Mathematik ist ein Zahlenspiel und Zahlen sind überall. Und die Regel des Spiels sind die Eigenschaften und Regeln, die mit Zahlen verbunden sind. Eigenschaften helfen dir, Antworten schnell und einfach im Kopf zu berechnen. Eigenschaften sind nichts anderes als spezielle Regeln, denen Zahlen folgen. Es gibt drei grundlegende Eigenschaften von Zahlen, denen jedes mathematische System gehorcht: Kommutativ-, Assoziativ- und Distributiv-Eigenschaften. Diese Eigenschaften sind Merkmale der vier Operationen (Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren), die unabhängig von der Zahl, mit der Sie arbeiten, immer gelten. Im folgenden Artikel werden jedoch nur die kommutativen und assoziativen Eigenschaften besprochen.

Bei den kommutativen und assoziativen Eigenschaften handelt es sich um Regeln, die auf Additions- und Multiplikationsoperationen angewendet werden. Diese Eigenschaften sind Gesetze, die in der Algebra verwendet werden, um Probleme zu lösen. Die Kommutativ-Eigenschaft leitet sich von dem Begriff „commute“ ab, was so viel wie „sich bewegen“ bedeutet, und bezieht sich auf die Möglichkeit, Zahlen zu vertauschen, die man addiert oder multipliziert. Die assoziative Eigenschaft leitet sich von dem Wort „assoziieren“ oder „gruppieren“ ab und bezieht sich auf die Gruppierung von drei oder mehr Zahlen mithilfe von Klammern, unabhängig davon, wie man sie gruppiert. Das Ergebnis bleibt dasselbe, egal wie Sie die Zahlen neu gruppieren. Schauen wir uns die beiden Eigenschaften an, um besser zu verstehen, wie sie funktionieren.

Was ist kommutativ?

Wir wissen zum Beispiel, dass die Addition von 2 und 5 das gleiche Ergebnis ergibt wie die Addition von 5 und 2. Die Reihenfolge der Zahlen in einer Additionsaufgabe kann geändert werden, ohne dass sich das Ergebnis ändert. Diese Sache mit den Zahlen und der Addition nennt man die Kommutativ-Eigenschaft der Addition. Wir können also sagen, dass die Addition eine kommutative Operation ist. In ähnlicher Weise ist die Multiplikation eine kommutative Operation.

Kommutative Eigenschaft der Addition:

a + b = b + a

3 + 4 = 7 ist dasselbe wie 4 + 3 = 7

Das Ergebnis ist dasselbe, egal in welcher Reihenfolge die Zahlen stehen.

Kommutative Eigenschaft der Multiplikation:

a × b = b × a

3 × 7 = 21 ist dasselbe wie 7 × 3 = 21

Auch hier ist das Ergebnis unabhängig von der Reihenfolge der Zahlen dasselbe.

Was ist assoziativ?

Assoziativ ist eine weitere Eigenschaft, die wir verwenden und die mit Umgruppierungen zu tun hat. Wenn wir zum Beispiel 2 + 3 + 5 addieren, können wir entweder zuerst 2 und 3 und dann 5 addieren, oder wir können zuerst 3 und 5 addieren und dann die 2. Mathematisch sieht das so aus: 2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = (2 +3) + 5. Operationen, die sich auf diese Weise verhalten, nennt man assoziative Operationen. Das Ergebnis bleibt dasselbe, auch wenn man die Gruppierung der Zahlen ändert.

Assoziative Eigenschaft der Addition:

a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c

1 + (2 +3) = (1 +2) + 3 = 6

Das Ergebnis bleibt dasselbe, egal wie man die Zahlen gruppiert.

Assoziative Eigenschaft der Multiplikation:

a × (b × c) = (a × b) × c

2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24

(2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24

Die Gruppierung der Zahlen ändert also nichts am Ergebnis.

Unterschied zwischen kommutativ und assoziativ

Bedeutung

– Die kommutative Eigenschaft kommt von dem Begriff „commute“, was so viel wie „umherbewegen“ bedeutet, und bezieht sich darauf, dass man Zahlen, die man addiert oder multipliziert, unabhängig von der Reihenfolge der Zahlen vertauschen kann. Die assoziative Eigenschaft hingegen leitet sich von dem Wort „assoziieren“ oder „gruppieren“ ab und bezieht sich auf die Gruppierung von drei oder mehr Zahlen mithilfe von Klammern, unabhängig davon, wie man sie gruppiert. Das Ergebnis ist dasselbe, egal wie man die Zahlen oder Variablen gruppiert.

Regel

– Die Kommutativregel der Addition besagt, dass a + b = b + a ist, was bedeutet, dass das Addieren von a und b dasselbe Ergebnis ergibt wie das Addieren von b und a. Die Reihenfolge kann geändert werden, ohne dass sich das Ergebnis ändert. Diese Additionsregel wird als kommutative Eigenschaft der Addition bezeichnet. In ähnlicher Weise ist die Multiplikation eine kommutative Operation, d. h. a × b ergibt dasselbe Ergebnis wie b × a. Die assoziative Eigenschaft hingegen ist die Regel, die sich auf die Gruppierung von Zahlen bezieht. Die Assoziationsregel der Addition besagt, dass a + (b + c) dasselbe ist wie (a + b) + c. Ebenso besagt die Assoziationsregel der Multiplikation, dass a × (b × c) dasselbe ist wie (a × b) × c.

Beispiel

– Die kommutative Eigenschaft der Addition: 1 + 2 = 2 +1 = 3

Die kommutative Eigenschaft der Multiplikation: 2 × 3 = 3 × 2 = 6

Die assoziative Eigenschaft der Addition: 5 + (3 + 7) = (5 + 3) + 7 = 15

Die assoziative Eigenschaft der Multiplikation: 5 × (2 × 4) = (5 × 2) × 4 = 40

Kommutativ vs. Assoziativ: Vergleichstabelle

Zusammenfassung

Zusammenfassend kann man sagen, dass die kommutative Eigenschaft nicht mit der assoziativen Eigenschaft zu verwechseln ist. Die Kommutativ-Eigenschaft besagt, dass es in Ordnung ist, die Reihenfolge der Zahlen bei Additions- und Multiplikationsoperationen zu ändern, da das Ergebnis unabhängig von der Reihenfolge dasselbe ist. Die assoziative Eigenschaft hingegen besagt, dass das Ergebnis dasselbe ist, egal wie man die Zahlen oder Variablen bei Additions-/Multiplikationsoperationen gruppiert.