Geometrie der Hamiltonschen SystemeEdit

Der Hamiltonianer kann eine symplektische Struktur auf einer glatten, geraddimensionalen Mannigfaltigkeit M2n auf verschiedene, aber äquivalente Weisen induzieren, von denen die bekanntesten die folgenden sind:

Als geschlossene, nicht entartete symplektische 2-Form ω. Nach dem Satz von Darboux ist in einer kleinen Nachbarschaft um jeden Punkt auf M in geeigneten lokalen Koordinaten p 1 , ⋯ , p n , q 1 , ⋯ , q n {\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n},\ q_{1},\cdots ,q_{n}}

existiert die symplektische Form ω = ∑ i = 1 n d p i ∧ d q i {\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}}

Die lokalen Koordinaten p, q werden dann als kanonisch oder symplektisch bezeichnet.

Die Form ω {\displaystyle \omega }

erlaubt die Konstruktion eines natürlichen Isomorphismus T x M ≅ T x ∗ M {\displaystyle T_{x}M\cong T_{x}^{*}M}

des Tangentenraums T x M {\displaystyle T_{x}M}

und des Kotangensraumes T x ∗ M . {\displaystyle T_{x}^{*}M.}

Dies geschieht durch Abbildung eines Vektors ξ ∈ T x M {\displaystyle \xi \in T_{x}M}

auf die 1-Form ω ξ ∈ T x ∗ M , {\displaystyle \omega _{\xi }\in T_{x}^{*}M,}

wobei ω ξ ( η ) = ω ( η , ξ ) , {\displaystyle \omega _{\xi }(\eta )=\omega (\eta ,\xi ),}

für ein beliebiges η ∈ T x M . {\displaystyle \eta \in T_{x}M.}

Aufgrund der Bilinearität und Nicht-Entartung von ω , {\displaystyle \omega ,}

und der Tatsache, dass d i m T x M = d i m T x ∗ M , {\displaystyle \mathop {\rm {dim}} T_{x}M=\mathop {\rm {dim}} T_{x}^{*}M,}

die Abbildung ξ → ω ξ {\displaystyle \xi \to \omega _{\xi }}

ist tatsächlich ein linearer Isomorphismus. Dieser Isomorphismus ist insofern natürlich, als er sich nicht mit der Änderung der Koordinaten auf M ändert. {M.}

Wiederholt man für jedes x ∈ M , {\displaystyle x\in M,}

so erhält man einen Isomorphismus J – 1 : Vect ( M ) → Ω 1 ( M ) {\displaystyle J^{-1}:{\text{Vect}}(M)\zu \Omega ^{1}(M)}

zwischen dem unendlich-dimensionalen Raum der glatten Vektorfelder und dem der glatten 1-Formen. Für jedes f , g ∈ C ∞ ( M , R ) {\displaystyle f,g\in C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}

und ξ , η ∈ Vect ( M ) , {\displaystyle \xi ,\eta \in {\text{Vect}}(M),}

J – 1 ( f ξ + g η ) = f J – 1 ( ξ ) + g J – 1 ( η ) . {\displaystyle J^{-1}(f\xi +g\eta )=fJ^{-1}(\xi )+gJ^{-1}(\eta ).}

(Algebraisch ausgedrückt würde man sagen, dass die C ∞ ( M , R ) {\displaystyle C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}

-Module Vect ( M ) {\displaystyle {\text{Vect}}(M)}

und Ω 1 ( M ) {\displaystyle \Omega ^{1}(M)}

sind isomorph). Wenn H ∈ C ∞ ( M × R t , R ) , {\displaystyle H\in C^{\infty }(M\times \mathbb {R} _{t},\mathbb {R} ),}

dann, für jedes feste t ∈ R t , {\displaystyle t\in \mathbb {R} _{t},}

d H ∈ Ω 1 ( M ) , {\displaystyle dH\in \Omega ^{1}(M),}

und J ( d H ) ∈ Vect ( M ) . {\displaystyle J(dH)\in {\text{Vect}}(M).}

J ( d H ) {\displaystyle J(dH)}

ist ein sogenanntes Hamilton-Vektorfeld. Die entsprechende Differentialgleichung auf M {\displaystyle M}

