In diesem Artikel lernen Sie etwas über Permutations- und Kombinationsprobleme: Definition, Formeln, gelöste Beispiele und ein Quiz mit Übungsfragen.

Permutationen

Definition

Permutationen sind die verschiedenen Arten, in denen eine Sammlung von Gegenständen angeordnet werden kann.

Zum Beispiel:

Die verschiedenen Arten, auf die die Alphabete A, B und C gruppiert werden können, sind ABC, ACB, BCA, CBA, CAB, BAC.

Beachte, dass ABC und CBA nicht gleich sind, da die Reihenfolge der Anordnung unterschiedlich ist. Die gleiche Regel gilt beim Lösen eines Problems in Permutationen.

Die Anzahl der Möglichkeiten, auf die n Dinge angeordnet werden können, alle auf einmal genommen, nPn = n!

Faktorielle Formel

Die Fakultät einer Zahl n ist definiert als das Produkt aller Zahlen von n bis 1.

Zum Beispiel ist die Fakultät von 5, 5! = 5*4*3*2*1 = 120.

Daher ist die Anzahl der Möglichkeiten, auf die die 3 Buchstaben angeordnet werden können, jeweils genommen, 3! = 3*2*1 = 6 Möglichkeiten.

Anzahl der Permutationen von n Dingen, jeweils genommen r, bezeichnet durch:

nPr = n! / (n-r)!

Zum Beispiel:

Die verschiedenen Möglichkeiten, wie die 3 Buchstaben, jeweils 2 auf einmal genommen, angeordnet werden können, ist 3!/(3-2)! = 3!/1! = 6 Möglichkeiten.

Wichtige Permutationsformeln

1! = 1

0! = 1
Schauen wir uns einige Beispiele an:

Problem 1: Finde die Anzahl der Wörter, mit oder ohne Bedeutung, die mit den Buchstaben des Wortes „CHAIR“ gebildet werden können.

Lösung:

‚CHAIR‘ enthält 5 Buchstaben.

Daher ist die Anzahl der Wörter, die mit diesen 5 Buchstaben gebildet werden können = 5! = 5*4*3*2*1 = 120.

Problem 2: Finde die Anzahl der Wörter, mit oder ohne Bedeutung, die mit den Buchstaben des Wortes ‚INDIA‘ gebildet werden können.

Lösung:

Das Wort ‚INDIA‘ besteht aus 5 Buchstaben, wobei das ‚I‘ zweimal vorkommt.

Wenn ein Buchstabe mehr als einmal in einem Wort vorkommt, dividiert man die Fakultät der Anzahl aller Buchstaben im Wort durch die Anzahl der Vorkommen jedes Buchstabens.

Daher ist die Anzahl der Wörter, die von ‚INDIA‘ gebildet werden = 5!/2! = 60.

Problem 3: Finde die Anzahl der Wörter, mit oder ohne Bedeutung, die mit den Buchstaben des Wortes ‚SCHWIMMEN‘ gebildet werden können?

Lösung:

Das Wort ‚SCHWIMMEN‘ enthält 8 Buchstaben. Davon kommt I zweimal und M zweimal vor.

Daher ist die Anzahl der Wörter, die aus diesem Wort gebildet werden = 8! / (2!*2!) = 10080.

Problem 4: Wie viele verschiedene Wörter kann man mit den Buchstaben des Wortes ‚SUPER‘ so bilden, dass die Vokale immer zusammenkommen?

Lösung:

Das Wort ‚SUPER‘ enthält 5 Buchstaben.

Um die Anzahl der Permutationen zu finden, die gebildet werden können, bei denen die beiden Vokale U und E zusammenkommen,

gruppieren wir in diesen Fällen die Buchstaben, die zusammenkommen sollen, und betrachten diese Gruppe als einen Buchstaben.

Die Buchstaben sind also S,P,R, (UE). Jetzt sind es 4 Wörter.

Daher ist die Anzahl der Möglichkeiten, wie 4 Buchstaben angeordnet werden können, 4!

Bei U und E ist die Anzahl der Möglichkeiten, wie U und E angeordnet werden können, 2!

Die Gesamtzahl der Möglichkeiten, wie die Buchstaben des „SUPER“ so angeordnet werden können, dass die Vokale immer zusammen sind, ist also 4! * 2! = 48 Möglichkeiten.

Problem 5: Finde die Anzahl der verschiedenen Wörter, die mit den Buchstaben des Wortes ‚BUTTER‘ so gebildet werden können, dass die Vokale immer zusammen sind.

Lösung:

Das Wort ‚BUTTER‘ besteht aus 6 Buchstaben.

Die Buchstaben U und E sollen immer zusammenkommen. Die Buchstaben sind also B, T, T, R, (UE).

Anzahl der Möglichkeiten, wie die obigen Buchstaben angeordnet werden können = 5!/2! = 60 (da der Buchstabe ‚T‘ zweimal wiederholt wird).

