Radioaktives Zerfallsgesetz

Wenn sich ein einzelner Kern unter Aussendung von Strahlung in einen anderen umwandelt, spricht man von einem Zerfall des Kerns. Radioaktiver Zerfall findet bei allen Kernen mit \(Z > 82\) statt, und auch bei einigen instabilen Isotopen mit \(Z < 83\). Die Zerfallsrate ist proportional zur Anzahl der ursprünglichen (nicht zerfallenen) Kerne N in einer Substanz. Die Anzahl der durch den Zerfall verlorenen Kerne, \(-dN\) im Zeitintervall dt, wird geschrieben

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, wobei \(\lambda\) die Zerfallskonstante genannt wird. (Das Minuszeichen zeigt an, dass die Anzahl der ursprünglichen Kerne mit der Zeit abnimmt.) Mit anderen Worten: Je mehr Kerne zum Zerfall zur Verfügung stehen, desto mehr zerfallen (in der Zeit dt). Gleichung \ref{eq2} kann umgeschrieben werden als

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Integriert man beide Seiten der Gleichung und definiert \(N_0\) als die Anzahl der Kerne zum Zeitpunkt \(t = 0\), erhalten wir

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Das ergibt

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Nimmt man die linke und rechte Seite der Gleichung \ref{eq4} als eine Potenz von \(e\), so erhält man das radioaktive Zerfallsgesetz.

Die Gesamtzahl der Kerne fällt zunächst sehr schnell und dann langsamer (Abbildung \(\PageIndex{2}\)).

Die Halbwertszeit \((T_{1/2})\) einer radioaktiven Substanz ist definiert als die Zeit, in der die Hälfte der ursprünglichen Kerne zerfällt (oder die Zeit, in der die Hälfte der ursprünglichen Kerne verbleibt). Die Halbwertszeiten der instabilen Isotope sind in der Nuklidtabelle angegeben. Die Anzahl der radioaktiven Kerne, die nach einer ganzzahligen (n) Anzahl von Halbwertszeiten verbleiben, ist also

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Wenn die Zerfallskonstante \((\lambda)\) groß ist, ist die Halbwertszeit klein, und umgekehrt. Um die Beziehung zwischen diesen Größen zu bestimmen, ist zu beachten, dass wenn \(t = T_{1/2}\), dann \(N = N_0/2\).

Die Gleichung \ref{eq5} kann also umgeschrieben werden als

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Dividiert man beide Seiten durch \(N_0\) und nimmt den natürlichen Logarithmus, so erhält man

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, was sich reduziert auf

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Das bedeutet, wenn wir die Halbwertszeit T1/2 einer radioaktiven Substanz kennen, können wir ihre Zerfallskonstante ermitteln. Die Lebensdauer \(\overline{T}\) einer radioaktiven Substanz ist definiert als die durchschnittliche Zeitspanne, die ein Atomkern existiert, bevor er zerfällt. Die Lebensdauer einer Substanz ist einfach der Kehrwert der Zerfallskonstante, geschrieben als

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Die Aktivität A ist definiert als die Größe der Zerfallsrate, oder

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Die infinitesimale Änderung dN im Zeitintervall dt ist negativ, weil die Anzahl der Elternteilchen (nicht zerfallene Teilchen) abnimmt, also ist die Aktivität (A) positiv. Definiert man die Anfangsaktivität als \(A_0 = \lambda N_0\), so ergibt sich

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Die Aktivität A einer radioaktiven Substanz nimmt also exponentiell mit der Zeit ab (Abbildung \(\PageIndex{3}\)).

Wenn man \(\lambda\) in Abhängigkeit von der Halbwertszeit der Substanz ausdrückt, erhält man

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Die Aktivität halbiert sich also nach einer Halbwertszeit. Wir können die Zerfallskonstante \(\lambda\) bestimmen, indem wir die Aktivität als Funktion der Zeit messen. Nimmt man den natürlichen Logarithmus der linken und rechten Seite der Gleichung \ref{eq11}, erhält man

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Diese Gleichung folgt der linearen Form \(y = mx + b\). Wenn wir \ln A gegen t auftragen, erwarten wir eine Gerade mit der Steigung \(-\lambda\) und dem y-Abschnitt \(\ln \, A_0\) (Abbildung \(\PageIndex{3b}\)). Die Aktivität A wird in Becquerel (Bq) ausgedrückt, wobei ein \(1 \, Bq = 1 \, Zerfall \, pro \, Sekunde\). Diese Menge kann auch in Zerfällen pro Minute oder Zerfällen pro Jahr ausgedrückt werden. Eine der gebräuchlichsten Einheiten für die Aktivität ist der Curie (Ci), definiert als die Aktivität von 1 g \(^{226}Ra\). Die Beziehung zwischen Bq und Ci ist

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