x ˙ = J ( d H ) ( x ) {\displaystyle {\dot {x}}=J(dH)(x)}

nennt man die Hamiltonsche Gleichung. Hier ist x = x ( t ) {\displaystyle x=x(t)}

und J ( d H ) ( x ) ∈ T x M {\displaystyle J(dH)(x)\in T_{x}M}

ist der (zeitabhängige) Wert des Vektorfeldes J ( d H ) {\displaystyle J(dH)}

bei x ∈ M . {\displaystyle x\in M.}

Ein Hamilton-System kann als Faserbündel E über der Zeit R verstanden werden, wobei die Fasern Et, t ∈ R, den Positionsraum darstellen. Die Lagrange ist also eine Funktion auf dem Strahlenbündel J über E; nimmt man die faserweise Legendre-Transformation der Lagrange, so erhält man eine Funktion auf dem dualen Bündel über der Zeit, dessen Faser bei t der Kotangensraum T∗Et ist, der mit einer natürlichen symplektischen Form ausgestattet ist, und diese letztere Funktion ist die Hamiltonsche. Die Korrespondenz zwischen Lagrangescher und Hamiltonscher Mechanik wird durch die tautologische Einform erreicht.

Jede glatte reellwertige Funktion H auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit kann zur Definition eines Hamiltonschen Systems verwendet werden. Die Funktion H wird als „der Hamiltonian“ oder „die Energiefunktion“ bezeichnet. Die symplektische Mannigfaltigkeit wird dann als Phasenraum bezeichnet. Der Hamiltonianer induziert ein spezielles Vektorfeld auf der symplektischen Mannigfaltigkeit, das als Hamiltonianisches Vektorfeld bezeichnet wird.

Das Hamiltonianische Vektorfeld induziert einen Hamiltonianischen Fluss auf der Mannigfaltigkeit. Dies ist eine einparametrige Familie von Transformationen der Mannigfaltigkeit (der Parameter der Kurven wird allgemein „die Zeit“ genannt); mit anderen Worten, eine Isotopie von Symplektomorphismen, beginnend mit der Identität. Nach dem Liouville-Theorem bewahrt jeder Symplektomorphismus die Volumenform im Phasenraum. Die Sammlung von Symplektomorphismen, die durch den Hamiltonschen Fluss induziert wird, wird allgemein als „die Hamiltonsche Mechanik“ des Hamiltonschen Systems bezeichnet.

Die symplektische Struktur induziert eine Poisson-Klammer. Die Poisson-Klammer gibt dem Raum der Funktionen auf der Mannigfaltigkeit die Struktur einer Lie-Algebra.

Wenn F und G glatte Funktionen auf M sind, dann ist die glatte Funktion ω2(IdG, IdF) richtig definiert; sie heißt Poisson-Klammer der Funktionen F und G und wird mit {F, G} bezeichnet. Die Poisson-Klammer hat die folgenden Eigenschaften:

1. Bilinearität
2. Antisymmetrie
3. { F 1 ⋅ F 2 , G } = F 1 { F 2 , G } + F 2 { F 1 , G } {\displaystyle \{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}}
   

   (Leibnizsche Regel)

4. { { H , F } , G } + { { F , G } , H } + { { G , H } , F } ≡ 0 {\displaystyle \{\{H,F\},G\}+\{\{F,G\},H\}+\{\{G,H\},F\}\equiv 0}
   

   (Jacobi-Identität)

5. Nicht-Entartung: wenn der Punkt x auf M nicht kritisch für F ist, dann existiert eine glatte Funktion G, so dass { F , G } ( x ) ≠ 0 {\displaystyle \{F,G\}(x)\neq 0}
   

   .

