Mit sich gegenseitig ausschließenden und sich nicht gegenseitig ausschließenden Ereignissen
In der vorangegangenen Übung hast du gelernt, dass du schwierige Wahrscheinlichkeiten durch eine Simulation und mit Hilfe des Gesetzes der großen Zahlen herausfinden kannst. Theoretische Wahrscheinlichkeiten können je nach Situation mit vielen verschiedenen Strategien berechnet werden.
Bei Ereignissen, die sich gegenseitig ausschließen, handelt es sich um Ereignisse, die nicht zur gleichen Zeit stattfinden können. Beispiele sind: rechts und links abbiegen, gerade und ungerade Zahlen auf einem Würfel, ein Spiel gewinnen und verlieren oder laufen und gehen.
Ereignisse, die sich nicht gegenseitig ausschließen, sind Ereignisse, die zur gleichen Zeit stattfinden können. Beispiele sind: Autofahren und Radiohören, gerade Zahlen und Primzahlen auf einem Würfel, ein Spiel verlieren und ein Tor erzielen oder laufen und schwitzen.
Nicht sich gegenseitig ausschließende Ereignisse können die Wahrscheinlichkeitsberechnung komplizierter machen.
Spielemesse Reflexion
Spiel das Spiel „Eine Karte umdrehen“ auf der Spielemesse noch einmal.
Anhand der Definition von sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen, sind die verschiedenen Punkteergebnisse im Spiel sich gegenseitig ausschließend oder nicht?
Nimm dir etwas Zeit, um ein paar Gedanken zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten aufzuschreiben.
GamesFair
Lange Beschreibung
Das Problem, wenn man die Wahrscheinlichkeit nur als sich gegenseitig ausschließende Ereignisse versteht, ist, dass man diese Ereignisse auf eine Art und Weise vereinfacht, wie sie nicht vereinfacht werden sollten. Das ist fast so tragisch wie die Behauptung, dass Menschen nicht gut sein und Geld verdienen oder gut in Mathematik und sehr kreativ sein können. Das folgende Video zeigt, wie wichtig es ist, Ereignisse als sich nicht gegenseitig ausschließend zu erkennen.
Venn-Diagramme
Dies ist ein Venn-Diagramm, das alle Karten in einem Standardsatz von 52 Karten zeigt. A ist die Menge der Nicht-Gesichtskarten.
Venn-Diagramme sind eine Möglichkeit zur Darstellung von Ereignissen und können zur Darstellung einfacher Situationen verwendet werden, in denen nur ein Ereignis auftritt.
Sie können auch zur Darstellung mehrerer Ereignisse verwendet werden.
Sie sind besonders nützlich, wenn nicht gegenseitig ausschließende Ereignisse dargestellt werden.
In dieser Übung werden Sie sie verwenden, um 2 oder 3 Ereignisse gleichzeitig darzustellen und die Beziehung zwischen den Ereignissen zu analysieren.
Die Schnittmenge von Mengen
Betrachten Sie das Venn-Diagramm für die Frage nach 50 Patienten aus Minds On.
Wir verwenden die Notation 
als „Schnittpunkt“ der beiden Mengen, ein Element in A und B.
In diesem Beispiel stellt 
die Überschneidung der Symptome dar, oder die Patienten, die sowohl Kopfschmerzen „UND“ Grippesymptome haben.
Sie werden die Schnittmenge als das Wort „UND“ kennenlernen.
Protokollieren Sie Ihre Arbeit
Sie wurden gebeten, herauszufinden, wie viele Personen in die Kategorie „UND“ fallen, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass ein Patient beide Symptome hat. Seien Sie versichert, dass es nur eine Möglichkeit gibt, dies zu tun.
Verwenden Sie das folgende interaktive Diagramm, um die Anzahl der Personen zu ermitteln, die beide Symptome im Beispiel haben.
Zu Beginn der Grippesaison untersucht ein Arzt 50 Patienten an zwei Tagen. 30 haben Kopfschmerzen, 24 haben eine Erkältung, 12 haben keines von beiden. Einige Patienten haben beide Symptome. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliger Patient beide Symptome hat?
