Wir haben bereits einen Ort, der darauf wartet, dass wir ihn mit Graphen überziehen, also lasst uns den Vorteil nutzen. Wir beginnen mit der grafischen Darstellung des geordneten Paares (2, 3). Dazu beginnen wir am Ursprung, gehen 2 nach rechts, 3 nach oben und zeichnen dann einen Punkt, wo wir gelandet sind. Es ist fast so, als ob wir einer Schatzkarte folgen würden. Zuerst gehen wir entlang der x-Achse nach links oder rechts, um herauszufinden, wo „x“ die Stelle markiert, dann gehen wir entlang der y-Achse nach oben oder unten, wenn wir wissen wollen, „warum“ der Schatz nicht in der Truhe war, wo er eigentlich sein sollte. Dann machen wir den Schlauberger ausfindig, der uns diese gefälschte Karte überhaupt erst gegeben hat.
Die erste Zahl in einem geordneten Paar sagt uns, wie weit wir auf der x-Achse (horizontale Zahlenlinie) nach links oder rechts gehen müssen, und die zweite Zahl in dem geordneten Paar sagt uns, wie weit wir auf der y-Achse (vertikale Zahlenlinie) nach oben oder unten gehen müssen. Da x im Alphabet vor y steht, gehört x zur ersten Zahl und y zur zweiten Zahl.
Diese Zahlen werden Koordinaten genannt. Sie „koordinieren“ sich gegenseitig, um einen bestimmten Punkt im Diagramm zu erreichen. Die erste Zahl in einem geordneten Paar ist die x-Koordinate und die zweite Zahl ist die y-Koordinate. Der Punkt, den wir zeichnen, um das geordnete Paar darzustellen, wird Punkt genannt. Du kannst auf einen Punkt schauen, aber zeige nicht auf ihn. Das ist unhöflich.
Wenn wir einen Punkt grafisch darstellen, indem wir entlang der x-Achse und dann der y-Achse reisen, ist es fast so, als ob wir entlang zweier Seiten eines imaginären Rechtecks reisen. Es dürfte daher nicht überraschen, dass wir das so genannte rechtwinklige Koordinatensystem verwenden, das auch als kartesisches Koordinatensystem bekannt ist. Vielleicht wird es häufiger als „kartesisches Koordinatensystem“ bezeichnet, was bedauerlich ist, da es keine Form namens Kartesel gibt. Wir können jedoch so tun, als gäbe es eines und als sähe es genau wie ein Rechteck aus.
Problembeispiel
Grafik des geordneten Paares (5, -2).
Die x-Koordinate ist 5 und die y-Koordinate ist -2, was bedeutet, dass wir am Ursprung beginnen, auf der x-Achse 5 nach rechts zählen und dann auf der y-Achse 2 nach unten zählen. Dieses Mal haben wir eine negative y-Koordinate, so dass unser Jo-Jo nach unten fliegt.
Technisch gesehen ist ein Punkt das, was wir erhalten, wenn wir ein geordnetes Paar grafisch darstellen. In der Praxis werden der Ausdruck „geordnetes Paar“ und das Wort „Punkt“ austauschbar verwendet. Sie können versuchen, dies in ein Alltagsgespräch einzubauen. „Hm… Sie haben da ein gutes geordnetes Paar“, oder „Könnten Sie mir ein geordnetes Paar in Richtung Postamt geben?“
Okay, also vielleicht funktioniert es im Englischen nicht so gut.
Wir können über den „Punkt“ (3, 4) sprechen, der die Koordinaten 3 und 4 hat. Man kann uns auffordern, einen Punkt statt eines geordneten Paares grafisch darzustellen. Man kann nichts falsch machen, solange man sich daran erinnert, dass es sich um ein und dasselbe handelt.
Neben der Verwendung von Koordinaten, um einen Punkt grafisch darzustellen, können wir auch rückwärts vorgehen, d.h. wir können einen Punkt in einem Diagramm betrachten und seine Koordinaten herausfinden. Das ist so, als würde man mit einem Schatz beginnen und dann nach der Schatzkarte suchen. Wir sind uns nicht sicher, ob jemand, der bei klarem Verstand ist, die Dinge in dieser Reihenfolge tun würde, aber es geht. Um uns zu beruhigen, nehmen wir vorerst an, dass dieses Verfahren beim Umgang mit Funktionen nützlicher ist als beim Umgang mit Golddublonen.
Beispielproblem
Wie lauten die Koordinaten des unten eingezeichneten Punktes?
Um vom Ursprung zu diesem Punkt zu gelangen, müssen wir 1 nach rechts (entlang der x-Achse) und 2 nach oben (entlang der y-Achse) gehen. Die Koordinaten des Punktes sind also (1, 2). Wenigstens ist es keine lange Reise vom Ursprung und es gibt keine Zwischenstopps. Es wäre ärgerlich, wenn wir bei (1, 1) ein paar Stunden stehen bleiben müssten, während wir auf eine Anschlusskoordinate warten.
Bis jetzt hatten alle Punkte, die wir grafisch dargestellt haben, ganzzahlige Koordinaten. Diese Punkte lassen sich leicht grafisch darstellen, aber bei fortgeschrittenen Problemen werden wir auch Punkte mit nicht ganzzahligen Koordinaten grafisch darstellen müssen. Das hat den Nachteil, dass die Dinge etwas komplizierter werden. Auf der anderen Seite können wir jetzt, da wir uns nicht mehr an ein Gitter halten müssen, einige interessantere Bilder zeichnen.
Wie bei der Zahlengeraden können wir Punkte mit nicht-ganzzahligen Koordinaten ungefähr an der richtigen Stelle einzeichnen und dann beschriften, damit andere Leute genau wissen, wo sie sind. Hoffentlich holt niemand ein Lineal heraus, nur um zu beweisen, dass dein Punkt um einen halben Millimeter daneben liegt. Wenn doch, dann haben sie viel zu viel Zeit.