Wie man hört, war Marilyn vos Savant ein Wunderkind.

Im Jahr 1946 in St. Louis, Missouri, geboren, entwickelte die junge Savant schnell eine Begabung für Mathematik und Naturwissenschaften. Im Alter von 10 Jahren wurde sie zwei Intelligenztests unterzogen – dem Stanford-Binet und dem Mega-Test -, die beide ihre geistigen Fähigkeiten auf die eines 23-Jährigen zurückführten. Daraufhin wurde sie in das Guinness-Buch der Rekorde als „Weltbeste mit dem höchsten IQ“ eingetragen und erlangte dadurch internationale Berühmtheit.

Trotz ihres Status als „klügste Frau der Welt“ behauptete vos Savant, dass Versuche, Intelligenz zu messen, „nutzlos“ seien, und sie lehnte IQ-Tests als unzuverlässig ab. Mitte der 1980er Jahre packte sie ihre Koffer und zog nach New York City, um dort als Schriftstellerin zu arbeiten.

Hier hatte sie Glück: Als das Parade Magazine einen Artikel über sie schrieb, erhielt sie so viele Leserbriefe, dass die Zeitschrift ihr eine Vollzeitstelle anbot. Kurz darauf gründete sie „Ask Marilyn“, eine inzwischen berühmte wöchentliche Kolumne, in der sie eine Vielzahl von akademischen Fragen und Logikrätseln beantwortete (und bis heute beantwortet). In einer dieser Kolumnen entfachte vos Savant eine der hitzigsten Statistikschlachten des 21. Jahrhunderts.

Als vos Savant höflich auf die Anfrage eines Lesers zum Monty-Hall-Problem, einem damals relativ unbekannten Wahrscheinlichkeitsrätsel, antwortete, hätte sie sich nie vorstellen können, was sich daraus entwickeln würde: Obwohl ihre Antwort richtig war, erhielt sie über 10.000 Briefe, viele davon von bekannten Wissenschaftlern und Doktoren.

Was für vos Savant folgte, war eine albtraumhafte Reise voller Beschimpfungen, geschlechtsspezifischer Annahmen und akademischer Verfolgung.

Das Monty-Hall-Problem: Eine kurze Geschichte

Stellen Sie sich vor, Sie sind in einer Fernsehspielshow und der Moderator präsentiert Ihnen drei geschlossene Türen. Hinter einer sitzt ein funkelnder, nagelneuer Lincoln Continental, hinter den beiden anderen stinkende alte Ziegen. Der Moderator bittet dich, eine Tür zu wählen, und du wählst Tür Nr. 1. Dann öffnet der Gastgeber, der genau weiß, was hinter den Kulissen vor sich geht, Tür Nr. 3 und enthüllt eine der Ziegen.

„Nun“, sagt er und wendet sich Ihnen zu, „wollen Sie Tür Nr. 1 behalten oder zu Tür Nr. 2 wechseln?“

Statistisch gesehen, welche Wahl bringt Ihnen das Auto: die ursprüngliche Tür behalten oder wechseln? Wenn Sie, wie die meisten Menschen, davon ausgehen, dass Ihre Chancen 50:50 stehen, liegen Sie falsch – es sei denn, Sie mögen Ziegen genauso gern wie neue Autos, dann gewinnen Sie in 100 % der Fälle.

Das oben dargestellte Szenario, das sich an die berühmte Fernsehspielsendung Let’s Make a Deal anlehnt und besser als „Monty-Hall-Problem“ bekannt ist, ist eine ziemlich berühmte Wahrscheinlichkeitsfrage. Trotz ihrer trügerischen Einfachheit hatten einige der klügsten Köpfe der Welt – MIT-Professoren, renommierte Mathematiker und MacArthur „Genius“-Stipendiaten – Schwierigkeiten, ihre Antwort zu verstehen. Jahrzehntelang hat es intensive Debatten in Klassenzimmern und Hörsälen ausgelöst.

Historisch gesehen gab es vor dem Monty-Hall-Problem bereits mehrere sehr ähnliche Rätsel.

In Joseph Bertrands Schachtelparadoxon (1889) werden drei Schachteln präsentiert – eine mit zwei Goldmünzen, eine mit zwei Silbermünzen und die letzte mit je einer von beiden. Angenommen, der Teilnehmer zieht eine Goldmünze aus einer Schachtel, dann stellt sich die Frage, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass die andere Münze in dieser Schachtel Gold ist. Bertrand, der zu dem Schluss kam, dass die Wahrscheinlichkeit ⅔ beträgt, wurde für seine Fähigkeit gelobt, über das Offensichtliche hinauszublicken.

