Wie man eine Denkweise für Mathematik entwickelt

Mathe verwendet erfundene Regeln, um Modelle und Beziehungen zu erstellen. Wenn ich lerne, frage ich:

Welche Beziehung stellt dieses Modell dar?
Welche Dinge in der realen Welt stehen in dieser Beziehung?
Hat diese Beziehung für mich einen Sinn?

Es sind einfache Fragen, aber sie helfen mir, neue Themen zu verstehen. Wenn Ihnen meine Beiträge über Mathematik gefallen haben, können Sie sich in diesem Artikel über meine Herangehensweise an dieses oft geschmähte Thema informieren. Viele Leute haben aufschlussreiche Kommentare über ihre Schwierigkeiten mit der Mathematik und über Hilfsmittel hinterlassen, die ihnen geholfen haben.

Matheunterricht

In Lehrbüchern geht es selten um das Verstehen, sondern meist um das Lösen von Problemen mit „Plug and Chug“-Formeln. Es macht mich traurig, dass schöne Ideen so stiefmütterlich behandelt werden:

Beim Satz des Pythagoras geht es nicht nur um Dreiecke. Es geht um die Beziehung zwischen ähnlichen Formen, den Abstand zwischen einer beliebigen Menge von Zahlen und vieles mehr.
e ist nicht nur eine Zahl. Es geht um die grundlegenden Beziehungen zwischen allen Wachstumsraten.
Der natürliche Logarithmus ist nicht nur eine Umkehrfunktion. Es geht um die Zeit, die Dinge brauchen, um zu wachsen.

Elegante „Aha!“-Erkenntnisse sollten unser Schwerpunkt sein, aber wir überlassen es den Schülern, zufällig selbst darüber zu stolpern. Ich hatte einen „Aha“-Moment nach einer höllischen Paukstunde im College; seitdem wollte ich diese Erkenntnisse finden und weitergeben, um anderen den gleichen Schmerz zu ersparen.

Aber es funktioniert in beide Richtungen – ich möchte, dass Sie Ihre Erkenntnisse auch mit mir teilen. Es gibt mehr Verständnis, weniger Schmerz, und jeder gewinnt.

Mathe entwickelt sich im Laufe der Zeit

Ich betrachte Mathe als eine Art zu denken, und es ist wichtig zu sehen, wie sich dieses Denken entwickelt hat, anstatt nur das Ergebnis zu zeigen. Versuchen wir es mit einem Beispiel.

Stellen Sie sich vor, Sie sind ein Höhlenmensch, der Mathe macht. Eines der ersten Probleme wird sein, wie man Dinge zählen kann. Im Laufe der Zeit haben sich mehrere Systeme entwickelt:

Kein System ist richtig, und jedes hat seine Vorteile:

Unäres System: Linien in den Sand malen – so einfach wie möglich. Hervorragend geeignet, um bei Spielen den Punktestand zu halten; man kann zu einer Zahl hinzufügen, ohne sie löschen und neu schreiben zu müssen.
Römische Ziffern: Fortgeschrittenere unäre Zahlen, mit Abkürzungen für große Zahlen.
Dezimalzahlen: Große Erkenntnis, dass Zahlen ein „positionelles“ System mit Platz und Null verwenden können.
Binär: Einfachstes Positionssystem (zwei Ziffern, ein vs. aus), daher gut für mechanische Geräte geeignet.
Wissenschaftliche Notation: Extrem kompakt, kann die Größe und Genauigkeit einer Zahl leicht einschätzen (1E3 vs. 1.000E3).

Denken Sie, wir sind fertig? Weit gefehlt. In 1000 Jahren werden wir ein System haben, das die Dezimalzahlen so altmodisch aussehen lässt wie die römischen Ziffern („Bei Gott, wie sind sie nur mit solch plumpen Werkzeugen zurechtgekommen?“).