Gibt eine Funktion f

d d t f = ∂ ∂ t f + { f , H } , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f={\frac {\partial }{\partial t}}f+\left\{f,{\mathcal {H}}\right\},}

wenn es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt, ρ, dann (da die Phasenraumgeschwindigkeit ( p ˙ i , q ˙ i ) {\displaystyle ({\dot {p}}_{i},{\dot {q}}_{i})}

eine Divergenz von Null hat und die Wahrscheinlichkeit erhalten bleibt) kann gezeigt werden, dass ihre konvektive Ableitung Null ist und somit ∂ ∂ t ρ = – { ρ , H } {t ρ = – { ρ , H }

Dies nennt man den Satz von Liouville. Jede glatte Funktion G über der symplektischen Mannigfaltigkeit erzeugt eine einparametrige Familie von Symplektomorphismen, und wenn {G, H} = 0 ist, dann ist G konserviert und die Symplektomorphismen sind Symmetrietransformationen.

Ein Hamiltonian kann mehrere konservierte Größen Gi haben. Wenn die symplektische Mannigfaltigkeit die Dimension 2n hat und es n funktional unabhängige konservierte Größen Gi gibt, die in Involution sind (d.h. {Gi, Gj} = 0), dann ist der Hamiltonianer Liouville-integrierbar. Das Liouville-Arnold-Theorem besagt, dass lokal jeder Liouville-integrierbare Hamiltonianer durch einen Symplektomorphismus in einen neuen Hamiltonianer mit den erhaltenen Größen Gi als Koordinaten transformiert werden kann; die neuen Koordinaten werden Aktionswinkelkoordinaten genannt. Der transformierte Hamiltonian hängt nur von den Gi ab, und daher haben die Bewegungsgleichungen die einfache Form

G ˙ i = 0 , φ ˙ i = F i ( G ) {\displaystyle {\dot {G}}_{i}=0\quad ,\quad {\dot {\varphi }}_{i}=F_{i}(G)}

für irgendeine Funktion F. Es gibt ein ganzes Gebiet, das sich mit kleinen Abweichungen von integrablen Systemen beschäftigt, die dem KAM-Theorem unterliegen.

Die Integrabilität von Hamilton-Vektorfeldern ist eine offene Frage. Hamiltonsche Systeme sind im Allgemeinen chaotisch; die Begriffe Maß, Vollständigkeit, Integrabilität und Stabilität sind schlecht definiert.

Riemannsche MannigfaltigkeitenEdit

Ein wichtiger Spezialfall sind Hamiltonianer, die quadratische Formen sind, d.h., Hamiltonianer, die geschrieben werden können als

H ( q , p ) = 1 2 ⟨ p , p ⟩ q {\displaystyle {\mathcal {H}}(q,p)={\tfrac {1}{2}}\langle p,p\rangle _{q}}

wobei ⟨ , ⟩q ein gleichmäßig variierendes inneres Produkt auf den Fasern T∗
qQ, dem Kotangensraum zum Punkt q im Konfigurationsraum, ist, der manchmal auch als Kometrik bezeichnet wird. Dieser Hamiltonian besteht ausschließlich aus dem kinetischen Term.

Betrachtet man eine Riemannsche Mannigfaltigkeit oder eine pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit, so induziert die Riemannsche Metrik einen linearen Isomorphismus zwischen den Tangenten- und Kotangentenbündeln. (Siehe Musikalischer Isomorphismus). Mit Hilfe dieses Isomorphismus kann man eine Kometrie definieren. (In Koordinaten ist die Matrix, die die Kometrie definiert, die Umkehrung der Matrix, die die Metrik definiert). Die Lösungen der Hamilton-Jacobi-Gleichungen für diesen Hamiltonian sind dann die gleichen wie die Geodäten auf der Mannigfaltigkeit. Insbesondere ist der Hamilton’sche Fluss in diesem Fall derselbe wie der geodätische Fluss. Die Existenz solcher Lösungen und die Vollständigkeit der Lösungsmenge werden in dem Artikel über Geodäten ausführlich behandelt. Siehe auch Geodäten als Hamiltonsche Flüsse.