Eine zweite Variante dieses Paradoxons, das Drei-Gefangenen-Problem (1959), stellt ein statistisch identisches Szenario dar, mit demselben Ergebnis. „Ein wunderbar verwirrendes kleines Problem“, schrieb sein Schöpfer, der Scientific American-Kolumnist Martin Gardner, später süffisant. „In keinem anderen Zweig der Mathematik ist es für Experten so leicht, sich zu vertun wie in der Wahrscheinlichkeitstheorie.“

Das Monty-Hall-Problem wurde erstmals 1975 in einem Leserbrief an die Zeitschrift The American Statistician vorgestellt und war ebenfalls kontraintuitiv. Steve Selvin, Professor an der Universität von Kalifornien in Berkeley, hat in diesem Brief die Situation in der Einleitung dieses Artikels dargelegt und behauptet, dass das Wechseln der Türen eine ⅔-Chance auf den Gewinn des Autos ergibt, während das Beibehalten der ursprünglichen Tür nur in ⅓ der Fälle zum Gewinn führt.

Im Laufe des nächsten Jahrzehnts tauchte das Monty-Hall-Problem mehrmals auf, zuerst in einem Rätsel des Journal of Economics Perspectives von Barry Nalebuff und anschließend in einer Ausgabe von Bridge Today aus dem Jahr 1989 von Phillip Martin. Die Logik beider Männer wurde nicht widerlegt, und das Problem erregte relativ wenig Aufmerksamkeit.

Dann, nach 15 Jahren ohne Zwischenfall, wurde das Monty-Hall-Problem von Marilyn vos Savant wiederbelebt – und ein absoluter Shitstorm folgte.

Das Debakel von Marilyn vos Savant

Im September 1990 widmete Marilyn vos Savant eine ihrer Kolumnen der Frage eines Lesers, die eine Variante des Monty-Hall-Problems darstellte:

„Angenommen, Sie sind in einer Spielshow und haben die Wahl zwischen drei Türen. Hinter einer Tür ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Du wählst eine Tür, sagen wir die Nummer 1, und der Moderator, der weiß, was sich hinter den Türen befindet, öffnet eine andere Tür, sagen wir die Nummer 3, hinter der sich eine Ziege befindet. Er fragt dich: „Willst du Tür Nr. 2 nehmen?“ Wäre es für dich von Vorteil, die Tür zu wechseln?“

„Ja, du solltest wechseln“, antwortete sie. „Die erste Tür hat eine 1/3-Chance zu gewinnen, aber die zweite Tür hat eine 2/3-Chance.“

Obwohl ihre Antwort richtig war, reagierte ein großer Teil der Akademiker mit Empörung. In den folgenden Monaten erhielt vos Savant mehr als 10.000 Briefe – unter anderem vom stellvertretenden Direktor des Center for Defense Information und von einem mathematischen Forschungsstatistiker der National Institutes of Health -, in denen sie als völlig inkompetent bezeichnet wurde:

Sie haben es vermasselt, und zwar gewaltig! Da Sie anscheinend Schwierigkeiten haben, das Grundprinzip zu begreifen, werde ich es Ihnen erklären. Nachdem der Gastgeber eine Ziege aufgedeckt hat, hast du jetzt eine Chance von eins zu zwei, richtig zu liegen. Unabhängig davon, ob Sie Ihre Wahl ändern oder nicht, bleibt die Chance gleich. Es gibt schon genug mathematische Analphabeten in diesem Land, da brauchen wir nicht auch noch den höchsten IQ der Welt. Schande!
Scott Smith, Ph.D.
University of Florida

Darf ich vorschlagen, dass Sie sich ein Standardlehrbuch über Wahrscheinlichkeit besorgen und nachschlagen, bevor Sie wieder versuchen, eine Frage dieser Art zu beantworten?
Charles Reid, Ph.D.
University of Florida

Ich bin sicher, dass Sie viele Briefe zu diesem Thema von Schülern und Studenten erhalten werden. Vielleicht sollten Sie ein paar Adressen für zukünftige Kolumnen aufbewahren.
W. Robert Smith, Ph.D.
Georgia State University

Die Frage in der Spielshow ist völlig falsch, und ich hoffe, dass diese Kontroverse die Öffentlichkeit auf die ernste nationale Krise in der mathematischen Bildung aufmerksam machen wird. Wenn Sie Ihren Irrtum eingestehen können, haben Sie einen konstruktiven Beitrag zur Lösung einer beklagenswerten Situation geleistet. Wie viele wütende Mathematiker sind nötig, um Sie umzustimmen?
E. Ray Bobo, Ph.D.
Georgetown University

