πは円と結びついているわけですね。 円周率を定義するには、円とは関係なくいろいろな方法がありますが、結局、円周と直径の比、つまり半径1の円の円周の半分というのが一番理にかなっているのです。 円周と円について、別の視点から考えてみましょう。 ある時点で、これはすべて「ユークリッド幾何学では円がそう振る舞うから」に帰結します。

ここまではあまり参考にならないようですね。 なぜ単位円の円周の半分がこんな不思議な数字になるのでしょうか？ さて、ここで数学の根幹に踏み込んで、単位円とはいったい何なのかを問うてみましょう。 それは、ある定点、たとえば(0,0)からちょうど距離1のところにある点の集まりである。 でも、「距離」ってなんだろう？ ここからが面白い。 通常のユークリッド幾何学では、(x1,y1) と (x2,y2) の間の距離を ^(1/2) として測ります。これは、現実世界における距離の概念とほぼ一致しているように見えるからです。 しかし、この2は何のためにあるのだろう？ そこにある必要があるのでしょうか？ 二乗する唯一の明白な理由は、距離が常に正になるようにするためですが、確かにそれを行う他の方法があり、それは「距離」の他の賢明な概念を与えるかもしれませんし、単位円の独自のバージョン、したがって円周率の独自のバージョンを装備しています…

これは数学の多くのものが動作する方法です。 知っていることから始めて、それをより抽象的なバージョンに一般化しようとし、それから何が起こるかを見るために部品をいじり始めるのです。 二乗する以外に、「距離」が常に正の数であることを保証する方法はあるのでしょうか？ もちろん、絶対値だ。 (x1,y2) と (x2,y2) の間の距離を |x1-x2|+|y1-y2| と定義したらどうでしょうか？ 単位円は「｜x-0｜+｜y-0｜=1 となる点 (x,y)」、あるいは「｜x｜+｜y｜=1 となる点 (x,y) 」となる。 これは菱形だ! 突然、私たちの単位「円」は、(±1,0) と (0,±1) の4点を長さ sqrt(2) の直線で結び、異なる「π」値を得ることになります！これは、「円周率」と呼ばれます。 この設定での円周と直径の比は 3.14159… ではなく 2*sqrt(2) つまり 2.82843…

いつもの距離の概念 ^(1/2) とこの新しい概念をどう結びつけるのでしょうか。 ^(1/p)と書けばよいのです。 通常の距離の概念はp=2の場合であり、今新しく考案したものはp=1の場合である。 (なぜpという文字を選んで表現したかは気にしないでほしいが、恣意的なものではない。)

他のpの値ではどうなるのでしょうか。 次のようなものが得られることがわかります。 この p 値バージョンの距離の単位円は、最初は (±1,0) と (0,±1) に点を持つ菱形で、p が増加すると、風船を膨らませるようにゆっくりと丸みを帯びて広がりはじめます。 p=2では円形になり、pが大きくなるにつれて角の丸い正方形のように見えてきます。 pが大きくなると角がどんどん鋭くなり、「p=無限大」の場合は、単位円を(±1,±1)に点を持つ正方形とする簡単な定義があることがわかりました。 (距離」を｜x1-x2｜か｜y1-y2｜のどちらか大きいほうに定義すればよいのです）。 この最後の無限バージョンでは、単位「円」は「円周」が 8、直径が 2 で、この文脈での「π」はちょうど 4 になることに注意してください。0 から 1 の間の p の値を使用することもでき、単位「円」は再び縮み始め、4 点の星のような形を作り、点はまだ (±1,0) と (0,±1) にあるが、それらをつなぐ辺はますます内側に急激に曲がっています

これは非常にクールなことです。 座標平面上の「距離」を定義するために選んだ p の値によって、円周と直径の比である「π」の値が異なり、p=1 の 2.82843… から始まって、p=2 の 3.14159… と、p を増やすたびに少しずつ増えて、4 に近づいていきます

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