Sub-Riemannsche MannigfaltigkeitenBearbeiten

Wenn die Kometrie entartet ist, dann ist sie nicht invertierbar. In diesem Fall hat man keine riemannsche Mannigfaltigkeit, da man keine Metrik hat. Der Hamiltonian existiert jedoch weiterhin. In dem Fall, in dem die Kometrie in jedem Punkt q der Konfigurationsraum-Mannigfaltigkeit Q entartet ist, so dass der Rang der Kometrie kleiner ist als die Dimension der Mannigfaltigkeit Q, hat man eine sub-Riemannsche Mannigfaltigkeit.

Den Hamiltonianer in diesem Fall nennt man einen sub-Riemannschen Hamiltonianer. Jeder solche Hamiltonianer bestimmt eindeutig die Kometrie und umgekehrt. Dies impliziert, dass jede sub-Riemannsche Mannigfaltigkeit eindeutig durch ihren sub-Riemannschen Hamiltonianer bestimmt ist, und dass umgekehrt jede sub-Riemannsche Mannigfaltigkeit einen eindeutigen sub-Riemannschen Hamiltonianer hat. Die Existenz von sub-Riemannschen Geodäten wird durch den Satz von Chow-Rashevskii gegeben.

Die kontinuierliche, reellwertige Heisenberg-Gruppe liefert ein einfaches Beispiel für eine sub-Riemannsche Mannigfaltigkeit. Für die Heisenberg-Gruppe ist der Hamiltonian gegeben durch

H ( x , y , z , p x , p y , p z ) = 1 2 ( p x 2 + p y 2 ) {\displaystyle {\mathcal {H}}\left(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right)}

pz ist nicht am Hamiltonian beteiligt.

Poisson-AlgebrenEdit

Hamiltonsche Systeme können auf verschiedene Weise verallgemeinert werden. Anstatt einfach die Algebra glatter Funktionen über einer symplektischen Mannigfaltigkeit zu betrachten, kann die Hamiltonsche Mechanik auf allgemeinen kommutativen unitalen reellen Poisson-Algebren formuliert werden. Ein Zustand ist ein kontinuierliches lineares Funktional auf der Poisson-Algebra (mit einer geeigneten Topologie), so dass für jedes Element A der Algebra, A2 auf eine nichtnegative reelle Zahl abbildet.

Eine weitere Verallgemeinerung ist durch die Nambu-Dynamik gegeben.

Verallgemeinerung auf die Quantenmechanik durch Poisson-KlammerEdit

Die obigen Hamilton-Gleichungen funktionieren gut für die klassische Mechanik, aber nicht für die Quantenmechanik, da die besprochenen Differentialgleichungen davon ausgehen, dass man die genaue Position und den Impuls des Teilchens zu jedem Zeitpunkt gleichzeitig angeben kann. Die Gleichungen können jedoch weiter verallgemeinert werden, so dass sie sowohl für die Quantenmechanik als auch für die klassische Mechanik gelten, und zwar durch die Deformation der Poisson-Algebra über p und q zur Algebra der Moyal-Klammern.

Die allgemeinere Form der Hamilton-Gleichung lautet

d f d t = { f , H } + ∂ f ∂ t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\left\{f,{\mathcal {H}}\right\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}}

wobei f eine Funktion von p und q ist und H der Hamiltonianer ist. Um die Regeln für die Auswertung einer Poisson-Klammer ohne Rückgriff auf Differentialgleichungen zu erfahren, siehe Lie-Algebra; eine Poisson-Klammer ist die Bezeichnung für die Lie-Klammer in einer Poisson-Algebra. Diese Poisson-Klammern können dann zu Moyal-Klammern erweitert werden, die einer inäquivalenten Lie-Algebra entsprechen, wie Hilbrand J. Groenewold bewiesen hat, und beschreiben so die quantenmechanische Diffusion im Phasenraum (siehe die Phasenraumformulierung und die Wigner-Weyl-Transformation). Dieser algebraischere Ansatz ermöglicht nicht nur die Erweiterung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen im Phasenraum zu Wigner-Quasi-Wahrscheinlichkeitsverteilungen, sondern bietet auch im Rahmen der klassischen Poisson-Klammer mehr Möglichkeiten für die Analyse der relevanten konservierten Größen in einem System.