Negative Zahlen sind gar nicht so real

Lassen Sie uns noch ein wenig über Zahlen nachdenken. Das obige Beispiel zeigt, dass unser Zahlensystem eine von vielen Möglichkeiten ist, das Problem des „Zählens“ zu lösen.

Die Römer hielten Null und Brüche für seltsam, aber das bedeutet nicht, dass „Nichts“ und „Teil zu Ganzem“ keine nützlichen Konzepte sind. Aber sieh dir an, wie jedes System neue Ideen aufgenommen hat.

Brüche (1/3), Dezimalzahlen (.234) und komplexe Zahlen (3 + 4i) sind Möglichkeiten, neue Beziehungen auszudrücken. Sie mögen im Moment keinen Sinn ergeben, so wie die Null für die Römer keinen „Sinn“ ergab. Wir brauchen neue Beziehungen in der realen Welt (wie z.B. Schulden), damit sie Sinn machen.

Auch dann existieren negative Zahlen vielleicht nicht so, wie wir denken, wie Sie mich hier überzeugen:

Sie: Negative Zahlen sind eine tolle Idee, aber sie existieren nicht von Natur aus. Es ist ein Etikett, das wir auf ein Konzept anwenden.

Ich: Natürlich tun sie das.

Du: Ok, zeigen Sie mir -3 Kühe.

Ich: Nun, ähm… nehmen wir an, Sie sind ein Bauer, und Sie haben 3 Kühe verloren.

Sie: Ok, du hast null Kühe.

Ich: Nein, ich meine, du hast 3 Kühe an einen Freund gegeben.

Du: Ok, er hat 3 Kühe und du hast null.

Ich: Nein, ich meine, er wird sie eines Tages zurückgeben. Er schuldet dir was.

Du: Ah. Die tatsächliche Zahl, die ich habe (-3 oder 0), hängt also davon ab, ob ich glaube, dass er sie mir zurückzahlen wird. Mir war nicht klar, dass meine Meinung die Zählweise verändert. In meiner Welt hatte ich die ganze Zeit Null.

Ich: Seufz. So ist es nicht. Wenn er dir die Kühe zurückgibt, gehst du von -3 auf 3.

Du: Ok, also gibt er 3 Kühe zurück und wir springen 6, von -3 auf 3? Gibt es noch andere neue Rechenarten, die ich kennen sollte? Wie sieht sqrt(-17) Kühe aus?

Ich: Raus.

Negative Zahlen können eine Beziehung ausdrücken:

Positive Zahlen stehen für einen Überschuss an Kühen
Null steht für keine Kühe
Negative Zahlen stehen für ein Defizit an Kühen, von dem angenommen wird, dass es zurückgezahlt wird

Aber die negative Zahl „gibt es nicht wirklich“ – es gibt nur die Beziehung, die sie darstellen (einen Überschuss/Defizit an Kühen). Wir haben ein Modell mit „negativen Zahlen“ geschaffen, um die Buchhaltung zu erleichtern, auch wenn man nicht -3 Kühe in der Hand halten kann. (Ich habe absichtlich eine andere Interpretation des Begriffs „negativ“ verwendet: Es handelt sich um ein anderes Zählsystem, so wie römische Zahlen und Dezimalzahlen verschiedene Zählsysteme sind.)

Übrigens wurden negative Zahlen von vielen Menschen, einschließlich der westlichen Mathematiker, bis zum 1700 nicht akzeptiert. Die Idee einer negativen Zahl wurde als „absurd“ angesehen. Negative Zahlen erscheinen seltsam, es sei denn, man kann sehen, wie sie komplexe Beziehungen in der realen Welt darstellen, z. B. Schulden.

Warum die ganze Philosophie?

