigenschappen zijn kenmerken van de vier bewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen) die altijd van toepassing zijn, ongeacht het getal waarmee je werkt. Maar we zullen in het volgende artikel alleen de commutatieve en associatieve eigenschappen bespreken.

Zowel commutatieve als associatieve eigenschappen zijn regels die worden toegepast op optel- en vermenigvuldigingsbewerkingen. Deze eigenschappen zijn wetten die in de algebra worden gebruikt om problemen te helpen oplossen. De commutatieve eigenschap komt van de term “commuteren”, wat “verplaatsen” betekent, en verwijst naar de mogelijkheid om getallen die je optelt of vermenigvuldigt, om te wisselen. De associatieve eigenschap komt van het woord “associëren” of “groeperen” en verwijst naar het groeperen van drie of meer getallen met haakjes, ongeacht hoe je ze groepeert. Het resultaat blijft hetzelfde, ongeacht hoe je de getallen hergroepeert. Laten we de twee eigenschappen eens bekijken om beter te begrijpen hoe ze werken.

Wat is commutatief?

Bij voorbeeld; we weten dat 2 en 5 optellen hetzelfde antwoord geeft als 5 en 2 optellen. De volgorde van de getallen in een optelopgave kan worden veranderd zonder dat het resultaat verandert. Dit gegeven over getallen en optellen wordt de commutatieve eigenschap van optellen genoemd. We kunnen dus zeggen dat optellen een commutatieve bewerking is. Evenzo is vermenigvuldiging een commutatieve bewerking.

Commutatieve eigenschap van optellen:

a + b = b + a

3 + 4 = 7 is hetzelfde als 4 + 3 = 7

Het resultaat zal hetzelfde zijn, ongeacht de volgorde van de getallen.

Commutatieve eigenschap van vermenigvuldiging:

a × b = b × a

3 × 7 = 21 is hetzelfde als 7 × 3 = 21

Ook de uitkomst zal hetzelfde zijn ongeacht de volgorde van de getallen.

Wat is associatief?

Associatief is nog een eigenschap die we gebruiken heeft te maken met hergroeperen. Bijvoorbeeld, bij het optellen van 2 + 3 + 5, kunnen we of eerst 2 en 3 optellen en dan 5, of we kunnen eerst 3 en 5 optellen en dan de 2. Wiskundig ziet het er zo uit: 2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = (2 +3) + 5. Bewerkingen die zich op deze manier gedragen heten associatieve bewerkingen. Het resultaat blijft hetzelfde, ook al veranderen we de groepering van de getallen.

Associatieve eigenschap van optellen:

a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c

1 + (2 +3) = (1 +2) + 3 = 6

Het resultaat blijft hetzelfde, hoe je de getallen ook groepeert.

Associatieve eigenschap van vermenigvuldiging:

a × (b × c) = (a × b) × c

2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24

(2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24

De groepering in de getallen verandert de uitkomst dus niet.

Verschil tussen commutatief en associatief

Betekenis

– De commutatieve eigenschap komt van de term “commuteren”, wat “verplaatsen” betekent, en verwijst naar het kunnen verwisselen van getallen die je optelt of vermenigvuldigt, ongeacht de volgorde van de getallen. De associatieve eigenschap daarentegen komt van het woord “associëren” of “groeperen” en het verwijst naar het groeperen van drie of meer getallen met behulp van haakjes, ongeacht hoe je ze groepeert. Het resultaat zal hetzelfde zijn, ongeacht hoe je de getallen of variabelen hergroepeert.

Regel

– De commutatieve optelregel stelt, a + b = b + a, wat betekent dat het optellen van a en b hetzelfde resultaat geeft als het optellen van b en a. De volgordes kunnen worden veranderd zonder dat het resultaat verandert. Deze regel van optellen wordt de commutatieve eigenschap van optellen genoemd. Evenzo is vermenigvuldiging een commutatieve bewerking, wat betekent dat a × b hetzelfde resultaat geeft als b × a. De associatieve eigenschap daarentegen is de regel die betrekking heeft op het groeperen van getallen. De associatieve regel van optellen zegt, a + (b + c) is hetzelfde als (a + b) + c. Evenzo zegt de associatieve regel van vermenigvuldigen, a × (b × c) is hetzelfde als (a × b) × c.

Voorbeeld

– De commutatieve eigenschap van optellen: 1 + 2 = 2 +1 = 3

De commutatieve eigenschap van vermenigvuldiging: 2 × 3 = 3 × 2 = 6

De associatieve eigenschap van optellen: 5 + (3 + 7) = (5 + 3) + 7 = 15

De associatieve eigenschap van vermenigvuldiging: 5 × (2 × 4) = (5 × 2) × 4 = 40

Commutatief vs. Associatief: Vergelijkingsgrafiek

Samenvatting

In een notendop is de commutatieve eigenschap niet te verwarren met de associatieve eigenschap. De commutatieve eigenschap zegt dat de volgorde van de getallen bij optellen en vermenigvuldigen mag worden veranderd, omdat het resultaat hetzelfde blijft, ongeacht de volgorde. De associatieve eigenschap, aan de andere kant, stelt dat het resultaat hetzelfde zal zijn, ongeacht hoe u het aantal of variabelen groepeert in optel-/ vermenigvuldigingsoperaties.