Lagrangesche Funktion, auch Lagrangesche Funktion genannt, Größe, die den Zustand eines physikalischen Systems charakterisiert. In der Mechanik ist die Lagrangesche Funktion einfach die kinetische Energie (Bewegungsenergie) abzüglich der potentiellen Energie (Lageenergie).
Man kann sich vorstellen, dass ein physikalisches System, das sich im Laufe der Zeit von einem Zustand oder einer Konfiguration in eine andere verwandelt, einen bestimmten Evolutionspfad durchläuft, und man kann sich fragen, warum es unter diesem Gesichtspunkt diesen bestimmten Pfad aus allen denkbaren Pfaden auswählt. Die Antwort lautet, dass das physikalische System die Werte seiner Lagrangeschen Funktion für alle Punkte entlang jedes denkbaren Pfades summiert und dann den Pfad mit dem kleinsten Ergebnis auswählt. Diese Antwort deutet darauf hin, dass die Lagrangesche Funktion etwas misst, das den Entfernungsinkrementen entspricht. In diesem Fall kann man auf abstrakte Weise sagen, dass physikalische Systeme immer die kürzesten Wege nehmen.
Im speziellen Fall eines Lichtstrahls ist der Weg der Systemkonfigurationen nur der gewöhnliche Weg des Lichts durch den Raum, und die Lagrangesche Funktion reduziert sich einfach auf ein Maß für den Zeitablauf. Der besondere gekrümmte Weg, den ein Lichtstrahl durch eine brechende Linse nimmt, ist daher nur derjenige, der am wenigsten Zeit in Anspruch nimmt.
Das Prinzip ist jedoch viel allgemeiner als das, und es ist eine bemerkenswerte Entdeckung, dass es alle Phänomene gleichermaßen gut zu beschreiben scheint, einschließlich zum Beispiel der Reise einer Rakete zum Mond und der Wahrscheinlichkeit, dass kollidierende subatomare Teilchen sich in ausgewählte Richtungen streuen.