Ich habe erkannt, dass meine **Gedankenwelt der Schlüssel zum Lernen ist. **Sie hat mir geholfen, zu tiefen Einsichten zu gelangen, nämlich:

Faktenwissen ist nicht Verstehen. Zu wissen, dass „Hämmer Nägel einschlagen“, ist nicht dasselbe wie die Einsicht, dass jedes harte Objekt (ein Stein, ein Schraubenschlüssel) einen Nagel einschlagen kann.
Bleiben Sie aufgeschlossen. Entwickeln Sie Ihre Intuition, indem Sie sich erlauben, wieder ein Anfänger zu sein.

Ein Universitätsprofessor besuchte einen berühmten Zen-Meister. Während der Meister in aller Ruhe Tee servierte, sprach der Professor über Zen. Der Meister schenkte die Tasse des Besuchers bis zum Rand ein und goss dann weiter. Der Professor beobachtete die überquellende Tasse, bis er sich nicht mehr zurückhalten konnte. „Sie ist übervoll! Es geht nichts mehr hinein!“, platzte der Professor heraus. „Du bist wie diese Tasse“, antwortete der Meister, „Wie kann ich dir Zen zeigen, wenn du nicht zuerst deine Tasse leerst?“

Sei kreativ. Suche nach seltsamen Beziehungen. Verwende Diagramme. Verwende Humor. Verwende Analogien. Verwende Mnemotechniken. Verwenden Sie alles, was die Ideen anschaulicher macht. Analogien sind nicht perfekt, aber sie helfen, wenn man mit der allgemeinen Idee kämpft.
Mach dir klar, dass du lernen kannst. Wir erwarten von Kindern, dass sie Algebra, Trigonometrie und Kalkulationen lernen, die die alten Griechen in Erstaunen versetzen würden. Und das sollten wir auch: Wir sind in der Lage, so viel zu lernen, wenn man es uns richtig erklärt. Hören Sie nicht auf, bis es Sinn macht, sonst werden Sie von der mathematischen Lücke verfolgt. Mentale Stärke ist entscheidend – wir geben oft zu leicht auf.

Was ist also der Sinn?

Ich möchte mit dir teilen, was ich entdeckt habe, in der Hoffnung, dass es dir hilft, Mathe zu lernen:

Mathe schafft Modelle, die bestimmte Beziehungen haben
Wir versuchen, reale Phänomene zu finden, die dieselben Beziehungen haben
Unsere Modelle werden immer besser. Es kann sein, dass ein neues Modell auftaucht, das diese Beziehung besser erklärt (römische Ziffern zum Dezimalsystem).

Sicher, einige Modelle scheinen keinen Nutzen zu haben: „Wozu sind imaginäre Zahlen gut?“, fragen viele Schüler. Das ist eine berechtigte Frage mit einer intuitiven Antwort.

Die Verwendung imaginärer Zahlen wird durch unsere Vorstellungskraft und unser Verständnis begrenzt – so wie negative Zahlen „nutzlos“ sind, wenn man keine Vorstellung von Schulden hat, können imaginäre Zahlen verwirrend sein, weil wir die Beziehung, die sie darstellen, nicht wirklich verstehen.

Mathe bietet Modelle; verstehe ihre Beziehungen und wende sie auf reale Objekte an.

Mit der Entwicklung von Intuition macht Lernen Spaß – sogar Buchhaltung ist nicht schlecht, wenn man die Probleme versteht, die sie löst. Ich möchte komplexe Zahlen, Kalkül und andere schwer fassbare Themen behandeln, indem ich mich auf Beziehungen konzentriere, nicht auf Beweise und Mechanik.

Aber das ist meine Erfahrung – wie lernen Sie am besten? Ein paar Freunde haben ihre Erfahrungen aufgeschrieben:

Ed Latimore: Ein Boxer lehrt dich, wie du besser in Mathe wirst
Scott Young: Wie man sich selbst Mathe beibringt

Matheunterricht

Mathe entwickelt sich im Laufe der Zeit

Negative Zahlen sind gar nicht so real

Warum die ganze Philosophie?

Was ist also der Sinn?

Weitere Beiträge in dieser Serie

Schreibe einen Kommentar Antworten abbrechen