Anzahl der Möglichkeiten, wie U und E angeordnet werden können = 2! = 2 Möglichkeiten

Daher ist die Gesamtzahl der möglichen Permutationen = 60*2 = 120 Möglichkeiten.
Problem 6: Finde die Anzahl der Permutationen der Buchstaben des Wortes ‚REMAINS‘ so, dass die Vokale immer an ungeraden Stellen vorkommen.

Lösung:

Das Wort ‚REMAINS‘ hat 7 Buchstaben.

Es enthält 4 Konsonanten und 3 Vokale.

Die folgende Schreibweise erleichtert die Lösung dieser Art von Fragen.

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

Anzahl der Möglichkeiten, wie 3 Vokale an 4 verschiedenen Stellen vorkommen können = 4P3 = 24 Möglichkeiten.

Nachdem 3 Vokale 3 Stellen einnehmen, kann die Anzahl der Möglichkeiten, wie 4 Konsonanten 4 Stellen einnehmen können = 4P4 = 4! = 24 Möglichkeiten.

Daher ist die Gesamtzahl der möglichen Permutationen = 24*24 = 576 Möglichkeiten.

Kombinationen Definition Die verschiedenen Auswahlen, die aus einer Sammlung von Elementen möglich sind, werden Kombinationen genannt.

Beispiel:

Die verschiedenen Auswahlmöglichkeiten aus den Alphabeten A, B, C, jeweils 2 auf einmal, sind AB, BC und CA.

Es spielt keine Rolle, ob wir A nach B oder B nach A auswählen. Die Reihenfolge der Auswahl ist bei Kombinationen nicht wichtig.

Um die Anzahl der möglichen Kombinationen aus einer gegebenen Gruppe von Elementen n zu finden, die jeweils r genommen werden, lautet die Formel, die mit nCr bezeichnet wird

nCr = n! /

Zum Beispiel, um das obige Beispiel zu verifizieren, sind die verschiedenen möglichen Auswahlen aus den Alphabeten A, B, C, jeweils zwei auf einmal genommen,

3C2 = 3! / (2! * (3-2)!) = 3 mögliche Auswahlen (d.h., AB, BC, CA)

Wichtige Kombinationsformeln

nCn = 1

nC0 = 1

nC1 = n

nCr = nC(n-r)

Die Anzahl der Auswahlen, die möglich sind, wenn A, B, C alle auf einmal genommen werden, ist 3C3 = 1 (d.h. ABC)

Gelöste Beispiele für Kombinationen

Lassen Sie uns einige Beispiele betrachten, um zu verstehen, wie Kombinationen funktionieren:

Problem 1: Auf wie viele Arten kann ein Komitee aus 1 Mann und 3 Frauen aus einer Gruppe von 3 Männern und 4 Frauen gebildet werden?

Lösung:

Anzahl der Möglichkeiten, wie 1 Mann aus einer Gruppe von 3 Männern ausgewählt werden kann = 3C1 = 3! / 1!*(3-1)!

Anzahl der Möglichkeiten, wie 3 Frauen aus einer Gruppe von 4 Frauen ausgewählt werden können = 4C3 = 4! / (3!*1!) = 4 Möglichkeiten.

Problem 2: Aus einer Menge von 5 schwarzen und 3 roten Kugeln können 5 Kugeln so ausgewählt werden, dass mindestens 3 davon schwarze Kugeln sind.

Lösung:

Aus einer Menge von 5 schwarzen Kugeln können bei einer Gesamtauswahl von 5 Kugeln mindestens 3 schwarze Kugeln ausgewählt werden

3 B und 2 R

4 B und 1 R und

5 B und 0 R Kugeln.

Daher sieht unser Lösungsausdruck so aus.
5C3 * 3C2 + 5C4 * 3C1 + 5C5 * 3C0 = 46 Möglichkeiten .

Problem 3: Wie viele 4-stellige Zahlen, die durch 10 teilbar sind, lassen sich aus den Zahlen 3, 5, 7, 8, 9, 0 so bilden, dass sich keine Zahl wiederholt?

Lösung:

Wenn eine Zahl durch 10 teilbar ist, sollte ihre Einerstelle eine 0 enthalten.
_ _ _ 0

Nachdem die 0 an der Einerstelle steht, kann die Zehnerstelle mit einer der anderen 5 Ziffern gefüllt werden.

Die Auswahl einer Ziffer aus 5 Ziffern kann auf 5C1 = 5 Arten erfolgen.

Nach dem Füllen der Zehnerstelle bleiben 4 Ziffern übrig. Die Auswahl einer Ziffer aus 4 Ziffern kann auf 4C1 = 4 Arten erfolgen.

Nach dem Füllen der Hunderterstelle kann die Tausenderstelle auf 3C1 = 3 Arten gefüllt werden.

Daher sind insgesamt 5*4*3 = 60 Kombinationen möglich.

Permutationen und Kombinationen Quiz

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