A pí tehát a körökhöz kötődik, igaz? A pi-t többféleképpen lehet definiálni, ami nyilvánvalóan nem köti össze a köröket, de végső soron a legértelmesebb, ha visszamegyünk oda, hogy a kerület és az átmérő hányadosa, vagy egy 1 sugarú kör kerületének a fele. Hadd próbáljak meg egy másik nézőpontot adni a kerületről és a körökről. Egy ponton ez az egész csak arra fut ki, hogy “mert a körök így viselkednek az euklideszi geometriában”.”

Ez eddig nem hangzik túl hasznosnak. Miért lenne az egységkör kerületének fele ez a furcsa szám? Nos, lépjünk be a matematika gyomrába, és kérdezzük meg, hogy mi is valójában az egységkör. Ez azoknak a pontoknak a gyűjteménye, amelyek pontosan 1 távolságra vannak egy fix ponttól, mondjuk (0,0). Oké, de mit jelent valójában a “távolság”? Itt kezd érdekes lenni a dolog. A közönséges euklideszi geometriában az (x1,y1) és (x2,y2) közötti távolságot ^(1/2)-ként mérjük, mivel ez nagyjából megfelel a távolságról alkotott intuitív fogalmunknak a való világban. De mit keresnek ott azok a 2-esek? Muszáj nekik ott lenniük? Az egyetlen nyilvánvaló ok a dolgok négyzetre állítására az, hogy biztosítsuk, hogy a távolság mindig pozitív legyen, és bizonyára vannak más módszerek is, amelyek a “távolság” más értelmes fogalmait adhatják, amelyek az egységkör saját verziójával, és így a pi saját verziójával rendelkeznek…

A matematikában sok minden így működik. Kezdesz valamivel, amit ismersz, megpróbálod általánosítani egy absztraktabb verzióra, aztán elkezdesz babrálni a részekkel, hogy meglásd, mi történik. Mi mással biztosíthatnánk, hogy a “távolság” mindig pozitív szám legyen, mint a négyzeteléssel? Természetesen abszolút értékkel! Mi lenne, ha az (x1,y2) és (x2,y2) közötti távolságot úgy definiálnánk, hogy |x1-x2|+|y1-y2|? Az egységkör “olyan (x,y) pontok lesznek, amelyek |x-0|+|y-0|=1”, vagy “olyan (x,y) pontok, amelyek |x|+|y|=1”. Ez egy gyémánt! Hirtelen az egységnyi “körünknek” négy pontja van a (±1,0) és (0,±1) pontokban, amelyeket sqrt(2) hosszúságú vonalak kötnek össze, és a “pi” értékét megváltoztatjuk! A kerület és az átmérő aránya ebben a környezetben nem 3,14159… hanem 2*sqrt(2), vagy 2,82843…

Hogyan kapcsolhatjuk össze a távolságról alkotott szokásos fogalmunkat, ^(1/2), ezzel az új fogalommal? Írjuk egyszerűen ^(1/p)-nek. A távolság szokásos fogalma a p=2 eset, az új, amit most találtunk ki, pedig a p=1 eset. (Ne törődjetek azzal, hogy miért a p betűt választottam ennek ábrázolására, de ez nem volt önkényes). Most már haladunk valamerre.

Mi történik p más értékeinél? Kiderül, hogy valami ilyesmit kapunk. Az egységkör a távolságnak ebben a p-értékű változatában gyémántként indul, amelynek pontjai (±1,0) és (0,±1), és ahogy p értéke növekszik, lassan elkezd lekerekülni és tágulni, mintha egy felfújt lufi lenne. P=2-nél egy kört alkot, és egyre nagyobb p értékeknél már inkább egy lekerekített sarkokkal rendelkező négyzetre kezd hasonlítani. A sarkok egyre élesebbek és élesebbek lesznek, ahogy p nő, és kiderül, hogy a “p=végtelen” esetet könnyen definiálhatjuk úgy, hogy az egységkör egy négyzet legyen, amelynek pontjai (±1,±1) pontban vannak. (Mindössze annyit kell tennünk, hogy a “távolságot” úgy definiáljuk, hogy |x1-x2| vagy |y1-y2|, amelyik szám nagyobb.) Ebben az utolsó végtelen változatban figyeljük meg, hogy az egységnyi “kör” “kerülete” 8 és átmérője 2, így a “pi” ebben a kontextusban pontosan 4. Használhatunk 0 és 1 közötti p értékeket is, és az egységnyi “kör” elkezd visszazsugorodni, egy négyágú csillaghoz hasonló alakot alkotva, ahol a pontok még mindig (±1,0) és (0,±1) pontban vannak, de az őket összekötő oldalak egyre élesebben hajlanak befelé.

Ez nagyon király. Attól függően, hogy milyen p értéket választunk a “távolság” meghatározására a koordinátasíkban, a “pi”-nek, a kerület és az átmérő arányának különböző értékét kapjuk, kezdve 2,82843… p=1-nél, 3,14159… p=2-nél, és így tovább, minden p-nél egy kicsit jobban nő, és egyre közelebb kerülünk a 4-hez.