VennDiagramm
Lange Beschreibung
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In Wörtern |
In Symbole |
In Symbolen |
|---|---|---|
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Alle rot |
n(A) = |
P(A) = |
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Alle Zahlen |
n(B) = |
P(B) = |
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Alle Karten |
n(S) = |
P(S) = |
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Intersection: Sowohl Nummer als auch Rot |
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Nur Rot (rote Karten, die keine Nummernkarten sind) |
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Nur Zahl (Zahlenkarten, die keine roten Karten sind) |
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Union: Rot oder Zahl |
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Alles andere |
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= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= Das Prinzip der Inklusion-Ausschluss
Betrachten Sie das Venn-Diagramm. Wenn du n(A) und n(B) addierst, zählst du den Kreuzungspunkt zweimal. Man sollte nie ein Element zweimal zählen, um herauszufinden, wie viele man hat. Wenn du es zweimal gezählt hast, gibt es eine einfache Möglichkeit, das zu korrigieren: Ziehe es einmal ab.
Das Prinzip des Einschlusses-Ausschlusses ist eine nützliche Formel/Idee bei der Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten und wird für sich nicht gegenseitig ausschließende Ereignisse verwendet.
Es kann wie folgt geschrieben werden:
oder in Worten: die Anzahl der Elemente in A „ODER“ B ist gleich der Anzahl der Elemente in A plus der Anzahl der Elemente in B subtrahiert die Anzahl der Elemente in A „UND“ B.
Wenden Sie das Gelernte an
Verwenden Sie die Formel, die das Prinzip der Inklusion-Exklusion darstellt, um das ursprüngliche Problem zu lösen:
Zu Beginn der Grippesaison untersucht ein Arzt an zwei Tagen 50 Patienten. 30 haben Kopfschmerzen, 24 haben eine Erkältung, 12 haben keines von beiden. Einige Patienten haben beide Symptome. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliger Patient beide Symptome hat?
Zeigen Sie Ihre Lösungsschritte und erläutern Sie (Definition: Nehmen Sie sich die Zeit, Erklärungen für alles aufzuschreiben, was nicht offensichtlich ist oder was einige Überlegungen erforderte, die sonst nicht gezeigt werden.) Ihre Antwort.
Lösung
- 8 haben nur eine Erkältung,
- 14 haben nur Kopfschmerzen,
- 16 haben beides.
Venn-Diagramm mit 3 Ereignissen
Venn-Diagramme und sich gegenseitig ausschließende Ereignisse werden nicht nur bei zwei verschiedenen Ereignissen verwendet. Auch drei Ereignisse, obwohl komplizierter, können in einem Venn-Diagramm verwendet werden. Wenn die richtige Strategie angewandt wird, kann dies auf effektive Weise geschehen.
Beispiel
Das Student Services Department an der Eastside Secondary möchte die Anzahl der Schüler in Klasse 12 zählen. Sie wissen, dass jeder Schüler Mathematik, Englisch oder Naturwissenschaften belegt. Das haben sie herausgefunden:
- 64 Schüler belegen Mathematik
- 56 Schüler belegen Englisch
- 82 Schüler belegen Naturwissenschaften
- 20 Schüler belegen Mathematik und Englisch
- 25 Schüler belegen Mathematik und Naturwissenschaften
- 21 Schüler belegen Englisch und Naturwissenschaften
- 12 Schüler belegen alle drei Kurse.
Erstelle ein Venn-Diagramm mit drei Ereignissen, ähnlich dem untenstehenden. Fülle jeden Abschnitt deines Venn-Diagramms aus und achte darauf, dass jeder Schüler nur einer Kategorie angehört.
- Wie viele Schüler gibt es insgesamt?
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliger Schüler Mathematik und Naturwissenschaften belegt?
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliger Schüler Mathematik oder Naturwissenschaften belegt?
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler genau 2 der 3 Fächer belegt?
Lösung
- 12 alle drei,
- 9 in E und S aber nicht M,
- 13 in M und S, aber nicht E,
- 8 in M und E, aber nicht S,
- 48 nur in S,
- 27 nur in E,
- 31 nur in M.
Hilfe bei dieser Frage bietet das folgende ähnliche Beispiel.