Sie haben einen Fehler gemacht, aber sehen Sie die positive Seite. Wenn all diese Doktoren falsch lägen, wäre das Land in ernsten Schwierigkeiten.
Everett Harman, Ph.D.
U.S. Army Research Institute

Du bist die Ziege!
Glenn Calkins
Western State College

Vielleicht sehen Frauen mathematische Probleme anders als Männer.
Don Edwards
Sunriver, Oregon

Der Aufschrei war so groß, dass vos Savant gezwungen war, drei weitere Kolumnen zu schreiben, um zu erklären, warum ihre Logik richtig war. Selbst nach ihren gut formulierten, klaren Antworten wurde sie weiter beschimpft. „Ich glaube immer noch, dass Sie sich irren“, schrieb ein Mann fast ein Jahr später. „Es gibt so etwas wie weibliche Logik.“

Doch die Zahlen hinter vos Savants Schlussfolgerung lügen nicht.

Entlarvung des Monty-Hall-Problems

Da zwei Türen (eine mit einem Auto und die andere mit einer Ziege) übrig bleiben, nachdem der Gastgeber Tür Nr. 3 geöffnet hat, würden die meisten annehmen, dass die Wahrscheinlichkeit, das Auto zu wählen, ½ ist. Das ist nicht der Fall.

„Die Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/3 bei der ersten Wahl kann nicht auf 1/2 steigen, nur weil der Gastgeber eine verlierende Tür öffnet“, schreibt vos Savant. Wenn man sechs Spiele durchspielt, in denen alle möglichen Ergebnisse untersucht werden, wird deutlich, dass ein Türwechsel in zwei Dritteln (66,6 %) der Fälle zu einem Gewinn führt, während das Beibehalten der ursprünglichen Tür nur in einem Drittel (33,3 %) der Fälle zu einem Gewinn führt:

Eine andere Möglichkeit, dies zu betrachten, besteht darin, jede Möglichkeit des Türwechsels aufzuschlüsseln. Wie wir unten dargestellt haben, führen 6 der 9 möglichen Szenarien (zwei Drittel) dazu, das Auto zu gewinnen:

Diese Ergebnisse scheinen unseren intuitiven statistischen Impulsen zu widersprechen – warum also erhöht der Türwechsel unsere Gewinnchancen?

Die kurze Antwort ist, dass sich Ihre anfänglichen Gewinnchancen mit Tür 1 (⅓) nicht ändern, nur weil der Gastgeber eine Ziege hinter Tür 3 aufdeckt; stattdessen erhöht Halls Aktion die Chancen auf ⅔, dass Sie durch den Wechsel gewinnen.

Hier ist eine andere Möglichkeit, dies zu visualisieren. Stellen Sie sich vor, dass Monty Hall Ihnen statt drei Türen 100 Türen präsentiert; hinter 99 von ihnen befinden sich Ziegen, und hinter einer von ihnen ist das Auto. Sie wählen Tür Nr. 1, und Ihre anfängliche Chance, das Auto zu gewinnen, ist nun 1/100:

Angenommen, Monty Hall öffnet 98 der anderen Türen und zeigt hinter jeder eine Ziege. Jetzt haben Sie zwei Möglichkeiten: Sie können Tür Nr. 1 behalten oder zu Tür Nr. 100 wechseln:

Wenn Sie Tür Nr. 1 wählen, besteht eine 99/100 Chance, dass sich das Auto hinter einer der anderen Türen befindet. Die Tatsache, dass Monty Hall 98 Ziegen aufdeckt, ändert nichts an diesen anfänglichen Chancen – es „verschiebt“ lediglich diese 99/100 Chance zu Tür #100. Man kann entweder bei der ursprünglichen 1/100-Chance bleiben oder zu Tür Nr. 100 wechseln, wo die Wahrscheinlichkeit, das Auto zu gewinnen, viel höher ist.

Auch wenn die Mathematik und die Zahlen vos Savants Behauptung stützen – dass die Gewinnchancen auf ⅔ steigen, wenn man die Türen wechselt – muss man andere Faktoren berücksichtigen, die sie in ihrer Antwort nicht anspricht.

Die Psychologie der Rationalisierung

Monty Hall, Moderator von ‚Let’s Make a Deal‘

Im Jahr 1992, während die Kontroverse über vos Savants Antwort brodelte, setzte sich Monty Hall – der Moderator der Spielshow und Namensgeber des Problems – zu einem Interview mit der New York Times zusammen.

Hall stellte klar, dass die Dinge etwas anders liefen als das Szenario, das der Parade-Leser in der Kolumne von vos Savant dargestellt hatte. In der realen Show behielt er zum Beispiel die Befugnis, dem Kandidaten Bargeld anzubieten, damit er NICHT wechselt. Details wie diese, so sagte er, veränderten die Denkweise der Kandidaten:

„Sie würden denken, dass die Chancen auf ihre Tür nun auf 1 zu 2 gestiegen sind, so dass sie die Tür nur ungern aufgeben, egal wie viel Geld ich anbiete…Je höher ich kam, desto mehr dachte ich, dass das Auto dahinter steht. Ich wollte sie überreden, dorthin zu wechseln. Das ist die Art von Dingen, die ich tun kann, wenn ich die Kontrolle über das Spiel habe. Man mag denken, dass die Wahrscheinlichkeit für einen spricht, wenn man der Antwort in ihrer Spalte folgt, aber man muss auch den psychologischen Faktor berücksichtigen.“

Der „psychologische Faktor“, den Hall erwähnt, überträgt sich von den Regeln der Show auf die Variante des Problems, die wir in diesem Artikel vorgestellt haben. Das Monty-Hall-Problem verursacht sowohl bei den Kandidaten als auch bei den Problemlösern kognitive Dissonanz, ein Begriff, den Psychologen verwenden, um den „mentalen Stress zu beschreiben, den eine Person erfährt, die gleichzeitig zwei oder mehr widersprüchliche Überzeugungen, Ideen oder Werte vertritt oder mit neuen Informationen konfrontiert wird, die im Widerspruch zu bestehenden Überzeugungen, Ideen oder Werten stehen.“

Wenn Menschen mit Beweisen konfrontiert werden, die „ihren Überzeugungen widersprechen“ (z. B. dass die Gewinnchancen beim Wechseln von Türen ⅔ statt ½ betragen), reagieren sie zunächst mit der Widerlegung der Informationen, schließen sich dann mit gleichgesinnten Andersdenkenden zusammen und vertreten ihre eigene festgefahrene Meinung. Genau das ist die Mentalität der Tausenden von Neinsagern von vos Savant.

***

Mehr als 25 Jahre später wird immer noch über die Semantik des Monty-Hall-Problems und die Antwort von vos Savant gestritten – hauptsächlich über die Feinheiten der Aktionen des Wirtes.

„Unsere Gehirne sind einfach nicht dafür gemacht, Wahrscheinlichkeitsprobleme sehr gut zu lösen, daher bin ich nicht überrascht, dass es Fehler gab“, sagte der Stanford-Statistikprofessor Persi Diaconis vor Jahren einem Reporter. „

Schließlich aber machten viele derjenigen, die sich gemeldet hatten, um vos Savants Berechnungen zu korrigieren, einen Rückzieher und gaben zu, dass sie sich geirrt hatten.

Eine von vos Savant vorgeschlagene Übung zum besseren Verständnis des Problems wurde bald in Tausende von Klassenzimmern im ganzen Land integriert. Es wurden Computermodelle erstellt, die ihre Logik bestätigten, und die Unterstützung für ihren Intellekt wurde allmählich wiederhergestellt. Während zuvor nur 8 % der Leser an die Richtigkeit ihrer Logik geglaubt hatten, war diese Zahl bis Ende 1992 auf 56 % gestiegen, schreibt vos Savant; unter den Akademikern stieg die anfängliche Unterstützung von 35 % auf 71 %.

Unter den neuen Gläubigen war auch Robert Sachs, ein Mathematikprofessor an der George Mason University, der vos Savant ursprünglich einen bösen Brief geschrieben hatte, in dem er ihr mitteilte, dass sie es „vermasselt“ habe, und ihr anbot, bei der „Erklärung“ zu helfen. Nachdem er gemerkt hatte, dass er sich tatsächlich geirrt hatte, sah er sich gezwungen, ihr einen weiteren Brief zu schicken – dieses Mal, um seine Selbstgerechtigkeit zu bereuen.

„Nachdem ich meinen Fuß aus dem Mund genommen habe, esse ich jetzt Demutskuchen“, schrieb er. „Ich habe geschworen, als Buße all den Leuten zu antworten, die mir geschrieben haben, um mich zu züchtigen. Es war eine große berufliche Peinlichkeit.“

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Um gelegentliche Benachrichtigungen zu erhalten, wenn wir Blogbeiträge schreiben, tragen Sie sich bitte in unsere E-Mail-Liste ein. Dieser Beitrag wurde ursprünglich am 19. Februar 2015 veröffentlicht.